直線投影基本知識

2.2直線的投影本節(jié)提要：（1）直線的投影以及直線對投影面的各種相對位置（2）直線上的點(diǎn)的投影特性（3）求直線的真長及其對投影面的傾角（4）兩直線的相對位置（5）兩直線垂直2021/6/2712.2.1

直線的投影以及直線對投影面的各種相對位置1

直線的投影HABab

直線可視為點(diǎn)的集合，所以直線的投影就是點(diǎn)的投影的集合。確定一直線只需要兩個(gè)點(diǎn)，故畫一直線的投影，只需知道直線上兩個(gè)點(diǎn)的投影，再連線即可。2021/6/272

如圖所示，分別將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。abc(d)ZXOYHYWa'aa"b'bb"2021/6/273直線的投影特性：ABCDEFabcd①垂直于投影面的直線在該投影面上的投影，積聚成一點(diǎn)（積聚性）。②平行于投影面的直線在該投影面上的投影，與直線本身平行且等長。③傾斜于投影面的直線在該投影面上的投影，短于直線的真長。2021/6/2742

直線對投影面的各種相對位置直線一般位置直線：對三個(gè)投影面H、V、W都傾斜投影面平行線（只平行于一個(gè)投影面）水平線（∥H面，對V、W面都傾斜）正平線（∥V面，對H、W面都傾斜）側(cè)平線（∥W面，對H、V面都傾斜）投影面垂直線（垂直于一個(gè)投影面，平行于另外兩個(gè)投影面）鉛垂線（⊥H面，∥V面，∥W面）正垂線（⊥V

面，∥H面，∥W面）側(cè)垂線（⊥W

面，∥H面，∥V面）平行線——平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面。垂直線——垂直于一個(gè)投影面，平行于另兩個(gè)投影面。特殊位置直線2021/6/275HVABWaba'b'a"b"O直線與投影面的夾角是指空間直線與它在該投影面上的正投影的夾角。直線對H、V、W面的傾角，分別用α、β、γ表示。αβγHBAA0B0abαα直線平行于投影面時(shí)，傾角為0°，垂直于投影面時(shí)，傾角為90°，傾斜于投影面時(shí)，傾角為0~90°。2021/6/276（1）一般位置直線OXZYABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均小于實(shí)長

2、ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3、不直接反映直線對投影面的傾角2021/6/277水平線—平行于水平投影面的直線投影特性：1．a(chǎn)

b

=AB2．a(chǎn)b∥OX;a

b∥OZ

，且長度縮短3．反映a、

角的真實(shí)大小（2）投影面平行線XZYOaa

b

a

bb

ABXa

b

a

b

OzYHYWba

2021/6/278XZYO

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小aa

b

a

b

b正平線—平行于正面投影面的直線（2）投影面平行線2021/6/279XZYOXZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小aa

b

a

b

b側(cè)平線—平行于側(cè)面投影面的直線（2）投影面平行線2021/6/2710（2）投影面平行線正

平

線水

平

線側(cè)

平

線空間直觀圖投影圖投影特性1.a'b'反映真長和傾角α、γ2.ab∥OX，a"b"∥OZ，且長度縮短1.ab反映真長和傾角β、γ2.a'b'∥OX，a"b"∥OYW，且長度縮短1.a"b"反映真長和傾角α、β2.ab∥OYH，a'b'∥OZ，且長度縮短2021/6/2711投影面平行線的投影特性：①在平行的投影面上的投影，反映直線的真長以及對另外兩個(gè)投影面的傾角。②在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，長度縮短。2021/6/2712例1：判斷下列直線的空間位置。a'b'abXOa'b'abXOAB為水平線CD為側(cè)平線2021/6/2713AB為

線CD為

線EF為

線正平一般位置直水平c'(a')b'(d')a"e'f'abc(e)d(f)b"c"d"e"f"ABCDEF例2：參考立體圖，判斷物體上的直線是屬于哪一類直線。2021/6/2714OXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點(diǎn)

2、a

b

OX;a

b

OYW

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

a

b

（3）投影面垂直線2021/6/2715正垂線—垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)

2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a（3）投影面垂直線2021/6/2716側(cè)垂線—垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)

2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b（3）投影面垂直線2021/6/2717（3）投影面垂直線正

垂

線鉛

垂

線側(cè)

垂

線空間直觀圖投影圖投影特性1.a'b'積聚成一點(diǎn)2.ab∥OYH，

a"b"∥

OYW，且反映真長1.ab積聚成一點(diǎn)2.a'b'∥OZ，a"b"∥OZ，且反映真長1.a"b"積聚成一點(diǎn)2.ab∥OX，a'b'∥OX，且反映真長2021/6/2718投影面垂直線的投影特性：①在垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。②在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于投影軸，且反映真長。2021/6/2719例1：根據(jù)投影圖，判斷下列直線的空間位置。側(cè)平線側(cè)垂線鉛垂線水平線Oab

ba

Xc

c

d

d

OXZYHYWOcd

dc

XZa

b

OXYHYWb

a

2021/6/2720

解題思路：熟悉水平線的投影特性，明確正面投影平行于投影軸。b'a'abOX例2：已知AB為水平線，補(bǔ)畫a'b'。2021/6/2721OXZYHYWa'aa"30°b例3:過點(diǎn)A向右上方作一正平線AB，使其實(shí)長為25，與H面的傾角

