《電磁場與電磁波》課件第8章

第8章導(dǎo)行電磁波8.1規(guī)則波導(dǎo)傳輸?shù)幕纠碚?.2矩形波導(dǎo)中的導(dǎo)行電磁波8.3圓波導(dǎo)8.4同軸線中的導(dǎo)行電磁波8.5諧振腔中的電磁場

8.1規(guī)則波導(dǎo)傳輸?shù)幕纠碚?/p>

圖8-1是任意形狀橫截面的均勻波導(dǎo)。當(dāng)電磁波在波導(dǎo)中傳播時(shí)，其一般方法是求解滿足邊界條件的麥?zhǔn)戏匠探M。如果波導(dǎo)壁是理想導(dǎo)體，波導(dǎo)內(nèi)為無源空間，并充有介電常數(shù)ε、磁導(dǎo)率μ的無耗理想媒質(zhì)，則波導(dǎo)內(nèi)電磁場滿足波動(dòng)方程

(8-1)式中是電磁波在無限大相應(yīng)媒質(zhì)中傳播時(shí)的傳播常數(shù)，又稱波數(shù)。圖8-1任意橫截面的均勻波導(dǎo)8.1.1縱向場法

這種方法先求解縱向場(即電磁波傳播方向)的波動(dòng)方程，然后通過橫向場與縱向場間的關(guān)系來求得全部場分量的方法。為此，可將場分量分解為橫向和縱向兩部分，設(shè)縱向場的單位矢為ez，即有

(8-2)由矢量運(yùn)算式(8-3)

式中已考慮到場沿縱向有指數(shù)形式解，γ為傳播常數(shù)，對(duì)無耗媒質(zhì)γ=jβ，故在這里，將式(8-3)應(yīng)用于麥克斯韋方程組，得(8-4)對(duì)于電波或橫磁波，因Hz=0，由式(8-4)第二式有(8-5)(8-6)ZE是電波的波阻抗,表示橫向電場與垂直于它的橫向磁場之比。

將式(8-5)代入式(8-4)第一式可得(8-7)式中,(8-8)式(8-5)和式(8-7)是在任何坐標(biāo)系中電磁波的橫向場分量與縱向場分量間的普遍關(guān)系式。在直角坐標(biāo)系中可表示為(8-9)在圓柱坐標(biāo)系中可表示為

(8-10)因此，只要求解縱向場分量Ez滿足的波動(dòng)方程，即可得到全部場分量。由式(8-10)有(8-11)求得。對(duì)于磁波或橫電波，Ez=0，利用電磁場的對(duì)偶原理或類似上述方法可得到用縱向場分量表示的橫向場分量表達(dá)式為

(8-12)(8-13)(8-14)ZH是磁波的波阻抗，表示磁波橫向電場與垂直于它的橫向磁場之比。式(8-12)和式(8-13)在直角坐標(biāo)系中可表示為

(8-15)在圓柱坐標(biāo)系中為(8-16)縱向場分量Hz可由波動(dòng)方程

(8-17)求解。對(duì)于縱向場分量均不為零的波型，其場分量可由式(8-11)和式(8-17)的解的場量疊加來求得。此時(shí)，在直角坐標(biāo)系中表示為(8-18)在圓柱坐標(biāo)系中則表示為(8-19)8.1.2赫茲矢量法

赫茲矢量法是一種先求赫茲電矢量或赫茲磁矢量所滿足的波動(dòng)方程，再根據(jù)它與場之間的固有關(guān)系來求場量的方法。因此，此法的基礎(chǔ)是應(yīng)用赫茲矢量。

由第6章可得場和矢量勢之間的關(guān)系為(8-20)

1.電波

對(duì)于電波，設(shè)赫茲電矢量

(8-21)將其帶入式(8-20)，可得(8-22)將式(8-21)代入時(shí)變場的達(dá)朗貝爾方程(8-23)即赫茲電矢量滿足達(dá)朗貝爾方程。在無源空間，赫茲電矢量同樣滿足亥姆霍茲方程，故有(8-24)

2.磁波

對(duì)于磁波，可引入赫茲磁矢量Πe，它與矢量勢A間的關(guān)系定義為(8-25)赫茲磁矢量同樣滿足達(dá)朗貝爾方程，即(8-26)對(duì)于無源區(qū)域，赫茲磁矢量同樣滿足亥姆霍茲方程，有(8-27)將赫茲磁矢量Πe代入式(8-20)，場量和赫茲磁矢量Πe間關(guān)系為

(8-28)可見，對(duì)于磁波，只需求解赫茲磁矢量Πm的波動(dòng)方程式(8-27)，然后再由式(8-28)求得其場量。同樣地，這些方程適用于任何坐標(biāo)系，具有普遍性。赫茲磁矢量描述了磁偶極子的場，其方向與磁偶極子的軸相重合。對(duì)于縱向場分量均不為零的波型，其場分量可用式(8-22)和式(8-28)對(duì)應(yīng)場疊加求得。但對(duì)于無縱向分量的TEM波，不能采用這種方法。為了簡化運(yùn)算，現(xiàn)用Π表示兩個(gè)赫茲矢量，則需求解的波動(dòng)方程為(8-29)令Π=ΠTF(z)

