2025屆浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.92.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.13.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立4.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.5.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,則,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%6.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點,則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.27.已知點P不在直線l、m上,則“過點P可以作無數(shù)個平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.如圖,正三棱柱各條棱的長度均相等,為的中點,分別是線段和線段的動點(含端點),且滿足,當(dāng)運(yùn)動時,下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形10.已知集合,,則A. B.C. D.11.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.412.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則_________.14.在三棱錐P-ABC中,,,,三個側(cè)面與底面所成的角均為,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.15.直線過圓的圓心,則的最小值是_____.16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點.(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.18.(12分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.19.(12分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點.(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.20.(12分)已知矩形紙片中,,將矩形紙片的右下角沿線段折疊,使矩形的頂點B落在矩形的邊上,記該點為E,且折痕的兩端點M,N分別在邊上.設(shè),的面積為S.(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;(2)求l的最小值及此時的值;(3)問當(dāng)θ為何值時,的面積S取得最小值?并求出這個最小值.21.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點,且與軸相交于點.(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.22.(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.2、C【解析】

連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.3、C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.5、B【解析】試題分析:由題意故選B.考點:正態(tài)分布6、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】點不在直線、上,若直線、互相平行,則過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8、C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時,由,當(dāng)且僅當(dāng)時,即等號是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時,為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因為,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點:函數(shù)的綜合問題.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.9、D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項利用線面垂直的判定定理;C項三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項,用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項,如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項,當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.10、D【解析】

因為,,所以,,故選D.11、C【解析】

由正項等比數(shù)列滿足,即,又,即,運(yùn)算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0.4【解析】

因為隨機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性,即得解.【詳解】因為隨機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱,所.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先確定頂點在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高,利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為,,,的高,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,∴,內(nèi)切球表面積.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題,考查學(xué)生空間想象能力,本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑,是一道中檔題.15、【解析】

直線mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為:4.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、10【解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)分別取,的中點,,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點,,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面,所以面的法向量可取,點,點,點,,,設(shè)面的法向量,所以,取,二面角的平面角為,則為銳角.所以【點睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,在做此類題時,一定要準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo).18、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理化簡已知條件,由此求得的值,進(jìn)而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設(shè)知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,得,所以面,又,得面,即可利用面面平行的判定定理,證得結(jié)論;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求的平面的一個法向量,利用向量和向量夾角公式,即可求解與平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)連接BD交AC于O,易知O是BD的中點,故OG//BE,BE面BEF,OG在面BEF外,所以O(shè)G//面BEF;又EF//AC,AC在面BEF外,AC//面BEF,又AC與OG相交于點O,面ACG有兩條相交直線與面BEF平行,故面ACG∥面BEF;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)面ABF的法向量為,依題意有,,令,,,,,直線AD與面ABF成的角的正弦值是.20、(1)(2),的最小值為.(3)時,面積取最小值為【解析】

(1),利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式;,,則,即可得到的范圍;(2)由(1),若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解;(3)由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.【詳解】解:(1),故.因為,所以,,所以,又,,則,所以,所以(2)記,則,設(shè),,則,記,則,令,則,當(dāng)時,;

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