=30°。25b'b"解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實(shí)長和

的投影入手。作圖要點(diǎn):１.做正平線的正面投影；２.過點(diǎn)a做正平線的水平投影和側(cè)面投影。2021/6/27222.2.2

直線上的點(diǎn)的投影特性可以證明：直線上的點(diǎn)的水平投影，必在該直線的水平投影上；直線上的點(diǎn)的正面投影，必在該直線的正面投影上；直線上的點(diǎn)的側(cè)面投影，必在該直線的側(cè)面投影上。幾何形體在同一個(gè)投影面上的投影稱為同面投影。2021/6/2723VH直線上的點(diǎn)的第一個(gè)投影特性：直線上的點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上。即具有從屬性。ABCbab'a'c'D

若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。d'dc2021/6/2724直線上的點(diǎn)的第二個(gè)投影特性：若直線不垂直于投影面，則直線段上的點(diǎn)分割線段的長度比，與該點(diǎn)的投影分割直線段同面投影的長度比相等。即具有定比性。利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。2021/6/2725如何檢驗(yàn)點(diǎn)是否在直線上。檢驗(yàn)方法：（1）在三面體系中：用直線上的點(diǎn)的第一個(gè)投影特性檢驗(yàn)。a'c'd'b'acdba"c"d"b"OXZYHYW

C點(diǎn)在直線AB上，D點(diǎn)不在直線AB上。2021/6/2726（2）在兩面體系中：①將兩面體系擴(kuò)展成三面體系，用直線上的點(diǎn)的第一個(gè)投影特性就可檢驗(yàn)。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。abka

b

k

●●OXYHZYWZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb2021/6/2727②先用直線上的點(diǎn)的第一個(gè)投影特性檢驗(yàn)點(diǎn)是否在直線上，如果無法檢驗(yàn)，再用直線上的點(diǎn)的第二個(gè)投影特性進(jìn)行檢驗(yàn)。abka

b

k

●●OX因ak/kb不等于a'k'/k'b'，故點(diǎn)K不在AB上。2021/6/2728OXaba'b'[例1]如圖所示，已知直線AB，在AB上取點(diǎn)C和D，點(diǎn)C距H面10mm，點(diǎn)D分割A(yù)B成AD:DB=3:1，作點(diǎn)C和D的兩面投影。OXaba'b'c'c1234dd'102021/6/2729[例2]如圖所示，已知直線AB以及點(diǎn)C、D，檢驗(yàn)點(diǎn)C、D是否在直線AB上。[解]分析:直線AB是側(cè)平線，對V、H兩面體系，側(cè)平線是特殊直線。a'c'd'b'acdbOXZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb2021/6/2730Xa"b"a'c'd'b'acdbOX（1）檢驗(yàn)方法一（補(bǔ)第三投影）（2）檢驗(yàn)方法二（直線上點(diǎn)的第二個(gè)投影特性）c0d0b0c"d"2021/6/2731b

Xa

abcO例：已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。c

accbXOABbb

aa

c

CcHV2021/6/2732ZOa'b'b"a"c'[例]如圖所示，已知直線AB，并知直線AB上的點(diǎn)C距離側(cè)面W10mm，作點(diǎn)C的兩面投影。ZOa'b'b"a"10c"b0c0[解]分析:直線AB是水平線，對V、W兩面體系，水平線是特殊直線。2021/6/27332.2.3

求直線的真長及其對投影面的傾角1

求線段的真長及其對投影面的傾角特殊位置直線在投影圖中能直接反映直線的真長及其對投影面的傾角?？捎弥苯侨切畏ㄗ鞒鰞A斜線的實(shí)長及其與投影面的夾角。一般位置直線在投影圖中不能直接反映其真實(shí)長度及其對投影面的傾角。2021/6/2734XOa'b'abAVHXOa'b'Bab

Zc'C直角三角形ABC中：斜邊AB=AB實(shí)長直角邊BC=b

c

=

Z直角邊AC=abα角：ab與實(shí)長AB的夾角AB實(shí)長

Zabα實(shí)長

Z

Zααα2021/6/2735XOa'b'abAVHXOa'b'Bab

Y實(shí)長

Y

Yββ求一般位置直線的實(shí)長及其與V面的夾角β2021/6/2736YWXOa'b'abYHZa"b"VHXOWYZa'b'aba"b"AB求一般位置直線的實(shí)長及其與W面的夾角γ