則有

(8-30)故可得若場沿縱向有指數(shù)解，則有(8-31)上述兩種方法表明：場量沿縱向有指數(shù)解，即滿足與低頻傳輸線方程相同的形式；傳播常數(shù)γ具有在傳輸線中相同的意義，但與之不同的是：電磁波沿波導(dǎo)傳播時(shí)，其傳播常數(shù)包含k2c和k2兩部分，在電磁波頻率一定的情況下，k取決于波導(dǎo)中的媒質(zhì)特性，kc取決于波導(dǎo)中傳播的波型和波導(dǎo)的幾何尺寸。因此，不同形狀的波導(dǎo)，不同波型及波導(dǎo)中填充不同的媒質(zhì)都將使電磁波的傳播常數(shù)不同。場在縱向上的分布可采用分離變量法來求解波動(dòng)方程(8-32)式中，L表示縱向電場或磁場，或表示赫茲電矢量或磁矢量。根據(jù)波長的定義：電磁波在一振蕩周期內(nèi)沿波導(dǎo)所走過的路程是電磁波在波導(dǎo)中的波長，并稱為波導(dǎo)波長，即

(8-33)而相移常數(shù)(8-34)可知，由于波導(dǎo)中傳播常數(shù)取決于k2c和k2兩部分，波在波導(dǎo)中的相速與波在自由空間的相速將不相等，這樣，對(duì)于一定頻率f(不論波在自由空間還是在波導(dǎo)中傳播，頻率都是不變的)，其對(duì)應(yīng)的自由空間波長和波導(dǎo)波長將不相等。因而必須放棄把波長作為一個(gè)常數(shù)的概念，放棄把它當(dāng)作單值表征振蕩器的特性。根據(jù)式(8-8)，設(shè)

(8-35)在無耗情況下，式(8-8)可寫為可得λg和vp為(8-36)如波導(dǎo)內(nèi)充空氣，則有(8-37)(8-38)當(dāng)λ≥λc時(shí)，λg、vp將趨于無窮或變?yōu)樘摂?shù)，且傳播常數(shù)為實(shí)數(shù)，波導(dǎo)中場按指數(shù)規(guī)律衰減，波最終被終止，而不能沿波導(dǎo)傳播。很明顯，只有在λ<λc時(shí)，傳播常數(shù)為虛數(shù)，波在波導(dǎo)中才可無衰減地傳播。因此，電磁波在波導(dǎo)中的傳輸條件為

(8-39)這樣，λc表示了在波導(dǎo)中電磁波能否傳播的波長的臨界值，并被稱為截止波長或臨界波長。相應(yīng)地，kc稱為截止波數(shù)或臨界波數(shù)。由于波的相速與頻率有關(guān)，因此，電磁波在這類波導(dǎo)中傳播時(shí)有色散現(xiàn)象，并被稱為色散波，由式(8-36)知，色散波的相速是大于光速的。而它的群速(8-40)是能量傳播速度，它是小于光速的。由式(8-36)和式(8-40)知，相速和群速的乘積為

vg·vp=v2

(8-41)

式中，是光在相應(yīng)的無界媒質(zhì)中的傳播速度。

在真空中(8-42)(8-43)vg·vp=c2電磁波沿波導(dǎo)傳播時(shí)，其相速可大于光速其原因是由于電磁波在波導(dǎo)壁上不斷反射向前傳播的結(jié)果。相速是電磁波等相位面的移動(dòng)速度，而群速是電磁波能量的傳播速度，由圖8-2中可解釋這一現(xiàn)象。圖8-2電磁波沿波導(dǎo)傳播示意圖在波導(dǎo)中當(dāng)電磁波以光速c由A點(diǎn)傳至В時(shí)，波的相位面以相速vp由AA′面移至BB′面，即等相位面沿波導(dǎo)移動(dòng)了距離AB′。由直角ΔABB′知(8-44)式中θ0是電磁波傳播方向與波導(dǎo)軸(z軸)之間的夾角，α0是電磁波的入射角。它們之間關(guān)系為與此同時(shí)，電磁波的能量沿波導(dǎo)僅從A點(diǎn)傳至B″點(diǎn)，從ΔABB″知，電磁波群速vg=ccosθ0=csinα0

(8-45)比較式(8-38)、式(8-42)和式(8-44)、式(8-45)可得(8-46)故(8-47)它表明，入射角的大小取決于電磁波頻率和在波導(dǎo)中的截止頻率。當(dāng)入射角α0=0(θ0=π/2)時(shí)，即λ=λc，波沿橫向來回反射形成駐波，波導(dǎo)中產(chǎn)生自由振蕩，沿z軸無能量傳輸。當(dāng)入射角α0=π/2(θ0=0)時(shí)，λc→∞，即波導(dǎo)內(nèi)為無截止的波，(TEM波)，但這種波不能滿足邊界條件，在波導(dǎo)中是不能傳播的。

當(dāng)入射角在0°～90°之間時(shí)，λ<λc。但入射角越小，相速越大，在波導(dǎo)壁上來回反射次數(shù)越多，導(dǎo)體損耗越大。而λ>λc的波是不可能傳播的，因這時(shí)，θ角無解(sinθ>1)，vp、λg為虛數(shù)，波將全被衰減。

在實(shí)際工作中，為了方便通常稱(8-48)為波導(dǎo)因子。

8.2矩形波導(dǎo)中的導(dǎo)行電磁波

下面根據(jù)8.1節(jié)的統(tǒng)一理論對(duì)幾種典型的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行具體的分析。矩形波導(dǎo)是橫截面為矩形的管狀空心導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，如圖8-3所示。a、b分別是矩形波導(dǎo)內(nèi)壁寬邊和窄邊尺寸。矩形波導(dǎo)是使用最多的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)之一。本節(jié)首先分析矩形波導(dǎo)中的模式及其場結(jié)構(gòu)，然后討論電磁波在矩形波導(dǎo)中的傳播特性。圖8-3矩形波導(dǎo)8.2.1矩形波導(dǎo)中的模式及其場表達(dá)式

