2024高考數(shù)學(xué)講義-立體幾何

2024高考數(shù)學(xué)講義一立體幾何

目錄

1.第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖....................................2

1.1.基礎(chǔ)知識整理...........................................................2

1.2.考試核心突破...........................................................6

1.2.1.考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征......................................6

1.2.2.考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系..................................7

1.2.3.考向三空間幾何體的展開圖和截面圖...............................9

L3.課堂作業(yè)................................................................13

2.第2講空間幾何體的表面積與體積...........................................23

2.1.基礎(chǔ)知識整理...........................................................23

2.2.考試核心突破...........................................................26

2.2.1.考向一幾何體的表面積............................................26

2.2.2.考向二幾何體的體積..............................................28

2.2.3.考向三與球有關(guān)的切、接問題......................................33

2.2.4.課堂作業(yè)..........................................................40

3.第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.................................51

3.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................51

3.2.考試核心突破..........................................................55

3.2.1.考向一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用.......................................55

3.2.2.考向二空間兩條直線的位置關(guān)系...................................57

3.2.3.考向三異面直線所成的角.........................................60

3.2.4.課堂作業(yè)..........................................................66

4.第4講直線、平面平行的判定及性質(zhì).......................................78

4.1.基礎(chǔ)知識整理...........................................................78

4.2.考試核心突破..........................................................82

4.2.1.考向一有關(guān)平行關(guān)系的判斷.......................................82

4.2.2.考向二直線與平面平行的判定與性質(zhì)..............................85

4.2.3.考向三面面平行的判定與性質(zhì)....................................88

4.2.4.課堂作業(yè)..........................................................91

5.第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)........................................102

5.1.基礎(chǔ)知識整理.........................................................102

第1頁共203頁

5.2.考試核心突破..........................................................107

5.2.1.考向一有關(guān)垂直關(guān)系的判斷.......................................107

5.2.2.考向二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)...............................109

5.2.3.考向三面面垂直的判定與性質(zhì).....................................115

5.3.課堂作業(yè).............................................................118

6.第6講空間向量及其運算.................................................129

6.1.基礎(chǔ)知識整理.........................................................129

6.2.考試核心突破..........................................................132

6.2.1.考向一空間向量的線性運算.......................................132

6.2.2.考向二共線向量與共面向量定理的應(yīng)用............................134

6.2.3.考向三空間向量的數(shù)量積.........................................135

6.3.課堂作業(yè).............................................................139

7.第7講立體幾何中的向量方法..............................................145

7.1.基礎(chǔ)知識整理.........................................................145

7.2.考試核心突破.........................................................150

7.2.1.考向一利用空間向量證明平行、垂直.............................150

7.2.2.考向二利用空間向量求空間角....................................153

7.3.課堂作業(yè).............................................................167

1.第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖

1.1.基礎(chǔ)知識整理

設(shè)知識梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

圖形

互相國平行互相畫平行

底面多邊形

且回全等且畫相似

第2頁共203頁

相交于畫］一點，延長線交于

畫平行且相等

側(cè)棱畫一點

但不一定相等

側(cè)面形狀畫平行四邊形畫三角形d司梯形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

圖形

互相平行且相等，延長線交于

相交于應(yīng)一點—

母線叵］垂直于底面函］一點

全等的畫等腰

軸截面全等的回矩形全等的d同等腰國圓

三角形梯形

側(cè)面

畫矩形畫扇形—

展開圖國1扇環(huán)

⑶特殊的四棱柱

鼻底面為平行四邊形.用沃麗側(cè)棱垂直于底面

I直平行六面體I期迎匕曬雨底面為正方形》

同麗側(cè)棱與底面邊長相汽而雨

2.直觀圖

(1)畫法：常用畫斜二測畫法.

⑵規(guī)則

①原圖形中X軸、軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，X'軸、y'軸的夾角為

國45。(或135。),z'軸與/軸和y'軸所在平面兩垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍岡平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸

和z軸的線段在直觀圖中保持原長度固丕變，平行于y軸的線段長度在直觀圖

中國變?yōu)樵瓉淼囊话?

1.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

第3頁共203頁

［坐標(biāo)軸的夾角改變，

“三變”I與），軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

、圖形改變.

［平行性不改變，

“三不變”｛與X，Z軸平行的線段的長度不改變,

〔相對位置不改變.

2.直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

S直觀圖原圖形（或s原圖形=2、/2s直觀圖）.