Xγ實(shí)長

Xγ

X2021/6/2737YWXOa'b'abYHZa"b"實(shí)長

Xγ

Z實(shí)長

Yαβ實(shí)長2021/6/2738[例]如圖所示，求直線AB的真長及其對投影面H、V的傾角α、β。OXa'b'baOXa'b'ba△y=ab△zAB真長αβ2021/6/2739例：已知點(diǎn)C在直線AB上，且AC=20,求C點(diǎn)的投影。20c'bXOa'ab'c2021/6/2740c'c"d'd"OZ△y△x△y2

已知直線的真長和傾角求解有關(guān)定位和度量問題[例]如圖所示，已知直線CD的兩面投影，求CD對投影面V、W的傾角β、γ，并在CD上取一點(diǎn)T，T與C的真實(shí)距離為10mm，作點(diǎn)T的兩面投影。c'c"d'd"OZCD真長β△xCD真長t't"10γHVXOABaba'b'Tαtt1b12021/6/2741OXe'ef[例]如圖所示，已知直線EF的水平投影ef和端點(diǎn)E的正面投影e'，并知EF的真長為20mm，補(bǔ)全EF的正面投影e'f'，同時(shí)，請回答這個(gè)題目有幾解。OXe'efR20f0f'f'答：有兩解思考題：若將已知條件實(shí)長換成α=30°，則如何解題？2021/6/27422.2.4

兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行兩直線和相交兩直線分別位于同一平面上，是共面直線；交叉兩直線彼此既不平行，又不相交，它們不在同一平面上，又稱為異面直線。2021/6/2743（1）兩直線平行平行兩直線的同面投影均分別互相平行。XOVHPQABCDabcda'a'b'c'd'直觀圖XOZYHYWabcda'b'c'd'b"a"c"d"投影圖2021/6/2744例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CDabcda'b'c'd'XO2021/6/2745例2：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于投影面平行線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長的投影。結(jié)論:AB與CD不平行求出側(cè)面投影如何判斷？b"d"c"a"YWYHZcbadd'a'c'XOb'2021/6/2746如何檢驗(yàn)兩直線是否平行檢驗(yàn)方法：（1）對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。（2）對于投影面平行線，可采用以下兩種方法：1）若用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長的投影。2）作出投影面平行線的三面投影。2021/6/2747相交兩直線的同面投影都分別互相相交；并且，同面投影的交點(diǎn)是同一點(diǎn)的投影，這個(gè)點(diǎn)就是兩直線的交點(diǎn)。（2）兩直線相交HCDABKabcdk直觀圖投影圖OXZYWYHabcda'b'c'd'a"b"c"d"k'k"k判斷兩直線相交或交叉的關(guān)鍵原則2021/6/2748d'k'kd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影●●cabb'a'c

XO2021/6/2749例：求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。15l'la'b'abc'd'dcXO2021/6/2750d'b'a'abcdc'同面投影雖相交，但“交點(diǎn)”不符合空間同一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。AB與CD兩直線相交嗎投影特性：結(jié)論：AB與CD兩直線不相交，屬于交叉直線（3）兩直線交叉2021/6/2751直觀圖XOVHABCDⅠⅡab1cd2a'b'c'd'1'(2')交叉兩直線的同面投影都分別相交，但同面投影的交點(diǎn)不是同一點(diǎn)的投影；或同面投影有的相交，有的平行。投影圖ca'1'(2')dabb'c'd'12OX2021/6/2752abcdXOb'c'd'a'交叉兩直線判斷重影點(diǎn)投影的可見性時(shí)，需要看兩重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號表示。用其可幫助判斷兩直線的空間位置。CD在上AB在下CD在后AB在前432(1)1'2'3'(4')abcdXOb'c'd'a'2021/6/2753XOZYwYHc'a'b'd'c"d"a"b"cbda3'(4')2'1'1(2)345"(6")5'6'2021/6/2754兩直線相對位置的檢驗(yàn)和作圖題示例[例]如圖所示，檢驗(yàn)直線AB、CD的相對位置。XOa'b'badcc'd'ZXOYWYHa'b'c'd'abcda"b"c"d"結(jié)論：AB與CD兩直線屬于交叉直線2021/6/2755例：判斷兩線段DE、FG是否平行。DE、FG共面，故平行。DE、FG不共面，故不平行。defgOXg'f'd'e'defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"edfgXg'f'd'e'O2021/6/2756XOaba'b'c'c作CD∥AB[例題]如圖所示，已知直線AB及點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥AB。XOaba'b'c'c已知dd'過點(diǎn)作直線平行已知直線2021/6/2757OXe'f'efaba'b'c'd'cd[例題]如圖所示，已知直線AB、CD、EF，求直線PR，使PR與AB交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q，平行于EF，點(diǎn)R在PQ沿著P到Q方向的延長線上，PR的真長為30mm。作直線PR的兩面投影；同時(shí)也作出點(diǎn)Q的兩面投影。OXe'f'efaba'b'c'd'cdd0pqq0q'p'gg'△z△z30r0g