采用直角坐標(biāo)系(x，y，z)，則式(8-11)可寫成(8-49)(8-50)首先考慮方程式(8-49)，應(yīng)用分離變量法，令Hz(x，y，z)=X(x)Y(y)e－jβz

(8-51)代入式(8-49)得到(8-52)由于式(8-52)左邊兩項(xiàng)分別只是x和y的函數(shù)，要想對(duì)于任意的x、y它們的和始終等于常數(shù)，則該兩項(xiàng)分別等于常數(shù)，令(8-53)或和(8-54)或顯然應(yīng)有(8-55)式(8-53)和式(8-54)的解分別為

X(x)=a1cos(k

xx)+a2sin(kxx)

(8-56)

Y(x)=b1cos(k

yy)+b2sin(kyy)

(8-57)

因此式(8-49)的每個(gè)特解可表示為

Hz=[a1cos(kxx)+a2sin(kxx)][b1cos(kyy)+b2sin(kyy)]

(8-58)

同理可得式(8-16)的每個(gè)特解為

Ez=[c1cos(kxx)+c2sin(kxx)][d1cos(kyy)+d2sin(kyy)]

(8-59)

在直角坐標(biāo)系中，式(8-18)可寫成(8-60)

1.TE模

由于Ez=0、Hz≠0，式(8-60)變成

(8-61)波導(dǎo)內(nèi)壁上邊界條件為由式(8-58)得e－jβze－jβz由x＝0時(shí)，

，對(duì)區(qū)間0＜y＜b的任意y應(yīng)有

a2kx·[b1cos(kyy)+b2sin(kyy)]=0所以a2=0。又由于x=a時(shí)，，對(duì)任意的y應(yīng)有則得到

kxa=mπ或kx=(mπ/a)，m=0，1，2，…

同理，由y=0和y=b處，可得

b2=0

kyb=nπ或ky=(nπ/b)，n=0，1，2，…

最后得到Hz的任一特解為e－jβmnz(8-62)其中Hmn=a1b1為任意常數(shù)，m、n可取任意整數(shù)。

2.TM模此時(shí)Hz=0、Ez≠0。與TE模場分量的求解過程完全相同，可得TE模的場分量為(8-66)對(duì)于TM模，式(8-64)和式(8-65)的關(guān)系仍然成立。與TE模一樣，矩形波導(dǎo)中的TM模也有無窮多個(gè)，記為TMmn。注意m、n都不能取0，否則所有的場分量都將為0。所以，最低次的TM模是TM11模。

任何一個(gè)TE?；騎M模都是導(dǎo)波方程滿足邊界條件的一個(gè)解，因此都可以存在于矩形波導(dǎo)中。不僅如此，它們的任何線性組合也滿足波導(dǎo)方程和邊界條件，故也可以存在。反過來說，矩形波導(dǎo)中任何一種實(shí)際存在的波都可以看做是這些基本模式的某種組合。根據(jù)8.1節(jié)得到一般公式，對(duì)矩形波導(dǎo)中TEmn和TMmn模有:

截止頻率截止波長相速波導(dǎo)波長波導(dǎo)中截止波長最長(截止頻率最低)的模稱為波導(dǎo)的主模(或基模),其他的模則稱為高次模。顯然，矩形波導(dǎo)的主模是TE10模(如果a>b),其截止波長為2a。不同模式的截止波長是不同的，而當(dāng)波導(dǎo)尺寸和信號(hào)頻率一定時(shí)，只有滿足λ<λc的那些模才能傳播。例如，對(duì)于BJ-100型的矩形波導(dǎo)，可以得到如圖8-4的截止波長分布圖。由圖可以看出，在一個(gè)較大的波長范圍內(nèi)，波導(dǎo)中只能傳輸TE10模，可以實(shí)現(xiàn)單模工作。圖8-4矩形波導(dǎo)中模式的截止波長分布圖8.2.2矩形波導(dǎo)模式的場結(jié)構(gòu)

所謂場結(jié)構(gòu)是指電力線和磁力線的形狀和分布情況，對(duì)直觀了解各模式的形態(tài)很有幫助。

電場和磁場的矢量線方程分別為根據(jù)各場分量的表達(dá)式和上述方程可以嚴(yán)格地畫出電力線和磁力線，但這通常是比較麻煩的，在實(shí)際中，常常是由場分量的表達(dá)式粗略地畫出電力線和磁力線。

1.TE模的場結(jié)構(gòu)

對(duì)于TE模，由于Ez=0、Hz≠0，所以電力線僅分布在橫截面內(nèi)，而磁力線卻是空間閉合曲線。

首先考慮最低次的TE10模的場結(jié)構(gòu)。由式(8-63)可得其場分量為(8-67)瞬時(shí)值為(8-68)可見，矩形波導(dǎo)TE10模只有Ey、Hx和Hz三個(gè)分量，且均與y無關(guān)。這表明電磁場沿y方向無變化。Ey沿x方向呈正弦變化，在0~a內(nèi)有半個(gè)駐波分布，在x=0和x=a處為0，在x=a/2處最大，如圖8-5所示。Ey沿z方向按正弦規(guī)律變化，如圖8-5所示。圖8-5TE10模的電場結(jié)構(gòu)

TE10模的磁場有Hx和Hz兩個(gè)分量。Hx沿x方向呈正弦變化，在0~a內(nèi)有半個(gè)駐波分布，在x=0和x=a處為0，在x=a/2處最大；Hz沿x方向呈余弦變化，在0~a內(nèi)有半個(gè)駐波分布，在x=0和x=a處最大，在x=a/2處為0，如圖8-6(a)所示。Hx沿z方向按正弦規(guī)律變化，Hz沿z方向按余弦規(guī)律變化，Hx和Hz在xz平面形成閉合曲線，如圖8-6(b)所示。Ey和Hx沿z方向同相，而Hz與它們存在90°相位差。圖8-7是TE10模的電磁場立體結(jié)構(gòu)圖。圖8-6TE10模的磁場結(jié)構(gòu)圖8-7TE10模的電磁場結(jié)構(gòu)

