2024-2025學(xué)年福建省福州十九中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年福建省福州十九中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一.選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）地鐵標(biāo)志作為城市地鐵的形象和符號(hào)，是城市文化的縮影．下列圖案分別為北京，上海，福州四個(gè)城市的地鐵標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列語(yǔ)句所描述的事件中，不可能事件是（）A．黃河入海流 B．大漠孤煙直 C．手可摘星辰 D．紅豆生南國(guó)3．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝26°（）A．52° B．56° C．62° D．64°4．（4分）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象的特征，下列描述正確的是（）A．開(kāi)口向上 B．經(jīng)過(guò)原點(diǎn) C．對(duì)稱(chēng)軸是y軸 D．最小值是15．（4分）如圖，由圖案（1）到圖案（2）（3）的變化過(guò)程中，不可能用作的圖形變化是（）A．軸對(duì)稱(chēng) B．旋轉(zhuǎn) C．中心對(duì)稱(chēng) D．平移6．（4分）如圖，若設(shè)從2019年到2021年我國(guó)海上風(fēng)電新增裝機(jī)容量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知（）A．x＝ B．14.5%（1+x）2＝452.3% C．1.98（1+x）2＝16.9 D．1.73（1+x）2＝3.067．（4分）如圖，邊長(zhǎng)為的正六邊形螺帽，OA垂直平分邊CD，垂足為B，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π8．（4分）水平地面上一個(gè)小球被推開(kāi)后向前滑行，滑行的距離S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖為拋物線(xiàn)的一部分，其中P是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不變 D．小球向前滑行的速度越來(lái)越大9．（4分）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝，則實(shí)數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．310．（4分）已知二次函數(shù)y＝|a|x2﹣2|a|tx+c（a≠0）上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)1＜x1＜2，2＜x2＜3時(shí)，總有y1＜y2，則t的取值范圍是（）A． B． C．t≥2 D．t≤2二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點(diǎn)A（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．（4分）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則圖中一定與∠ADE相等的角是．13．（4分）一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，底面圓的半徑長(zhǎng)為2cm，則將該圓錐沿一條母線(xiàn)展開(kāi)后得到的扇形的圓心角的度數(shù)是．14．（4分）某種蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I（A）（A）變電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，原電路中已經(jīng)有一個(gè)10Ω的定值電阻，則至少應(yīng)再串聯(lián)一個(gè)Ω的電阻才可以保證電路安全（已知：串聯(lián)電路的總電阻等于各電阻之和）．15．（4分）為了測(cè)試某種光刻機(jī)制作2nm芯片電路圖案的不良率，以此判斷產(chǎn)生不良電路圖案的原因，設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)累計(jì)不良電路圖案數(shù)（單位：塊）1468101214累計(jì)試驗(yàn)芯片數(shù)（單位：千塊）0.95.5810121416如果需要30塊不良電路圖案，請(qǐng)根據(jù)如表的數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率的思想判斷還要準(zhǔn)備的試驗(yàn)芯片數(shù)（單位：千塊）：（結(jié)果保留整數(shù)）．16．（4分）已知反比例函數(shù)與直線(xiàn)AB分別交于C，D兩點(diǎn)，若OD⊥CD，且OD＝2CD，則．三.解答題（本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）解方程：x2﹣6x+2＝0．18．（8分）已知△ABC中，點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在邊AC與AB上，其中AC＝2AE（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若△ADE的面積為4，求四邊形DCBE的面積．19．（8分）已知直線(xiàn)y＝kx+b與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)M（2，3），N（﹣1，n），（1）求直線(xiàn)y＝kx+b與雙曲線(xiàn)的解析式；（2）直接寫(xiě)出的x的取值范圍．20．（8分）漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特別受到游客喜歡的是“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”，“魚(yú)丸玩偶Y”，游客小森購(gòu)買(mǎi)了幾個(gè)玩偶準(zhǔn)備送給朋友．（1）如果小森是這三種玩偶各買(mǎi)一個(gè)，從中隨機(jī)選取一個(gè)，求選到的玩偶是“魚(yú)丸玩偶Y”的概率；（2）如果小森是“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”，“佛跳墻玩偶F”各買(mǎi)兩個(gè)，從中不放回地隨機(jī)選取兩個(gè)21．