《冪函數(shù)》教學設計

2/2《冪函數(shù)》教學設計教學設計一、實例觀察，引入新課教師出示下列例子，要求學生寫出數(shù)學表達式：（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付元.（2）正方體的邊長為x，體積為y，則.（3）若某放射性物質(zhì)每經(jīng)過1年，其剩留量是原來的x倍，則質(zhì)量為1的這種物質(zhì)經(jīng)過100年后，其剩留量應為.（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長.（5）如果某人駕車在ts內(nèi)行進了1km，那么該車的平均速度.【師生互動】以上問題中的函數(shù)表達式具有什么共同特征？生：都是指數(shù)冪的形式，底數(shù)都是自變量，指數(shù)都是常數(shù).設計意圖：引導學生從具體的實例中進行總結，從而自然引出冪函數(shù)的一般特征.二、類比聯(lián)想，探究新知1.冪函數(shù)的定義.一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).注意：冪函數(shù)的解析式必須是的形式，其特征可歸納為“系數(shù)為1，只有1項”，自變量x在底數(shù)位置，常數(shù)在指數(shù)位置.【師生互動】判斷下列函數(shù)是否是冪函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.設計意圖：加深學生對冪函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解.2.冪函數(shù)性質(zhì)探究.例1、寫出下列冪函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性：（1）；（2）；（3）.活動：學生思考，小組討論，教師引導，學生展示思維過程，教師評價.教師引導學生根據(jù)學習經(jīng)歷，回顧求一個函數(shù)的定義域的方法，及判斷函數(shù)奇偶性的方法.判斷函數(shù)奇偶性時一般用定義法.解決有關函數(shù)求定義域的問題時，可以從以下幾個方面來考慮：列出相應不等式或不等式組，解不等式或不等式組即可得到所求函數(shù)的定義域.解（1）函數(shù)的定義域是R.因為對任意的，而且都有，所以由奇函數(shù)的定義知，函數(shù)是奇函數(shù).（2）函數(shù)即，其定義域是.因為當時，，所以由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（3）由函數(shù)即可知，所以此函數(shù)的定義域是.因為對任意的，都有，且，所以由偶函數(shù)的定義知，函數(shù)是偶函數(shù).點評：函數(shù)解析式中含有分數(shù)指數(shù)時，可以把它們的解析式化成根式，根據(jù)“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數(shù)的定義域；當函數(shù)解析式的冪指數(shù)為負數(shù)時，根據(jù)負指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式，根據(jù)“分式的分母不能為0”這一限制條件來求出對應函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.問題1：在同一坐標系內(nèi)畫出冪函數(shù)的圖象，并思考：它們之間有什么共同特性？活動：學生以小組為單位，討論嘗試用描點法畫圖，然后教師出示用計算機畫出的圖象（如圖），讓學生觀察這三個冪函數(shù)圖象的共同特性，并匯報結論.觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)這3個函數(shù)有如下共同特性：（1）函數(shù)的圖象都過點和；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).一般地，對于函數(shù)，當時，也具有上述兩條性質(zhì).例2、試比較下列各組數(shù)的大小：（1）；（2）；（3）.活動：學生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時提示點撥.比較數(shù)的大小，常借助于函數(shù)的單調(diào)性.對（1）（2）可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性.對（3）只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的，事實上，這里“1”可作為中間量.解（1）因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.（3）因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以，于是.問題2：在同一坐標系內(nèi)畫出冪函數(shù)的圖象，并思考：它們之間有什么共同特性？活動：以小組為單位，結合前面畫指數(shù)a為正數(shù)時的冪函數(shù)的圖象的方法，畫出指數(shù)a為負數(shù)時的圖象，再觀察教師給出的計算機畫出的圖象（如圖），觀察并歸納其性質(zhì).觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這3個函數(shù)有如下共同特性（1）函數(shù)的圖象都過點；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).一般地，對于函數(shù)，當時，也具有上述兩條性質(zhì).3.冪函數(shù)的性質(zhì)推廣.（1）五個具體的冪函數(shù)的性質(zhì).①函數(shù)和的圖象都通過點.②函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).③在區(qū)間上，函數(shù)和是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù).④在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.（2）一般的冪函數(shù)的性質(zhì)：①所有的冪函數(shù)在內(nèi)都有定義，并且圖象都過點.②時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù).時，圖象在圖象上方，靠近y軸；時，圖象在圖象下方，靠近x軸；時，圖象是條直線.③時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當x趨向0時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.④冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側，圖象由下至上，指數(shù)由小到大；在y軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.4.利用信息技術研究冪函數(shù).學生閱讀教材第133頁“信息技術”相關內(nèi)容，了解利用信息技術作冪函數(shù)圖象的方法，進而研究冪函數(shù)的性質(zhì).三、課堂小結，歸納提升可從以下幾個方面小結：（1）冪函數(shù)的定義.（2）冪函數(shù)的性質(zhì).（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.四、課后作業(yè)，鞏固訓練教材第134頁習題6.1第1，2題.板書設計6.1冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)2.冪函數(shù)的性質(zhì)例1問題1例2問題23.一般冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在內(nèi)都有定義，并且圖象都過點②時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù).時，圖象在圖象上方，靠近y軸；時，圖象在圖象下方，靠近x軸；時，圖象是條直線③時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當x趨向0時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸④冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側，圖象由下至上，指數(shù)由小到大；在y軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大4.小結（1）冪函數(shù)的定義（2）冪函數(shù)的性質(zhì)（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小教學研討冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學生在系統(tǒng)地學習了函數(shù)的概念和性質(zhì)