2.TM模的場結(jié)構(gòu)

最簡單的TM模是TM11模，其場沿a邊和b邊都有半個(gè)駐波分布。m和n都大于1的TMmn模的場結(jié)構(gòu)則沿a邊和b邊分別有m個(gè)和n個(gè)TM11模的基本結(jié)構(gòu)單元，只要掌握了TM11的場結(jié)構(gòu)，任意TMmn模的場結(jié)構(gòu)便可很容易得到。圖8-8同時(shí)給出了幾種較低階TM模的場結(jié)構(gòu)。

有必要指出，并非所有的TEmn模和TMmn模都能在波導(dǎo)中同時(shí)傳播，波導(dǎo)中存在哪些模，由信號(hào)頻率、波導(dǎo)尺寸與激勵(lì)情況決定。8.2.3矩形波導(dǎo)的壁電流

當(dāng)微波在波導(dǎo)中傳播時(shí)，其高頻電磁場將在波導(dǎo)壁上產(chǎn)生感應(yīng)電流，因?yàn)椴▽?dǎo)壁是良導(dǎo)體，在微波頻段它的趨膚深度極小，所以壁電流可以認(rèn)為是內(nèi)壁上的面電流。由導(dǎo)體表面的邊界條件，面電流密度為

JS=n×Ht

(8-69)

其中n是波導(dǎo)內(nèi)壁外法線方向的單位矢量，Ht是內(nèi)壁處的切向磁場。當(dāng)傳輸主模TE10時(shí)，由式(8-67)和式(8-69)可得在波導(dǎo)的下壁(y=0，n=ey)和上臂(y=b，n=－ey)的電流密度分別為

(8-70a)(8-70b)左側(cè)壁和右側(cè)壁的電流密度分別為可見，當(dāng)矩形波導(dǎo)傳輸TE10模時(shí)，在左右側(cè)壁上電流密度只有Jy分量，且大小相等、方向相反；在上壁和下壁上，電流密度有Jx和Jz兩個(gè)分量，大小相等、方向相反，如圖8-9所示。圖8-9TE10模的壁電流分布

8.2.4矩形波導(dǎo)的傳輸功率和功率容量

矩形波導(dǎo)中TEmn模的傳輸功率可由下式計(jì)算求得：(8-71)其中對(duì)TMmn模有(8-72)由式(8-71)得TE10模的傳輸功率為(8-73a)

因?yàn)樵趯挶谥行膢Ey|達(dá)到最大值|E0|=(ωμa/π)|H10|，可利用波導(dǎo)中電場的最大值表示TE10模的傳輸功率為

(8-73b)由于當(dāng)波導(dǎo)中某處的電場達(dá)到或超過所填充介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)Ebr時(shí)，介質(zhì)將發(fā)生擊穿，導(dǎo)致波導(dǎo)不能正常工作，從而限制了波導(dǎo)的最大傳輸功率。當(dāng)波導(dǎo)中的最大電場|E0|等于介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的傳輸功率就稱為波導(dǎo)的功率容量Pbr。故由式(8-73b)可得TE10模的功率容量為(8-74a)對(duì)于空氣填充波導(dǎo)，120π，Ebr=30kV/cm，則(8-74b)其中a、b和λ的單位為cm，所得功率單位為MW。例8-1

空心矩形波導(dǎo)尺寸為a=3cm、b=2cm，以6GHz的TE10模激勵(lì)?？諝鈸p耗正切為0.001，銅壁的電導(dǎo)率為5.76×107S/m。計(jì)算衰減常數(shù)。

解截止頻率為相位常數(shù)為趨膚深度為

空氣的電導(dǎo)率為σd=ωεtanδ=2π×6×109×0.001×8.85×10－12=3.336×10－4S/m有限電導(dǎo)率壁的衰減常數(shù)為介質(zhì)的衰減常數(shù)為

8.3圓波導(dǎo)

圓波導(dǎo)是橫截面為圓形的金屬波導(dǎo)，如圖8-10所示。圓波導(dǎo)具有較小的損耗和雙極化特性，常用于天線饋線和圓柱形諧振腔。其分析方法基本上與矩形波導(dǎo)相同，但適合于采用圓柱坐標(biāo)系(r，f，z)。圖8-10圓波導(dǎo)及其坐標(biāo)系8.3.1傳輸模式與場分量

與矩形波導(dǎo)一樣，圓波導(dǎo)不能傳輸TEM模而只能傳輸TE模和TM模。在圓柱坐標(biāo)系中，度量系數(shù)為h1=1、h2=r、h3=1。各場分量如下式所示:

(8-75)對(duì)TM和TE模，縱向場分量分別滿足亥姆霍茲方程(8-76)(8-77)

1.TE模的場分量

由于此時(shí)Ez=0，只需求解Hz，令

Hz(r，f，z)=R(r)j(f)e－jβz

代入式(8-67)得上式左邊僅為r的函數(shù)，右邊僅為f的函數(shù)，要想此式成立，它們必須等于一個(gè)共同的常數(shù)。令此常數(shù)為m2，則得兩個(gè)常微分方程為(8-78)(8-79)式(8-79)的解為