（8分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，連接OB，以點(diǎn)O為圓心，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AO∥BE．（1）求證：AF與⊙O相切；（2）求證：AO平分∠BAC．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D（1）將△DBC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△DEF，其中點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在BC邊上，請(qǐng)作出△DEF（要求：用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）若BD＝1，求DF的長(zhǎng)．23．（10分）方程是我們將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要模型之一，利用方程的基本性質(zhì)，我們可以解決一些較為復(fù)雜的代數(shù)證明問(wèn)題．下面是兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：x2+2nx﹣4n2＝0，x2+3mx﹣9m2＝0，其中mn≠0．（1）求證：這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若p和q分別是x2+2nx﹣4n2＝0和x2+3mx﹣9m2＝0的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)求證：（3mp﹣2nq）（pq+6mn）＝0．24．（12分）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD（1）求證：＝；（2）連接OC交BD于點(diǎn)E，已知∠BDC＝30°，AB＝10，①求⊙O的半徑；②在邊AC上找點(diǎn)G，使得點(diǎn)G在△BEC的外接圓上，連接EG25．（14分）請(qǐng)閱讀下面關(guān)于演唱會(huì)有關(guān)的一次數(shù)學(xué)建模的材料．小納是一位數(shù)學(xué)功底扎實(shí)的歌迷，有同學(xué)問(wèn)道：怎么才能買(mǎi)到高性?xún)r(jià)比的演唱會(huì)門(mén)票呢？小納思索良久，決定建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，小納在歌迷群中設(shè)置了一個(gè)調(diào)查問(wèn)卷：在“歌手相同，燈光舞美效果大致相同”，現(xiàn)場(chǎng)的舞臺(tái)大小小納根據(jù)問(wèn)卷進(jìn)行了總結(jié)：①將演唱會(huì)門(mén)票與通勤費(fèi)等費(fèi)用之和作為費(fèi)用因素p（單位：元）；②舞臺(tái)面積s（單位：m）越大性?xún)r(jià)比越高；③相同票價(jià)對(duì)應(yīng)的位置與舞臺(tái)中央的直線(xiàn)距離d越小性?xún)r(jià)比越高．小納利用Matlab軟件通過(guò)量化的方式建立了性?xún)r(jià)比函數(shù)．（1）若費(fèi)用p為600元，舞臺(tái)面積s為300m2，請(qǐng)寫(xiě)出y與d2之間的函數(shù)解析式；（2）已知歌迷小曼與小徹準(zhǔn)備要去的演唱會(huì)都是在形如圖中的體育場(chǎng)進(jìn)行的，即水平線(xiàn)為南北方向，豎直線(xiàn)為東西朝向的體育場(chǎng)①歌迷小曼利用小納設(shè)計(jì)的性?xún)r(jià)比函數(shù)對(duì)這次在K體育場(chǎng)舉行的演唱會(huì)中的兩個(gè)座位A，B進(jìn)行了對(duì)比，為了方便計(jì)算，分別以向南和向東分別為x，y軸正方向，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度為10m，則可得點(diǎn)A（6，3），B（a，1）A＝700元，pB＝600元，若yA＜yB，則a的最大值（a為正整數(shù)）．②小徹想去的歌手的演唱會(huì)是在兩個(gè)不同的城市舉辦的，其中在M城市的舞臺(tái)預(yù)計(jì)為300m2，pM＝600元，在N城市的舞臺(tái)預(yù)計(jì)為500m2，pN＝1200元，在M城與N城小徹可選的座位都是一排水平并排列緊湊的座位，這排座位與舞臺(tái)中央所在水平線(xiàn)的豎直距離為20m，且體育場(chǎng)的南北向距離都不超過(guò)300m，請(qǐng)判斷小徹去M城聽(tīng)演唱會(huì)的性?xún)r(jià)比是否一定高于N城聽(tīng)演唱會(huì)的性?xún)r(jià)比∩

2024-2025學(xué)年福建省福州十九中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案CCDADCDAAB一.選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）地鐵標(biāo)志作為城市地鐵的形象和符號(hào)，是城市文化的縮影．下列圖案分別為北京，上海，福州四個(gè)城市的地鐵標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、該圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B、該圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C、該圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；D、該圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．故選：C．2．（4分）下列語(yǔ)句所描述的事件中，不可能事件是（）A．黃河入海流 B．大漠孤煙直 C．手可摘星辰 D．紅豆生南國(guó)【解答】解：A．“黃河入海流”是必然事件；B．“大漠孤煙直”是隨機(jī)事件；C．“手可摘星辰”是不可能事件；D．“紅豆生南國(guó)”是必然事件；故選：C．3．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝26°（）A．52° B．56° C．62° D．64°【解答】解：連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接CD，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠OBC＝26°，∴∠D＝180°﹣∠D﹣∠∠DBC＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∵，∴∠A＝∠D＝64°，故選：D．