《noip教程動態(tài)規(guī)劃》課件

NOIP教程-動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃是一種解決復(fù)雜問題的重要算法思想。本課程將深入探討動態(tài)規(guī)劃的原理及其在算法設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。從簡單的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)到復(fù)雜的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,學(xué)習(xí)如何利用動態(tài)規(guī)劃解決各種難題。課程目標(biāo)1掌握動態(tài)規(guī)劃基本概念了解動態(tài)規(guī)劃的定義、特點(diǎn)和適用范圍,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。2學(xué)習(xí)動態(tài)規(guī)劃的基本思想掌握動態(tài)規(guī)劃的核心思想——分治和存儲計(jì)算結(jié)果。3掌握動態(tài)規(guī)劃算法設(shè)計(jì)方法學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)動態(tài)規(guī)劃算法,從問題抽象到程序?qū)崿F(xiàn)。4學(xué)習(xí)動態(tài)規(guī)劃的典型應(yīng)用通過經(jīng)典問題的解析,深入理解動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用場景。什么是動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃是一種解決復(fù)雜問題的算法。它通過將大問題分解成較小的子問題,然后逐步求解子問題,再將其組合起來得到最終解的方法。這種方法可以有效地解決很多難題,如最長子序列、背包問題等。動態(tài)規(guī)劃的核心在于利用已有的部分解來求得最終解,避免了重復(fù)計(jì)算,提高了效率。它的關(guān)鍵在于找到問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,合理定義子問題,并利用這些來最終得出解決方案。動態(tài)規(guī)劃的特點(diǎn)連續(xù)性動態(tài)規(guī)劃算法通過對子問題的遞歸計(jì)算,來解決整個問題,是一種連續(xù)性的處理過程。最優(yōu)性動態(tài)規(guī)劃算法通過記錄并比較各個子問題的最優(yōu)解,最終得到整體問題的最優(yōu)解。重復(fù)性動態(tài)規(guī)劃算法會遇到重復(fù)計(jì)算子問題的情況,通過記憶化存儲可以避免重復(fù)計(jì)算。復(fù)雜度相比于暴力窮舉法,動態(tài)規(guī)劃算法的時間復(fù)雜度通常更低。動態(tài)規(guī)劃的基本思想分階段決策動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將復(fù)雜問題拆分為多個子問題,通過每個子問題的最優(yōu)解來獲得整體問題的最優(yōu)解。這種分階段決策的方法可以大大提高問題解決的效率。重復(fù)子問題動態(tài)規(guī)劃算法會反復(fù)求解相同的子問題,因此它會將這些子問題的解保存起來,避免重復(fù)計(jì)算,提高了算法的效率。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程動態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵在于建立正確的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,它描述了如何通過前一狀態(tài)的最優(yōu)解得到當(dāng)前狀態(tài)的最優(yōu)解。這是動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。動態(tài)規(guī)劃問題的一般形式1子問題動態(tài)規(guī)劃通過將問題分解成相互關(guān)聯(lián)的較小子問題來解決。2最優(yōu)子結(jié)構(gòu)整體問題的最優(yōu)解由子問題的最優(yōu)解組合而成。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通過分析子問題之間的關(guān)系建立遞推公式。動態(tài)規(guī)劃問題通常具有三個特點(diǎn):問題可以分解成相互關(guān)聯(lián)的子問題、整體問題的最優(yōu)解由子問題的最優(yōu)解組合而成、可以通過分析子問題之間的關(guān)系建立遞推公式。這就是動態(tài)規(guī)劃問題的一般形式。