(8-80)式中的兩項(xiàng)的差別僅在于極化面相差π/2，即使兩項(xiàng)同時(shí)存在，也可以寫成cos(mf+ψ)的形式，通過建立坐標(biāo)系時(shí)選擇f起始點(diǎn)ψ總可以表示成只有cosmf

(ψ=0)或只有sinmf的(ψ=π/2)形式。由于相差2π的兩點(diǎn)實(shí)際上是同一點(diǎn)，而任一點(diǎn)上的場一定是單值的，所以j必須是以2π為周期的函數(shù)，即或可見m必須為整數(shù)，即m=1，2，3，…。方程(8-79)是貝塞爾方程，其通解為

R=A1Jm(kcr)+A2Nm(kcr)

(8-81)

其中Jm(x)為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm(x)為m階第二類貝塞爾函數(shù)(或稱紐曼函數(shù))。它們的變化曲線如圖8-11所示。圖8-11貝塞爾函數(shù)的圖形可見圓波導(dǎo)中的TE模有無窮多個(gè)，以TEmn表示，m表示場沿圓周變化的駐波數(shù)，n表示場沿半徑變化的半駐波數(shù)或最大值個(gè)數(shù)。

由式(8-82)可得TEmn模的截止波長為(8-85)表8-1列出了部分u'mn

的值與空氣填充波導(dǎo)中對(duì)應(yīng)的TE模的截止波長。

2.TM模的場分量

此時(shí)Hz=0、Ez≠0。利用與TE模相同的方法可以求出e－jβz邊界條件要求：①當(dāng)0≤r≤a時(shí)，Ez應(yīng)為有限值；②在波導(dǎo)內(nèi)壁上r=a處，Ef=Ez=0。根據(jù)條件①，必須有C2=0。根據(jù)條件②，有式(8-75)，應(yīng)有Jm(kca)=0。令umn表示Jm(x)的第n個(gè)根，則(8-86)這樣我們就得到了Ez的解為其中Emn=C1D，進(jìn)而可得TM模所有場分量為(8-87)其中(8-88)可見圓波導(dǎo)中的TM模也有無窮多個(gè)，以TMmn表示，m、n的意義同TE模。由式(8-85)可得TMmn模的截止波長為(8-89)表8-2是部分umn的值與空氣填充波導(dǎo)中對(duì)應(yīng)的TM模的截止波長。

表8-2umn的值與對(duì)應(yīng)的TM模的截止波長比較表8-1和表8-2可以發(fā)現(xiàn)，圓波導(dǎo)中的主模是TM11模，其截止波長最長。圖8-12給出了圓波導(dǎo)模式截止波長的分布圖。由圖可見，當(dāng)2.613a<λ<3.413a時(shí)，圓波導(dǎo)中只能傳輸TE11模，可以實(shí)現(xiàn)單模傳輸。圖8-12圓波導(dǎo)中模式的截止波長分布圖8.3.2圓波導(dǎo)的傳輸功率與功率容量

圓波導(dǎo)TEmn模的傳輸功率可由下式計(jì)算：(8-90)其中推導(dǎo)利用了貝塞爾函數(shù)的積分公式利用貝賽爾函數(shù)的遞推公式同時(shí)考慮對(duì)TE模有Jm′(kca)=0,可得將上兩式代入式(8-90)得

(8-91)類似的，可得TM模的傳輸功率為(8-92)P其中下面考慮圓波導(dǎo)主模TE11模的功率容量。電場在r=0處取得最大值|Emax|=|Er|r=0=(ωμ/2kc)H11，由式(8-91)得TE11模的傳輸功率為

P臨近擊穿時(shí)H11=(2kc/ωμ)Ebr，所以(8-93)Pbr8.3.3圓波導(dǎo)的三個(gè)主要模式

圓波導(dǎo)中實(shí)際應(yīng)用較多的模是TE11、TE01和TM01三個(gè)。利用這三個(gè)模場結(jié)構(gòu)和管壁電流分布特點(diǎn)可以構(gòu)成一些特殊用途的波導(dǎo)元件。下面分別對(duì)它們加以討論。

1.TE11模

TE11模是圓波導(dǎo)的主模，其截止波長λc=3.14R。將m=1、n=1代入式(8-83)可以得到TE11模場分量為

(8-94)可見TE11模有五個(gè)場分量，其場結(jié)構(gòu)如圖8-13所示。由圖可見，其場結(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)主模TE10模的場結(jié)構(gòu)相似，因此很容易由矩形波導(dǎo)TE10模來過渡變換成圓波導(dǎo)的TE11模，如圖8-14所示。圖8-13圓波導(dǎo)TE11模的場結(jié)構(gòu)圖8-14由矩形波導(dǎo)TE10模向圓波導(dǎo)TE11模的過渡雖然TE11模是圓波導(dǎo)的主模，但它存在極化簡并，會(huì)使模的極化面發(fā)生旋轉(zhuǎn)，分裂成極化簡并模。所以不宜采用TE11模來傳輸微波能量。這也就是實(shí)用中不用圓波導(dǎo)而采用矩形波導(dǎo)作為傳輸系統(tǒng)的基本原因。

然而，利用TE11模的極化簡并卻可以構(gòu)成一些特殊的波導(dǎo)元器件，如極化衰減器，極化變換器，鐵氧體環(huán)形器等。

2.TE01模

TE01模是圓波導(dǎo)的高次模。將m=0、n=1代入式(8-83)可以得到其場分量為

(8-95)其截止波長為λc=1.64R。

TE01模的場結(jié)構(gòu)如圖8-15所示。圖8-15圓波導(dǎo)TE01模的場結(jié)構(gòu)由圖可見，其場結(jié)構(gòu)有如下特點(diǎn)：