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長均相等的四面體是正四面體

C.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺

答案B

解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱

錐，A錯誤；斜四棱柱也可能有兩個側(cè)面是矩形，C錯誤；截面平行于底面時，

底面與截面之間的部分才叫圓臺，D錯誤.

2.如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）

A.—t*棱柱中挖去一^t'棱柱

B.一個棱柱中挖去一個圓柱

C.一個圓柱中挖去一個棱錐

D.一個棱臺中挖去一個圓柱

答案B

第4頁共203頁

解析螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內(nèi)有一個圓，所以螺母可以看成

一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.

3.（多選）下列說法正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形

B.圓錐過軸的截面是一個等腰三角形

C.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

D.圓臺平行于底面的截面是圓面

答案ABD

解析由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周

所圍成的幾何體是圓錐.強調(diào)一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角

形的一條直角邊所在的直線，因而C錯誤.

4.以下利用斜二測畫法得到的結(jié)論，其中正確的是（）

A.相等的角在直觀圖中仍相等

B.相等的線段在直觀圖中仍相等

C.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

D.菱形的直觀圖是菱形

答案C

解析根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行

于X軸的線段長度不變，平行于>軸的線段長度減半，故A,B,D錯誤；對于

C,根據(jù)平行性不變原則，平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，c正確.故

選C.

5.如圖所示，XNB'C是水平放置的aABC的直觀圖，則在△ABC的

三邊及中線中，最長的線段是（）

A.ABB.AD

第5頁共203頁

C.BCD.AC

答案D

解析X2C是直角三角形，且ZABC=90°，則AOAB,AOAD,AOBC.

6.如圖所示，長方體ABC。-A'B'CD'中被截去一小部分，其中E"

IIA'D',則剩下的幾何體是（）

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.簡單組合體

答案C

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.

1.2.考試核心突破

1.2.1.考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1下列說法正確的是（）

A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形

C.有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點

答案B

解析A錯誤，如圖1；B正確，如圖2,其中PD1底面ABC。，且底面

ABCO是矩形，可以證明/出3,NPC3都是直角，這樣四個側(cè)面都是直角三角

形；C錯誤，如圖3；D錯誤，由棱臺的定義知，其側(cè)棱延長后必相交于同一點.

第6頁共203頁

識別空間幾何體的兩種方法

(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模

型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進行判定.

(2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只

要舉出一個反例即可.

1.下列結(jié)論正確的是()

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

C.若棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

答案D

解析由圖1知，A不正確；如圖2,當(dāng)兩個平行平面與底面不平行時，截

得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B不正確；

若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若

以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯誤；由母線的概念知，D

正確.

1.2.2.考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系

例2(1)如圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，

其中。'A'=6,O'C=2,則原圖形0ABe的面積為()

A.24/B.12A/2

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C.48啦D.2072

答案A

解析由題意知原圖形0ABe是平行四邊形，且0A=BC=6,設(shè)平行四邊

形0ABe的高為。瓦貝IJOEX^X坐=。，C',：0'C=2,.\OE=4y/2,

J.S^OABC=6X46=246.故選A.

⑵在等腰梯形ABC。中，上底CO=1,腰AO=CB=啦，下底AB=3,以

下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A'B'C。'的面積為

答案坐

解析因為0E=4（6）2—12=],所以。‘E'=|,E'F'=坐，所以

直觀圖A'B'C。'的面積為S'=；X（1+3）X,邛.

觸類旁通畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用

“斜”（兩坐標(biāo)軸成45。或135。）和“二測”（平行于），軸的線段長度減半，平行

于龍軸和z軸的線段長度不變）來掌握.對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知

原圖形求直觀圖中的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.

即時訓(xùn)練2.已知正三角形ABC的邊長為出那么△ABC的直觀圖

△A'B'C'的面積為（）

A.乎/B.坐/

C班.2D西/2

答案D

解析如圖①②所示的平面圖形和直觀圖.

第8頁共203頁

]、行

A'B'=AB=a,O'C=]OC=羊，在圖②中作C'D'_LA'B'于點

1

C，

D',則CD'=20'=乎。?所以Bc=\A'B'c=-

￡>z2

A/62

XQX坐。=Q”.

o16

3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊平行于y軸，

BC,AD平行于x軸.已知四邊形A8CD的面積為2啦cn?,則原平面圖形的

面積為?

答案8cm2

解析解法一：依題意可知/區(qū)4。=45。，則原平面圖形為直角梯形，上、

下底的長分別與3C,A。相等，高為梯形ABC。的高的2啦倍，所以原平面圖

形的面積為8cm2.