如何設(shè)計(jì)動態(tài)規(guī)劃算法1定義問題明確問題的目標(biāo)和約束條件2確定狀態(tài)找出問題的關(guān)鍵狀態(tài)變量3設(shè)計(jì)遞推關(guān)系建立狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移方程4實(shí)現(xiàn)算法根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程編寫代碼設(shè)計(jì)動態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵步驟包括:明確問題的目標(biāo)和約束條件,找出問題的關(guān)鍵狀態(tài)變量,建立狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移方程,并根據(jù)這些方程編寫代碼實(shí)現(xiàn)算法。這一過程需要仔細(xì)分析問題的特點(diǎn),循序漸進(jìn)地推導(dǎo)出最優(yōu)的解決方案。動態(tài)規(guī)劃解題步驟1定義問題首先要清楚地定義問題的目標(biāo)和子問題的關(guān)系。明確問題的輸入輸出和需要解決的關(guān)鍵點(diǎn)。2設(shè)計(jì)遞推式根據(jù)問題的特點(diǎn),設(shè)計(jì)出一個能夠描述子問題之間關(guān)系的遞推式。這是動態(tài)規(guī)劃的核心部分。3初始化確定問題的基本情況,即動態(tài)規(guī)劃表的初始值。這往往是問題最簡單的情況。4自底向上求解根據(jù)遞推式,從小到大地計(jì)算出動態(tài)規(guī)劃表中的每一個值。這樣就可以逐步得到最終答案。5輸出解答根據(jù)動態(tài)規(guī)劃表中的值,按照問題要求的形式輸出最終的解答。動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用場景網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃可用于網(wǎng)絡(luò)流量的優(yōu)化調(diào)度和路徑規(guī)劃。金融領(lǐng)域動態(tài)規(guī)劃在股票投資組合優(yōu)化、期權(quán)定價、儲蓄規(guī)劃等方面有廣泛應(yīng)用。生產(chǎn)制造動態(tài)規(guī)劃可用于生產(chǎn)流程的優(yōu)化、庫存管理和車間調(diào)度等。決策支持動態(tài)規(guī)劃可幫助做出復(fù)雜的多階段決策,如投資決策和醫(yī)療診斷。動態(tài)規(guī)劃問題的類型最優(yōu)化問題找到問題最優(yōu)解的動態(tài)規(guī)劃算法,如最長公共子序列、最短路徑等。遞推問題通過遞推關(guān)系解決多次重復(fù)計(jì)算的問題,如斐波那契數(shù)列、動態(tài)規(guī)劃算法。決策問題尋找最優(yōu)決策路徑的動態(tài)規(guī)劃算法,如裝配線調(diào)度、資源分配等。計(jì)數(shù)問題統(tǒng)計(jì)問題的解的個數(shù),如不同路徑問題、完全背包問題等。斐波那契數(shù)列定義斐波那契數(shù)列是一個遞歸數(shù)列,其中每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。特點(diǎn)斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)均為1,之后的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。應(yīng)用斐波那契數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)、金融學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例子1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,...最長公共子序列1識別子序列在兩個或多個序列中找到的公共子序列2求解策略利用動態(tài)規(guī)劃算法解決3算法流程建立二維表格,逐步填充最長公共子序列長度最長公共子序列(LongestCommonSubsequence,LCS)是一個典型的動態(tài)規(guī)劃問題。它要求找出兩個或多個序列中最長的公共子序列的長度。算法會建立一個二維表格,通過逐步填充表格來找到最終的最長公共子序列長度。這種動態(tài)規(guī)劃方法可以高效地解決這個問題。最長遞增子序列定義最長遞增子序列（LongestIncreasingSubsequence,LIS）是指在一個序列中找到一個子序列，該子序列元素按照遞增順序排列，且長度最大。應(yīng)用場景LIS問題廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如資源調(diào)度、數(shù)據(jù)壓縮、金融分析等。它是一個重要的經(jīng)典動態(tài)規(guī)劃問題。