(1)電場和磁場均沿f方向無變化，具有軸對(duì)稱性；

(2)電場只有Ef分量，電力線是分布在橫截面上的同心圓，且在波導(dǎo)中心和波導(dǎo)壁附近為零；

(3)在管壁附近只有Hz分量，因此只有Jf分量管壁電流，如圖8-16所示。

TE01模有個(gè)突出的特點(diǎn)，那就是它沒有縱向管壁電流，由下面章節(jié)的分析將會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)傳輸功率一定時(shí)，隨著頻率的升高，其功率損耗反而單調(diào)下降。這一特點(diǎn)使得TE01模適用于作高Q諧振腔的工作模式和遠(yuǎn)距離毫米波波導(dǎo)傳輸。但TE01模不是主模，因此在使用時(shí)需要設(shè)法抑制其他模。圖8-16圓波導(dǎo)TE01模的管壁電流

3.TM01模

TM01模是圓波導(dǎo)中的最低橫磁模，且不存在簡并，截止波長為2.62R。將m=0、n=1代入式(8-87)，可以得到TM01模場分量為(8-96)其場結(jié)構(gòu)如圖8-17所示。由圖可見，其場結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：

(1)電磁場沿f方向不變化，場分布具有軸對(duì)稱性；

(2)電場在中心線附近最強(qiáng)；

(3)磁場只有Hf分量，因而管壁電流只有縱向分量。

TM01模的壁電流為

Jz=－Hf|r=a

由于TM01模場結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，且只有縱向電流，所以它適用于作微波天線饋線波導(dǎo)系統(tǒng)連接的旋轉(zhuǎn)接頭。圖8-17圓波導(dǎo)TM01模的場結(jié)構(gòu)

8.4同軸線中的導(dǎo)行電磁波

如圖8-18所示由兩個(gè)軸線與z軸重合的圓柱導(dǎo)體構(gòu)成的傳輸線稱為同軸線，a、b分別為內(nèi)導(dǎo)體外半徑和外導(dǎo)體內(nèi)半徑。同軸線常用于2500MHz以下微波波段作傳輸線或制作寬頻帶微波元器件。

同軸線的主模是TEM模，TE模和TM模為其高次模。通常同軸線都是以TEM模工作。本節(jié)從分析同軸線中的三種波形出發(fā)，分析同軸線的傳輸特性，進(jìn)而討論其尺寸選擇。圖8-18同軸線及其坐標(biāo)系8.4.1同軸線的主?！猅EM模

同軸線是一種雙導(dǎo)體傳輸線，可以傳輸TEM模。

根據(jù)前面章節(jié)的分析，TEM模在同軸線橫截面上的場分布與靜電場的分布相同。其求解可用位函數(shù)方法。以電場為例，橫截面內(nèi)電場強(qiáng)度為電位f的梯度(8-97)其中Et(r，f)表示同軸線橫截面上的電流，僅為r、f的函數(shù)。對(duì)于TEM模，k=β，所以k2c=k2－β2=0。故電磁場強(qiáng)度滿足(8-98)將式(8-98)代入式(8-97)，得到電位j的方程(8-99)因?yàn)橥S線結(jié)構(gòu)具有軸對(duì)稱性，并且有于是式(8-99)變?yōu)?8-100)其解為j=－Alnr+B

(8-101)將式(8-101)代入式(8-97)，得到(8-102)這表示同軸線傳輸TEM模時(shí)，電場只有Er分量。式(8-102)中的常數(shù)A可以利用邊界條件確定。設(shè)z=0時(shí)r=a處的電場為E0，代入式(8-102)，求得A=E0a故得電場為(8-103)磁力線必須與電力線垂直，所以磁場只有Hf分量?？梢郧蟮?8-104)同軸線內(nèi)導(dǎo)體上的軸向電流(8-105)內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓(8-106)同軸線傳輸TEM模時(shí)的功率容量(8-107)8.4.2同軸線的高次模

1.TM模

分析同軸線中TM模的方法與分析與圓波導(dǎo)中的TM模的方法相似。TM模的橫向場分量可由Ez求得，而Ez則可由方程(8-75)求得為(8-108)與圓波導(dǎo)不同之處在于，對(duì)于同軸線，r=0不屬于波的傳播區(qū)域，故第二類貝塞爾函數(shù)應(yīng)該保留。邊界條件要求在r=a和b處，Ez=0，于是得到A1Jm(kca)+A2Nm(kca)=0和

A1Jm(kcb)+A2Nm(kcb)=0

因此得到?jīng)Q定TM模特征值kc的特征方程(8-109)式(8-109)是個(gè)超越方程，其解有無窮多個(gè)，每個(gè)解的根決定一個(gè)kc值，即確定一個(gè)截止波長λc。但式(8-109)無解析解，下面我們來求其近似解。對(duì)于kca和kcb值很大的情況，貝塞爾函數(shù)可以用三角函數(shù)近似表示為代入式(8-109)，并消去共同因子后得到(8-110)令

x=kcb－(2m+1/4)π和y=kca－(2m+1/4)π

則得

sinxcosy－cosxsiny≈0

由此可得

kc≈(nπ/b－a)，n=1，2，3，…

(8-111)

因此得到同軸線中TMmn的截止波長近似為

λcTM≈(2/n)(b－a)，n=1，2，3，…

(8-112)

最低型TM01模的截止波長近似為

λcTN

≈2(b－a)

(8-113)01

2.TE模

分析同軸線中TE模的方法和圓波導(dǎo)中的TE模的方法相似。此時(shí)Ez=0，Hz則可由式(8-77)解得

Hz=[A3Jm(kcr)+A4Nm(kcr)]C{cosmfe－jβz

(8-114)