解法—：依題意可知，S直觀圖=cm~,

故S原圖形=2y[2S直觀圖=8cm2.

多角度探究突破

1.2.3.考向三空間幾何體的展開圖和截面圖

角度1空間幾何體的展開圖問題

例3（1）（2020.濟南模擬）某圓柱的高為2,底面周長為16,M,N分別是

圓柱上、下底面圓周上的兩點，其中。E1ON,如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，

從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

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A.2yfnB.275

C.3D.2

答案B

解析圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置（N為EP的四等分點）如圖所示,

連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑.￡/V=1xi6=4,EM=2,

：.MN=yjEM2+EN2=^/22+42=2小.

（2）（2020.湖北四地七校期中）某同學(xué)為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護人

員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六

個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字.該正方體紙盒水平放置的六個面分

別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體的展開

圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是（）

A.最B.美

C.逆D.行

答案B

解析由題圖可知，“致”的對面是“美”，“敬”的對面是“逆”，“最”

的對面是“行”.若圖中“致”在正方體的后面，則“美”在前面.故選B.

角度2空間幾何體的截面問題

例4（1）（2020.西寧一模）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一

個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4小的正方體的

六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長

為4兀，則該球的半徑是（）

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A.2B.4

C.2y[6D.4冊

答案B

解析設(shè)截面圓半徑為r,球的半徑為R,則球心到某一截面的距離為正方

體棱長的一半，即2S，根據(jù)截面圓的周長可得4兀=2口，得r=2,故由題意知

巾=7+（2小產(chǎn)，即9=22+（2小）2=16,所以R=4,故選B.

（2）（2020.福清市一模）已知正方體ABC。-48的棱長為2,AG_L平面

a.平面a截此正方體所得的截面有以下四個結(jié)論：

①截面形狀可能是正三角形；

②截面的形狀可能是正方形；

③截面形狀可能是正五邊形；

④截面面積最大值為3小.

則正確結(jié)論的編號是（）

A.①④B.①③

C.②③D.②④

答案A

解析對于①，如圖1,當(dāng)a截此正方體所得截面為BCD時滿足，故①正

確；對于②，由對稱性得截面形狀不可能為正方形，故②錯誤；對于③，由對稱

性得截面形狀不可能是正五邊形，故③錯誤；對于④，如圖2,當(dāng)截面為正六邊

形時面積最大，為6義坐X（S）2=3小，故④正確.故選A.

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觸類旁通］(1)通常利用空間幾何體的表面展開圖解決以下問題：①求

幾何體的表面積或側(cè)面積；②求幾何體表面上任意兩個點的最短表面距離.

⑵求解與截面有關(guān)的問題的關(guān)鍵是確定截面的形狀，并從幾何體中獲取相

關(guān)的數(shù)據(jù)進行計算.

⑶作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個

截點即可連接成截線，從而得到截面.

即時訓(xùn)練4.如圖，已知正三棱柱ABC-的底面邊長為1cm,高為

5cm,若一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達4點，則該質(zhì)點

所經(jīng)最短路線的長為()

A.12B.13

C.對D.15

答案C

解析如圖所示，把側(cè)面展開兩周可得對角線最短，AAI=#2+52=M

cm.故選C.

5.若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的高是,圓錐

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的軸截面面積是.

答案小小

解析一個圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面周

長為2兀，底面半徑為r=1.所以圓錐的高是底干=小，圓錐的軸截面面積是

小=小.

1.3.課堂作業(yè)

一、單項選擇題

1.將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體

包括（）

A.—個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓臺、一個圓柱

C.兩個圓柱、一個圓臺D.一個圓柱、兩個圓錐

答案D

解析從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成

了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋

轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體，如圖所示.

2.如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）

答案C

解析斜二測畫法規(guī)則：平行于x軸或x軸上的線段的長度在新坐標(biāo)系中

不變，平行于y軸或在y軸上的線段的長度在新坐標(biāo)系中變?yōu)樵瓉淼?，并注意

第13頁共203頁

到直觀圖的一邊平行于y'軸，故平面圖形是直角梯形，結(jié)合擺放位置知選C.

3.給出下列命題：

①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱;

②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；

③長方體一定是正四棱柱.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析①底面是菱形的直平行六面體，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等

腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；③顯然錯誤.