算法思路利用動態(tài)規(guī)劃的思想，記錄每個位置的最長遞增子序列長度，從而得到整個序列的最長遞增子序列。背包問題1背包問題概述背包問題是一個古老而經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題。它考慮如何在給定的重量限制下,選擇一些物品放入背包,使其總價值最大化。2基本思想通過構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,動態(tài)地計(jì)算出當(dāng)前背包容量下,可以獲得的最大價值。這需要仔細(xì)權(quán)衡每個物品的價值和重量。3經(jīng)典應(yīng)用背包問題在工業(yè)生產(chǎn)、物流管理、資源配置等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。它可以幫助企業(yè)做出更優(yōu)的決策,提高經(jīng)營效率。編輯距離1插入在字符串中添加一個字符2刪除從字符串中刪除一個字符3替換將一個字符替換為另一個字符編輯距離是計(jì)算兩個字符串之間的最小編輯操作次數(shù)。它廣泛應(yīng)用于文本處理、語音識別、生物信息學(xué)等領(lǐng)域。編輯距離算法通過動態(tài)規(guī)劃的方式解決這個問題，可以高效地計(jì)算出最優(yōu)解。硬幣找零問題1找零目標(biāo)給定一個總金額和可用硬幣面額2最少硬幣數(shù)找出使用最少硬幣數(shù)湊出總金額的組合3動態(tài)規(guī)劃解法利用遞推關(guān)系找出最優(yōu)解硬幣找零問題是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題。給定一組硬幣面額和一個目標(biāo)金額,需要找出使用最少硬幣數(shù)湊出目標(biāo)金額的組合。通過設(shè)計(jì)遞推關(guān)系,可以利用動態(tài)規(guī)劃的思想高效地解決這一問題。最小生成樹1最小生成樹概述在加權(quán)無向圖中,尋找一棵邊權(quán)之和最小的生成樹。2最小生成樹性質(zhì)包含圖中所有節(jié)點(diǎn),并且不會形成環(huán)路。3最小生成樹應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、物流規(guī)劃等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。最小生成樹是圖論中一個重要的概念,它能夠找到一張無向圖中邊權(quán)之和最小的生成樹。這種樹形結(jié)構(gòu)具有不會形成環(huán)路、包含所有節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn),在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、供應(yīng)鏈管理等實(shí)際應(yīng)用中都有重要的作用。最短路徑問題確定起點(diǎn)和終點(diǎn)首先確定從哪里出發(fā)到目的地，定義好起點(diǎn)和終點(diǎn)。計(jì)算邊權(quán)重分析每條邊的權(quán)重或成本，這可能是距離、時間或其他因素。選擇最優(yōu)算法根據(jù)問題規(guī)模和特點(diǎn)選擇合適的最短路徑算法，如Dijkstra、Bellman-Ford或Floyd-Warshall算法。執(zhí)行計(jì)算將數(shù)據(jù)輸入到所選的算法中進(jìn)行計(jì)算，得出從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑。輸出結(jié)果展示最短路徑的距離、時間或成本等指標(biāo)，并可視化路徑。矩陣連乘問題1定義問題矩陣連乘問題是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題。問題是給定一個由矩陣序列組成的矩陣鏈，求出按照最優(yōu)順序進(jìn)行連乘運(yùn)算所需的最小計(jì)算量。2解題思路使用動態(tài)規(guī)劃的方法可以有效地解決這個問題。需要先確定矩陣乘法的運(yùn)算順序,使得總的乘法次數(shù)最少。3算法步驟定義一個二維數(shù)組dp,記錄每段矩陣乘法的最小代價。遍歷所有可能的子區(qū)間,計(jì)算出最小代價。最終返回dp[1][n]作為最小代價。股票買賣問題1單次交易在給定的價格序列中,尋找最大利潤的單次買賣活動。2多次交易在給定的價格序列中,進(jìn)行多次買賣以獲得最大利潤。3冷凍期在買賣股票時,需要考慮交易間的冷凍期限制。最長公共子串1找出最長子串算法的目標(biāo)是找出兩個字符串中共同出現(xiàn)的最長子串2動態(tài)規(guī)劃法通過建立二維數(shù)組來記錄最長公共子串的長度3算法步驟遍歷兩個字符串，找出最長公共子串最長公共子串問題是一個典型的動態(tài)規(guī)劃問題。算法的目標(biāo)是找出兩個給定字符串中共同出現(xiàn)的最長子串。通過建立二維數(shù)組來記錄最長公共子串的長度,并遍歷兩個字符串,最終確定最長公共子串。