第6講一元二次方程2025年九年級中考數(shù)學(xué)人教版（內(nèi)蒙古）一輪復(fù)習(xí)課件

第6講一元二次方程知識框架思維導(dǎo)學(xué)教材整合夯實(shí)基礎(chǔ)考向?qū)б键c(diǎn)突破知識點(diǎn)1一元二次方程的定義及一般形式1.定義只含有

未知數(shù),并且都可以化成ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式的

方程.

2.一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)且

).

一個(gè)整式a≠0知識點(diǎn)2一元二次方程的解法1.直接開平方法形如(x+m)2=n的方程,當(dāng)n≥0時(shí),方程的解為x=

.

2.配方法將一元二次方程化成(x+m)2=n的形式,當(dāng)n≥0時(shí),用直接開平方法求解.3.公式法ax2+bx+c=0(a

0),當(dāng)b2-4ac

0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根x=

.≠≥知識點(diǎn)3根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.根的判別式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為b2-4ac,通常用符號“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)b2-4ac>0?方程有

實(shí)數(shù)根;

兩個(gè)不相等的(2)b2-4ac=0?方程有

實(shí)數(shù)根;

(3)b2-4ac<0?方程

實(shí)數(shù)根.

2.根與系數(shù)的關(guān)系若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,則x1+x2=

,x1·x2=

.

兩個(gè)相等的沒有a(1+m)na(1-m)n3.面積問題(1)如圖(1)所示的矩形ABCD長為a,寬為b,空白部分的寬為x,則陰影部分的面積表示為(a-2x)(b-2x);(2)如圖(2)所示的矩形ABCD長為b,寬為a,陰影部分的寬為x,則空白部分的面積為(a-x)(b-x);(3)如圖(3)所示的矩形ABCD長為b,寬為a,陰影部分的寬為x,則空白部分的面積為(a-x)(b-x).考點(diǎn)突破考點(diǎn)1一元二次方程的概念(易錯(cuò)點(diǎn))例1(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一個(gè)根,則(m+5)(m-1)的值為

.

考向訓(xùn)練1-1(2023棗莊)若x=3是關(guān)于x的方程ax2-bx=6的解,則2023-6a+2b的值為

.

-42019考向訓(xùn)練1-2(2024深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一個(gè)解為x=1,則a=

.

考向訓(xùn)練1-3(2024巴中)已知方程x2-2x+k=0的一個(gè)根為-2,則方程的另一個(gè)根為

.

考向訓(xùn)練1-4若m是方程2x2-3x-1=0的一個(gè)根,則6m2-9m+2023的值為

.

242026考點(diǎn)2一元二次方程的解法例2解方程:x2-2x=4.B考向訓(xùn)練2-2(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是()A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1D考向訓(xùn)練2-3解方程:3(x-1)2-12=0.解:∵3(x-1)2-12=0.∴3(x-1)2=12.則(x-1)2=4,∴x-1=±2.解得x1=3,x2=-1.考向訓(xùn)練2-4(2024齊齊哈爾)解方程:x2-5x+6=0.解:∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0.則x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3.考點(diǎn)3根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.(1)求證:該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(1)證明:∵Δ=b2-4ac=16+4m2>0恒成立,∴方程x2-4x-m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x1+2x2=9,求m的值.考向訓(xùn)練3-1(2024自貢)關(guān)于x的方程x2+mx-2=0根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根AC考向訓(xùn)練3-3一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況是()A.無實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根C.有兩個(gè)正根,且都小于3D.有兩個(gè)正根,且有一根大于3D考向訓(xùn)練3-4(2024黑龍江)關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是()A.m≤4 B.m≥4C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2考向訓(xùn)練3-5

關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為12,則m的值為()A.-2 B.3C.3或-2 D.3或2DAAAA考點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用例4某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件,經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件,并且兩次降價(jià)的百分率相同.求該種商品每次降價(jià)的百分率.注意:①按格式書寫.②注意驗(yàn)根,舍去不符合題意的根.考向訓(xùn)練4-1目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2020年底有5G用戶2萬戶,2022年底全市5G用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶.設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長率為x,則x的值為()A.20% B.30% C.40% D.50%C考向訓(xùn)練4-2(2024眉山)眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū),該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效,提升了水稻畝產(chǎn)量,水稻畝產(chǎn)量從2021年的670kg增長到了2023年的780kg,該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x,則可列方程為()A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780考向訓(xùn)練4-3有一個(gè)人患了病毒性感冒,經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了病毒性感冒,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了

個(gè)人.