4.一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.五棱錐D.六棱錐

答案D

解析由題意可知，每個側(cè)面均為等邊三角形，每個側(cè)面的頂角均為60°,

如果是六棱錐，因為6X60。=360。，所以頂點會在底面上，因此不是六棱錐.

5.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面

圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截

面圖形可能是（）

A.①②B.①③

第14頁共203頁

C.④D.①⑤

答案D

解析一個圓柱挖去一個圓錐，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓

柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部

分.

6.正方體ABCD-AiCCQi中,P,Q,R分別是AB,AD,3。的中點.那

么，正方體的過P,Q,R的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案D

解析通過畫圖，可以得到這個截面與正方體的六個面都相交，所以截面為

六邊形，故選D.

7.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖如圖所示，此直

觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）

A.2小B.272

C.4小D.8啦

答案D

解析由斜二測畫法可知，原平面圖形是一個平行四邊形，且平行四邊形的

一組對邊長為2.在斜二測畫法畫出的直觀圖中，AB'O'A'=45。且O'B,

=2也，那么在原圖形中，NBOA=900且0B=4巾,因此，原平面圖形的面積

第15頁共203頁

為2義4/=8啦，故選D.

8.過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積

的最小值是（）

A.1B.也

C.坐D.半

答案D

解析取A41的中點已的中點￡連接BE,ED\,D\F,FB,如圖所

示.四邊形BED聲為過棱長為1的正方體的一條體對角線所作截面的面積

最小的截面，且四邊形BE"尸是菱形，其截面面積為，8。「口=3*仍義啦=

坐故選D.

9.（2020?黃州區(qū)校級模擬）如圖所示，在單位正方體ABCD-A^GDi的面

對角線48上存在一點P,使得AP+OP取得最小值，則此最小值為（）

A.2

啦+黃

B.-2~

C.2+正

D.-\)2+yf2

第16頁共203頁

答案D

解析如圖所示，把對角面AC繞A由旋轉(zhuǎn)至，使其與△山!由

在同一平面上，連接AZV,則A。/=^/1+1-2X1X1XCOS135°=衣2+6

為所求的最小值.故選D.

10.（2020.新高考卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形

狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一

個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值

為（）

小+1

C.D.2

答案C

解析如圖，設(shè)8=見PE=b,貝I]PO=\PE2-。中=\,2_1,由題意,

得PO2=^ab,即f=^ab,化簡得4(§>-2看-1=0,解得"='負(fù)值

舍去）.故選C.

第17頁共203頁

二、多項選擇題

11.關(guān)于簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

答案ACD

解析根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱相交于一點但長度不一定相等.

12.對如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中說法正確的是

A.由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成的

B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的

C.由一個長方體挖去一個四棱臺所構(gòu)成的

D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的

答案AB

解析如圖，該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構(gòu)成，也可以由一

個長方體與兩個四棱柱組合而成，故A,B正確.

三、填空題

13.如圖，點E,尸分別是正方體的側(cè)面AOD4和側(cè)面5CG3的中心，則

四邊形BFDxE在該正方體的各面上的正投影可能是圖中的.（要求把可

能的序號都填上）

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答案②③

解析其中②可以是四邊形8尸。歸在正方體的下底面ABC。上的投影；③

可以是四邊形BFOiE在正方體的側(cè)面BCCB上的投影.

14.（2019?全國卷II）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之

--印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印

信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍

成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多

面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該

半正多面體共有

答案2672-1

解析先求面數(shù)，有如下兩種解法.

解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個

面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2X9+8=26個面.

解法二：一般地，對于凸多面體

頂點數(shù)（V）+面數(shù)（尸-棱數(shù)（為=2.（歐拉公式）由題圖知，棱數(shù)為48的半正多

面體的頂點數(shù)為24.故由V+F-E=2,得面數(shù)F=2+E—V=2+48—24=26.再

求棱長.

第19頁共203頁

作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上

的正八邊形ABCDEFG”，如圖，設(shè)其邊長為二則正八邊形的邊長即為棱長.連

接AF,過"，G分別作GN1AF,垂足分別為M,N,則=

=NG=NF=專*.又AM+MN+NF=1,.,.乎x+x+半為=1.

.1-x=V2-l,即半正多面體的棱長為6-1.

四、解答題

15.若已知△ABC的直觀圖△?!'B'C是邊長為。的正三角形，求原△

ABC的面積.