這是一個非常有用的算法,在文本處理、生物信息學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。區(qū)間調(diào)度問題1任務(wù)分配將任務(wù)合理分配給資源2時間最優(yōu)化確保任務(wù)在最短時間內(nèi)完成3沖突最小化避免任務(wù)之間的時間重疊區(qū)間調(diào)度問題是一類常見的動態(tài)規(guī)劃問題,主要涉及如何合理分配有限的資源,在滿足各項(xiàng)任務(wù)要求的同時,最大化任務(wù)完成的效率。通過建立動態(tài)規(guī)劃模型,可以找到一種最優(yōu)的任務(wù)分配方案,確保任務(wù)在最短時間內(nèi)完成,并盡量避免任務(wù)之間的時間沖突。最長回文子串識別回文性質(zhì)通過比較字符串的首尾字符是否相同來判斷其是否為回文串。動態(tài)規(guī)劃算法使用兩重循環(huán)遍歷字符串中的所有子串,并記錄每個子串是否為回文。中心擴(kuò)散法以每個字符為中心向兩側(cè)擴(kuò)散,判斷是否構(gòu)成回文串。可以處理奇數(shù)和偶數(shù)長度的回文串。Manacher算法一種時間復(fù)雜度僅為O(n)的高效解決最長回文子串的算法。數(shù)塔問題構(gòu)建數(shù)塔數(shù)塔問題要求從一個三角形的頂部開始，經(jīng)過中間層，最終到達(dá)底部。每一步只能選擇當(dāng)前點(diǎn)和它正下方的兩個點(diǎn)中的較大值。動態(tài)規(guī)劃求解采用自底向上的動態(tài)規(guī)劃算法，從底部逐層向上計(jì)算，每一層的值等于當(dāng)前點(diǎn)和它正下方兩個點(diǎn)中的較大值加上上一層的值。求最大路徑和最終得到的數(shù)塔底部各點(diǎn)的值即為從頂部到該點(diǎn)的最大路徑和。選擇底部值最大的點(diǎn)，即可得到整個數(shù)塔的最大路徑和。泰波那契數(shù)列1數(shù)列起源泰波那契數(shù)列起源于對斐波那契數(shù)列的推廣2遞推公式T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)3特點(diǎn)分析與斐波那契數(shù)列相似,但增長速度更快泰波那契數(shù)列是對斐波那契數(shù)列的一種推廣,是指一個滿足下列公式的數(shù)列:T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)。與斐波那契數(shù)列相比,泰波那契數(shù)列的增長速度更快,體現(xiàn)了數(shù)列推廣的思路。它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。棋盤覆蓋問題1分析問題確定問題要求，理解棋盤覆蓋的規(guī)則。2設(shè)計(jì)算法根據(jù)問題特點(diǎn),選擇合適的動態(tài)規(guī)劃策略。3實(shí)現(xiàn)方案編寫代碼,并測試得到最終解決方案。4優(yōu)化改進(jìn)分析算法復(fù)雜度,探索更高效的解決方案。棋盤覆蓋問題是一類經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題,要求在給定的m×n棋盤上,使用一些特定形狀的骨牌完全覆蓋棋盤,且不能有重疊。這種問題通常有多種解決方案,需要設(shè)計(jì)合理的動態(tài)規(guī)劃算法來找到最優(yōu)解。石子合并問題1問題描述給定一排石子,每個石子有一定的重量。需要將所有石子合并成一堆,每次可以選擇相鄰的兩堆進(jìn)行合并,合并的代價為這兩堆石子的重量之和。求合并的最小代價。2動態(tài)規(guī)劃解決可以使用動態(tài)規(guī)劃的方法解決此問題。定義dp[i][j]表示將第i堆到第j堆石子合并的最小代價,則可以遞推計(jì)算出最終的最小代價。3應(yīng)用場景石子合并問題在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用,例如合并文件、合并數(shù)據(jù)庫、合并倉庫等,都可以抽象為石子合并問題進(jìn)行優(yōu)化。子集和問題理解問題子集和問題是在給定一個數(shù)組和一個目標(biāo)值的情況下,找出數(shù)組中和等于目標(biāo)值的所有子集。動態(tài)規(guī)劃思想利用動態(tài)規(guī)劃的思想,我們可以建立一個二維數(shù)組,記錄所有可能的子集和。解決步驟初始化一個二維數(shù)組,第一行記錄是否可以得到0這個和。對數(shù)組中的每個元素,更新二維數(shù)組中的值。最終返回二維數(shù)組的最后一個元素,即為所有可能的子集和。最長公共上升子序列1定義最長公共上升子序列（LongestCommonIncreasingSubsequence，LCIS）是兩個或多個序列的最長的上升子序列中公共的部分。2應(yīng)用場景LCIS在數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)