浙江省余姚名校2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省余姚名校2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、3．（）A． B． C． D．4．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開(kāi)始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開(kāi)三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書(shū),為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開(kāi)創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A． B．C． D．5．如圖所示，矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C． D．6．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，若在中，，則（）A． B． C． D．8．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)，于不同的兩點(diǎn)，若，，則（）A．1 B． C．2 D．39．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或10．使得的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A． B． C． D．11．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A． B．C． D．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為_(kāi)_____.14．已知函數(shù)，則的值為_(kāi)___15．已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)斜率為，則______．16．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實(shí)數(shù)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓：和拋物線(xiàn)：，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）已知直線(xiàn)和圓相切，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作兩直線(xiàn)和圓相切，且分別交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的最大值．20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線(xiàn)的斜率21．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的面積.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，要使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表示出線(xiàn)段長(zhǎng)度，由勾股定理，解出每條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過(guò)幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.2、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿(mǎn)足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)，所以，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡(jiǎn)得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，數(shù)基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.7、D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，，得到，，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，且，所以，即，所以，即故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8、C【解析】

連接AO，因?yàn)镺為BC中點(diǎn)，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點(diǎn)共線(xiàn)可知，其表達(dá)式中的系數(shù)和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點(diǎn)可得，，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，由三點(diǎn)共線(xiàn)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的共線(xiàn)定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．11、B【解析】

選B.考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)12、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設(shè)，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、4【解析】

根據(jù)的正負(fù)值，代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題.15、【解析】

先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線(xiàn)的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線(xiàn)的斜率為﹣4，，.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線(xiàn)上在某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．16、1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）;（2）或．【解析】試題分析:直線(xiàn)與圓相切只需圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線(xiàn)的斜率找出坐標(biāo)滿(mǎn)足的要求，再利用兩直線(xiàn)與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）解：設(shè)，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當(dāng)時(shí)，，故直線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)，，，則．∴．設(shè)，由直線(xiàn)和圓相切，得，即．設(shè)，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故或．18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..19、（1），（2）【解析】

試題分析：利用將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：化簡(jiǎn)為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即為x＋y＝1．再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），得P到直線(xiàn)l的距離試題解析：解：化簡(jiǎn)為ρcosθ＋ρsinθ＝1，則直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），得P到直線(xiàn)l的距離，dmax＝．考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線(xiàn)的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線(xiàn)（）設(shè)，，聯(lián)立消去，得，顯然，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的右側(cè)．（2）由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．即．所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為：．令，得；令，得．所以的面積，的面積．因?yàn)榕c的面積相等，所以，解得．所以當(dāng)與的面積相等時(shí)，直線(xiàn)的斜率．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，以及三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當(dāng)時(shí)，由余弦定理得即，解得.此時(shí).當(dāng)時(shí)，由余弦定理得.即，解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題．