解如圖所示是△ABC的直觀圖AA'B'C.作C'D'///軸交/軸

于點，貝IJC'D'對應(yīng)△ABC的高CO,「.C。=2C'D'=2X啦XC'O'

A

=2-\/2-2a=乖a.

而AB=A'B'=a,S^ABC=^a-\[6a=^^a2.

16.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀cm?和25兀cm?,求：

(1)圓臺的局；

(2)將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長.

解⑴圓臺的軸截面是等腰梯形A8CD由已知可得。iA=2cm,0B=5cm.

又由(如圖所示)題意知腰長AB=12cm,

所以高AM=y/122-(5-2)2

=3->/15(cm).

第20頁共203頁

(2)如圖所示，延長8A,001,CD,交于點S,設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線

/-122

長為/cm,則由△SAOsaSBO,可得［一=彳解得/=20.即截得此圓臺的圓

錐的母線長為20cm.

17.如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長AB=20cm,

從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點.求：

(1)繩子的最短長度；

(2)在繩子最短時，求上底面圓周上的點到繩子的最短距離.

解(1)如圖，繩子的最短長度為側(cè)面展開圖中AM的長度.

OB_5

由OB+ABF

得08=20cm,

所以O(shè)A=40cm,

0M=30cm.設(shè)/BOB'=/

由2X5n=OB仇

解得8=1所以AM='OA?+。游=5()(cm).即繩子的最短長度為50cm.

第21頁共203頁

(2)過點0作0Q1AM于點Q,交彘'于點P,則PQ的長度為所求最短距

離.因為0A-OM=AMOQ,所以0Q=24cm.故PQ=24-20=4(cm),即上底面

圓周上的點到繩子的最短距離為4cm.

18.(2021.新高考八省聯(lián)考)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲

空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲

性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差(多面體的

面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，

多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有

TT7T

3個面角，每個面角是？所以正四面體在各頂點的曲率為2兀-3*1=兀，故其

總曲率為471.

(1)求四棱錐的總曲率；

(2)若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是

常數(shù).

解(1)由題可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和.可以從

整個多面體的角度考慮，所有與頂點相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面

的內(nèi)角的集合.由圖可知，四棱錐共有5個頂點，5個面，其中4個面為三角

形，1個面為四邊形.

所以四棱錐的表面內(nèi)角和為4個三角形，1個四邊形的所有內(nèi)角和,

則其總曲率為2兀X5-(4兀+2兀)=471.

⑵證明：設(shè)頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為〃，I,m,

第22頁共203頁

所以有n-l+m=2.

設(shè)第，?個面的棱數(shù)為以

所以XI+X2+,,,+Xm=21,

所以總曲率為

2?！ㄒ籘I[(XI-2)+(%2-2)+,,,+(xm-2)]=271rl-兀(2/—2m)=-I+m)=

4無，

所以這類多面體的總曲率是常數(shù).

2.第2講空間幾何體的表面積與體積

2.1.基礎(chǔ)知識整理

■知識梳理

1.多面體的表面積、側(cè)面積

因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是畫側(cè)面展開圖的

面積,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

'圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開圖

側(cè)面積S圓柱側(cè)=S圓錐側(cè)=S圓臺側(cè)=

公式102|如H103|nrl104Rfrl+r2)l

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱幾何體表面積體積

柱體

S表面積=S側(cè)+2S底V=r05|sh

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積=5側(cè)+5底V=[06]|sh

（棱錐和圓錐）

V=，(S上+S下+

臺體S表面積=5側(cè)+

（棱臺和圓臺）S上+S下

qs上S下)h

球S=|07|4HT2V=|08|^nr3

知識拓展

1.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論

第23頁共203頁

(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

2.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長為。，球的半徑為R,

①若球為正方體的外接球，則2/?=5a；

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=也a.

(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則

2R=\ja2+b2+c2.

(3)由棱柱的上下底面平行和球的對稱性，可知直棱柱外接球的球心為上下

底面外接圓圓心連線的中點，根據(jù)勾股定理求直棱柱外接球的半徑.

(4)設(shè)正四面體的棱長為a,則它的高為坐a,內(nèi)切球半徑一=松，外接球半

徑/?=乎外正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3:1.

|雙基自測

1.棱長為2的正四面體的表面積是()

A.小B.4

C.4^3D.16

答案C

解析每個面的面積為gx2X2X^=小，所以正四面體的表面積為4小.