邊界條件要求在r=a

和b處，，于是得到

A3Jm′(kca)+A4Nm′(kca)=0

和

A3Jm′(kcb)+A4Nm′(kcb)=0

由此得到?jīng)Q定TE模特征值kc的特征方程

sinmf(8-115)

式(8-115)也是超越方程，無解析解。用上述近似方法可以求得m≠0、n=1的TEm1模的截止波長近似為

λcTEm1≈[π(b+a)/m]，m=1，2，3，…(8-116)

最低型TE11模的截止波長則為

λcTE11≈π(b+a)

(8-117)

對(duì)于m=0的情況，式(8-115)變?yōu)楦鶕?jù)J0′=－J1、N0′=－N1，則得此式與決定m=1的TM1n模kc值的式(8-109)相同。因此TE01的截止波長近似為

λcTE01≈2(b－a)

(8-118)

由式(8-113)、式(8-117)和式(8-118)可以看出，TE11是同軸線中的最低型高次模。因此，設(shè)計(jì)同軸線尺寸時(shí)，只要保證能抑制TE11模就行了。圖8-19所示為同軸線模式的截止波長分布圖。圖8-19同軸線模式的截止波長分布圖8.4.3同軸線的尺寸選擇

尺寸選擇的原則是：

(1)保證在給定工作頻帶內(nèi)只傳輸TEM模；

(2)滿足功率容量要求，即傳輸功率盡量大；

(3)損耗最小。

為保證只傳輸TEM模，必須滿足條件

λmin≥π(b+a)

因此得到

為保證傳輸功率最大，在滿足式(8-119)條件下，限定b值，改變a，則傳輸功率也將改變。功率容量最大的條件是dPbr/da=0。以式(8-107)代入求得

b/a=1.649

(8-120)

其相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為30Ω。

傳輸TEM模時(shí)，空氣同軸線的導(dǎo)體衰減應(yīng)同時(shí)考慮內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體，即分子應(yīng)為內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體的環(huán)路積分之和。帶入TEM模的場表達(dá)式得

(8-121)(Np/m)衰減最小的條件是(dac/da)=0。將式(8-121)代入，求得

b/a=3.591

(8-122)其相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為76.71Ω。計(jì)算表明，b/a在一個(gè)比較寬的范圍內(nèi)變化時(shí)，衰減因數(shù)最小值基本不變，即當(dāng)b/a從3.2變到4.1時(shí)，衰減因數(shù)最小值變化小于0.5%，b/a為5.2和b/a為2.6相比，衰減因數(shù)最小值僅增加5%。

如果對(duì)衰減最小和功率最大都有要求，則一般折中地取

b/a=2.303

(8-123)

其相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為50Ω。

8.5諧振腔中的電磁場

8.5.1諧振腔的基本參數(shù)

1.諧振波長

由于傳輸線型諧振腔是一段均勻傳輸系統(tǒng)在縱向兩端封閉而成；因而在橫向上與傳輸系統(tǒng)具有相同的邊界條件，所不同之處是在縱向上，電磁場也要滿足類似的邊界條件。

根據(jù)波導(dǎo)理論，均勻波導(dǎo)中電場的橫向分量可以表示為

ET=AF(T)ej(ωt－βz)+BF(T)ej(ωt+βz)

(8-124)

式中F(T)稱為橫向本征函數(shù)，只與橫向坐標(biāo)有關(guān)。在z=0、z=l的波導(dǎo)端面上，應(yīng)滿足ET=0的邊界條件，當(dāng)z=0時(shí)，ET=AF(T)ejωt+BF(T)ejωt=0得

A=－B

則橫向場可表示為

ET=－j2AF(T)sinβzejωt

(8-125)

z=l時(shí)，sinβl=0，故有

β=pπ/l，p=0，1，2，…

(8-126)

考慮到周期性,p一般取整數(shù)，它表示腔中場沿縱向的半波長數(shù)。這樣,由式(8-31)可得腔中諧振角頻率和諧振波長為

(8-127)

2.品質(zhì)因數(shù)

由于諧振腔一般是封閉的，因而腔內(nèi)電磁能量不能輻射至腔外，而只能在腔內(nèi)以電能和磁場的形式存儲(chǔ)和交換，如果腔是有耗的，則腔內(nèi)將損耗電磁能量，使電磁能量逐漸衰減，直至消失。顯然，衰減的快慢與儲(chǔ)能多少及損耗大小有關(guān)。諧振腔的這一特性通常用品質(zhì)因數(shù)來表征，其定義與普通LC諧振回路相同。當(dāng)響應(yīng)下降到諧振點(diǎn)值的70.7%時(shí)，諧振頻率與偏離諧振頻率的寬度(Δf)的比值決定品質(zhì)因數(shù)，即(8-128)在電磁理論中，品質(zhì)因數(shù)與儲(chǔ)存在諧振腔回路中的能量W0和每周內(nèi)耗散的能量WL相聯(lián)系，定義為(8-129)可以證明，Q0值定義式(8-128)和式(8-129)是一致的。腔的儲(chǔ)能可在磁場最大、電場為零或電場最大、磁場為零的瞬間來計(jì)算，即(8-130)式中，V是腔體體積。腔的能量損耗包括導(dǎo)體損耗、介質(zhì)損耗和輻射損耗。對(duì)于金屬封閉腔，沒有輻射損耗；如假定腔中介質(zhì)是無耗的，則腔的損耗就是腔壁的導(dǎo)體損耗，它在每周內(nèi)耗能為