B12例5(2023東營)如圖所示,老李想用長為70m的柵欄,再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD,并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(建在EF處,另用其他材料).(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí),能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈解:(1)設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm,則邊BC=70-2x+2=(72-2x)m.根據(jù)題意,得x(72-2x)=640,化簡,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20,當(dāng)x=16時(shí),72-2x=72-32=40;當(dāng)x=20時(shí),72-2x=72-40=32.答:當(dāng)羊圈的長為40m,寬為16m或長為32m,寬為20m時(shí),能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈.(2)羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎如果能,請你給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請說明理由.解:(2)不能.理由如下:由題意,得x(72-2x)=650,化簡,得x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4<0,∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.∴羊圈的面積不能達(dá)到650m2.考向訓(xùn)練5-1如圖所示,學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35m,寬20m的矩形,為便于管理,要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道,使種植面積為600m2,則小道的寬為多少米若設(shè)小道的寬為xm,則根據(jù)題意,列方程為()A.35×20-35x-20x+2x2=600B.35×20-35x-2×20x=600C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600C考向訓(xùn)練5-2如圖所示,是一張長12cm、寬10cm的矩形鐵皮,將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形,剩余部分(陰影部分)可制成底面積是24cm2

的有蓋的長方體鐵盒,則剪去的正方形的邊長為

cm.

2考向訓(xùn)練5-3如圖所示,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形羊圈,羊圈的一邊利用長為12m的住房墻,另外三邊用25m長的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門,所圍矩形羊圈的長、寬分別為多少時(shí),羊圈面積為80m2解:設(shè)矩形羊圈垂直于住房墻的一邊長為xm,可以得出平行于墻的一邊長為(25-2x+1)m.由題意,得x(25-2x+1)=80,化簡,得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,當(dāng)x=5時(shí),26-2x=16>12(舍去),當(dāng)x=8時(shí),26-2x=10<12.答:所圍矩形羊圈的長為10m,寬為8m時(shí),羊圈面積為80m2.考向訓(xùn)練5-4(包頭樣題)如圖所示,某小區(qū)有一塊長為24m,寬為8m的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為72m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道,求人行通道的寬度.解:設(shè)人行通道的寬度是xm.由題意,得(24-3x)(8-2x)=72,解得x=2或x=10(不符合題意,舍去).答:人行通道的寬度為2m.例6一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利,該店采取了降價(jià)措施,在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時(shí)間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降價(jià)3元,則平均每天銷售數(shù)量為

件.

解:(1)26(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí),該商店每天銷售利潤為1200元解:(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí),該商店每天銷售利潤為1200元.根據(jù)題意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20應(yīng)舍去,即x=10.答:每件商品降價(jià)10元時(shí),該商店每天銷售利潤為1200元.考向訓(xùn)練6-1端午節(jié)期間,某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況,下面是調(diào)查員的對話:小王:該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元;小李:當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí),每天可售出160kg;若每千克降低3元,每天的銷售量將增加120kg.根據(jù)他們的對話,解決下面所給問題:超市每天要獲得銷售利潤3640元,又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠,則這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元考向訓(xùn)練6-2某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個(gè)檔次,第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件,每件利潤10元.調(diào)查表明:生產(chǎn)提高一個(gè)檔次的蛋糕產(chǎn)品,該產(chǎn)品每件利潤增加2元.(1)若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元,此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品解:(1)(14-10)÷2+1=3.答:此批次蛋糕屬第三檔次產(chǎn)品.(2)由于生產(chǎn)工序不同,蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次,一天產(chǎn)量會(huì)減少4件.若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元,該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品解:(2)設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品.根據(jù)題意,得[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=1080,整理,得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不符合題意,舍去).答:該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品.感悟中考A2.(2024赤峰)等腰三角形的兩邊長分別是方程x2-10x+21=0的兩個(gè)根,則這個(gè)三角形的周長為()A.17或13 B.13或21C.17 D.13CA4.(2024通遼)