2.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為小，那么它的體積為()

A.6小B.小

C.2#D.2

答案B

解析由正六棱錐底面邊長為1和側(cè)棱長為小，可知高〃=2,又因為底面

積S=所以體積V===

第24頁共203頁

3.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32兀

A.127rB.T

C.8TID.4兀

答案A

解析由題意，可知正方體的棱長為2,其體對角線為2小，即為球的直徑，

所以球的表面積為4無我2=（2/?）2兀=12兀，故選A.

4.已知圓錐的表面積等于1271cm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓

的半徑為（）

A.1cmB.2cm

C.3cmD.$cm

答案B

解析..節(jié)表=Tir2+兀〃=兀7+兀廠.2r=3兀7=12兀，r2=4,r=2（cm）.

5.設(shè)一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4,球心到切面圓心

的距離為3,則該西瓜的體積為（)

R25671

A.100兀B.3

400兀一5007r

C.3D-F

答案D

解析由題意知切面圓的半徑r=4,球心到切面圓心的距離4=3,所以球

的半徑/?=、/+/=、42+32=5,故球的體積丫=今次3=%*53=券^,即該西

不以de500兀

瓜的體積為M工

6.如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊

45作一個平行于棱CC的平面記平面分三棱臺兩部分的體積為□（三

棱柱A\B\C\-FEQ,V2兩部分，那么Vt：V2=.

第25頁共203頁

答案3:4

解析設(shè)三棱臺的高為〃，上底面的面積是S,則下底面的面積是4S,

17.口_Sh_3

=：

三棱臺+4S+25）=gS",.V\=Sh,“2=7=4'

利?-Sh

2.2.考試核心突破

2.2.1.考向一幾何體的表面積

例1（1）（2020.山師大附中模擬）如圖，倒置的圓錐上面放置的是一個正四

棱柱，已知圓錐的底面半徑為2,高為4,正四棱柱的底面邊長為啦，高為1,

則該幾何體的表面積為（）

A.（4+4?。o+46

B.（4+4?。┴?4+4^/2

C.12兀+12

D.12兀+4+46

答案A

解析由題意可知，該幾何體的表面積S=S圓錐表面積+s正四棱柱側(cè)面積.又S圓錐表

2

面積=兀X2X-^2+4-+兀X2-=（4+4"\/5）7t.S正四棱柱側(cè)面積=4XX1=4^/2.

*'S表面積=（4+兀+,故選A,

（2）（2020.全國卷I）已知A,B,C為球。的球面上的三個點，。。為△ABC

的外接圓，若的面積為4兀，A8=8C=AC=。。，則球。的表面積為（）

第26頁共203頁

A.64兀B.48兀

C.36兀D.32兀

答案A

解析設(shè)圓。的半徑為，，球的半徑為R依題意，得兀戶=4兀，.」=2.由

正弦定理可得;=2r,：.AB=2rsin60°=2小.OOi=AB=2事.

易知OOil平面ABC,

)1

.,.OOilOiA,R=OA=y/oOl+OiA2=y/oO^+r1=4,球。的表面積S=

4兀R2=64兀.故選A.

(3)圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的

圓心角是180。，那么圓臺的表面積為cm"結(jié)果中保留兀).

答案110071

解析如圖所示，設(shè)圓臺的上底周長為C,因為扇環(huán)的圓心角是180°,所

以C=TTS4.XC=271X10=2071,所以S4=20(cm).同理S3=40(cm).所以AB

=SB-SA=20(cm).S表=S側(cè)+S上底+S下底=兀(ri+n)-AB+Ttr?+兀*=兀(10+

20)X20+7iX102+7iX202=11007t(cm2).故圓臺的表面積為IIOOTTcm2.

觸類旁通

(1)求解有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中

的矩形、棱臺中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長

第27頁共203頁

等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元

素間的聯(lián)系.

（2）多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的

處理.

（3）旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

即時訓(xùn)練1.（2020.威海模擬）如圖，直角梯形A3C。中，AD1DC,ADII

BC,BC=2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體

的表面積為?

答案（6+3）兀

解析由圖中數(shù)據(jù)可得，S圓錐“兀X=也兀，S圓柱側(cè)=2兀XIX1=2兀，

S底面=兀*r=兀所以幾何體的表面積S=S畫錐側(cè)+S圓柱側(cè)+S底面=啦兀+211+11=

（加+3）兀

2.若正四棱錐的底面邊長和高都為2,則其表面積為.

答案4+4小

解析如圖.由題意知底面正方形的邊長為2,正四棱錐的高為2,則正四

棱錐的斜高PE=^22+\