(8-131)式中，S是腔的內(nèi)表面面積。從而可得(8-132)如腔中介質(zhì)是有耗的，其介電常數(shù)為復(fù)數(shù)，介質(zhì)的導(dǎo)電率σd是一個(gè)不能忽略的量，在介質(zhì)中的損耗功率為(8-133)這樣，僅考慮介質(zhì)損耗時(shí)腔的品質(zhì)因數(shù)為(8-134)在一般情況下，腔的品質(zhì)因數(shù)表示為(8-135)這里沒有考慮與外界耦合的孤立諧振腔的品質(zhì)因數(shù)，通常稱為固有品質(zhì)因數(shù)。

3.等效電導(dǎo)

為了研究諧振腔的外部特性，常在某一振蕩模式的諧振頻率附近，將腔等效為低頻的諧振回路，考慮到諧振腔應(yīng)用在微波電真空器件中，電子束的作用可視為并聯(lián)的電子導(dǎo)納，為保證它與腔的等效導(dǎo)納相加，腔的等效電路應(yīng)采用如圖8-20所示并聯(lián)電導(dǎo)的電路，這樣諧振腔的等效電導(dǎo)為

G=2PL/U2m

(8-136)

它表征諧振腔的功率損耗特性。與波導(dǎo)一樣，在腔中，電壓也是非單值的，故電導(dǎo)的值也是不確定的。但當(dāng)腔中任意兩點(diǎn)給定時(shí)，電場的線積分是可以找到的，該兩點(diǎn)間的電導(dǎo)可寫為圖8-20諧振腔的等效電路

(8-137)式中a、b是決定計(jì)算點(diǎn)選擇的積分限?？梢姡刃щ妼?dǎo)值與計(jì)算點(diǎn)有關(guān)，它與單值固有品質(zhì)因數(shù)不同，但電導(dǎo)的概念在微波電真空器件中仍得到重要的應(yīng)用。8.5.2矩形諧振腔

將矩形波導(dǎo)兩端用導(dǎo)體片封閉就構(gòu)成矩形諧振腔(也稱角柱形諧振腔)，如圖8-21所示。如將電磁波輸入腔中，即腔內(nèi)產(chǎn)生半波長整數(shù)倍的駐波。很明顯，腔中可諧調(diào)的電磁波必是矩形波導(dǎo)中傳輸?shù)哪切┠Ｊ窖葑兌鴣淼?，與矩形波導(dǎo)相對(duì)應(yīng)，矩形諧振腔中存在TE型振蕩模式和TM型振蕩模式。

對(duì)于TE模式，由式(8-125)或直接用分離變離法求解三維坐標(biāo)的亥姆霍茲方程可得其振蕩模式的場分量為圖8-21矩形諧振腔

(8-138)式中，H0=(k2c/μ)A。用類似的方法可以求得矩形諧振腔中TM型振蕩模式的場分量為(8-139)將矩形波導(dǎo)中各波型的截止波長代入式(8-127)，可得矩形諧振腔的諧振波長為

(8-140)它取決于腔的幾何尺寸和腔中的振蕩模式。對(duì)于一定尺寸的腔，可對(duì)許多模式諧振；對(duì)于某一模式，可調(diào)諧振腔的長度，使之對(duì)許多頻率諧振，即矩形諧振腔具有多諧性。在矩形諧振腔中，TM101型振蕩模式為最低振蕩模式，其諧振波長值最大，為(8-141)其場分量可由式(8-138)得(8-142)為了求得TE101模的品質(zhì)因數(shù)，可將其場分量式(8-142)代入式(8-132)得

或

(8-144)對(duì)于正方形諧振腔，a=b=l，其品質(zhì)因數(shù)為(8-145)如當(dāng)頻率為10GHz時(shí)，選用銅材作腔，取RS=0.0261Ω，可得H101模的品質(zhì)因數(shù)約為104數(shù)量級(jí)?？芍⒉ㄖC振腔的Q值遠(yuǎn)比低頻集總回路的Q值高得多。用同樣的方法可以求得其他模式的Q值。8.5.3圓柱形諧振腔

將圓柱形波導(dǎo)兩端用理想導(dǎo)體封閉起來就構(gòu)成圓柱形諧振腔，如圖8-22所示。腔中電磁波是由圓柱形波導(dǎo)中傳輸?shù)牟ㄐ窝葑兌鴣淼?，腔中存在著TEnip型和TMnip型振蕩模式。

與矩形諧振腔的處理方法相同。利用圓柱形波導(dǎo)的場分量和兩端面邊界條件，在圓柱坐標(biāo)系中應(yīng)用式(8-91)、式(8-92)和式(8-125)即可得到圓柱形諧振腔中TE振蕩模式的場分量為圖8-22圓柱形諧振腔(8-146)TM模的場分量為(8-147)對(duì)于不同的n、i、p值，場分布不同。n、i、p分別對(duì)應(yīng)著場沿r、f、z方向的半駐波數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的振蕩模式，并以TEnip型和TMnip型表示。不難看出，n=0、1、2、…，i=1、2、3、…，p=1、2、3、…的TE模和n=0、1、2、…，i=1、2、3、…，p=0、1、2、…的TM模都能在圓柱形波導(dǎo)諧振腔中存在。將式(8-94)和式(8-90)分別代入式(8-127)可得諧振波長為

(8-148)

1.E010型振蕩模式

E010模式是TM模中的最低模式，其場分布可由式(8-147)在n=p=0，i=1時(shí)求得為

(8-149)由式(8-148)可求得E010模的諧振波長為λ0=2.16a=λc|E001根據(jù)場方程和場結(jié)構(gòu)可得電流分布：在圓柱側(cè)面上僅有縱向電流，在兩端面內(nèi)壁上僅有