4．（4分）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象的特征，下列描述正確的是（）A．開(kāi)口向上 B．經(jīng)過(guò)原點(diǎn) C．對(duì)稱(chēng)軸是y軸 D．最小值是1【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為（5，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值5，故選：A．5．（4分）如圖，由圖案（1）到圖案（2）（3）的變化過(guò)程中，不可能用作的圖形變化是（）A．軸對(duì)稱(chēng) B．旋轉(zhuǎn) C．中心對(duì)稱(chēng) D．平移【解答】解：由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過(guò)程中，用作的圖形變化是旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱(chēng)變化．故選：D．6．（4分）如圖，若設(shè)從2019年到2021年我國(guó)海上風(fēng)電新增裝機(jī)容量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知（）A．x＝ B．14.5%（1+x）2＝452.3% C．1.98（1+x）2＝16.9 D．1.73（1+x）2＝3.06【解答】解：依題意得：1.98（1+x）4＝16.9．故選：C．7．（4分）如圖，邊長(zhǎng)為的正六邊形螺帽，OA垂直平分邊CD，垂足為B，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【解答】解：連接OD，OC．∵∠DOC＝60°，OD＝OC，∴△ODC是等邊三角形，∴，∵OB⊥CD，∴，∴，∵AB＝12cm，∴OA＝OB+AB＝15cm，∴點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝．故選：D．8．（4分）水平地面上一個(gè)小球被推開(kāi)后向前滑行，滑行的距離S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖為拋物線(xiàn)的一部分，其中P是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不變 D．小球向前滑行的速度越來(lái)越大【解答】解：如圖所示：滑行的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系可得，當(dāng)t＝6秒時(shí)，即此時(shí)小球停止，速度是越來(lái)越?。蔬x：A．9．（4分）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝，則實(shí)數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【解答】解：連接正方形的對(duì)角線(xiàn)，由正方形的性質(zhì)知對(duì)角線(xiàn)交于原點(diǎn)O，B分別作x軸的垂線(xiàn)、D，點(diǎn)B在函數(shù)y＝上∵四邊形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵點(diǎn)A在第二象限，∴n＝﹣3，故選：A．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝|a|x2﹣2|a|tx+c（a≠0）上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)1＜x1＜2，2＜x2＜3時(shí)，總有y1＜y2，則t的取值范圍是（）A． B． C．t≥2 D．t≤2【解答】解：∵y＝|a|x2﹣2|a|tx+c＝|a|（x﹣t）5+c﹣|a|t2，|a|＞0，∴二次函數(shù)y＝|a|x3﹣2|a|tx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝t，開(kāi)口向上，∴距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其函數(shù)值越大．又∵當(dāng)2＜x1＜2，4＜x2＜3時(shí)，總有y5＜y2，∴t≤＝．故選：B．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）點(diǎn)A（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，﹣2）．【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，2），∴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，﹣2）．故答案為：（1，﹣3）．12．（4分）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則圖中一定與∠ADE相等的角是∠ABC．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，故答案為：∠ABC．13．（4分）一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，底面圓的半徑長(zhǎng)為2cm，則將該圓錐沿一條母線(xiàn)展開(kāi)后得到的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．【解答】解：設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為n°，根據(jù)題意得2π×2＝，解得n＝120，即扇形的圓心角的度數(shù)是120°．故答案為：120°．14．（4分）某種蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I（A）（A）變電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，原電路中已經(jīng)有一個(gè)10Ω的定值電阻，則至少應(yīng)再串聯(lián)一個(gè)2Ω的電阻才可以保證電路安全（已知：串聯(lián)電路的總電阻等于各電阻之和）．【解答】解：從圖中可以看出：I與R呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)I＝（R＞0，代入I＝4，R＝3，得4＝，∴k＝36，∴I＝，令I(lǐng)＝5，則R＝，蓄電池的用電器的安全電流最大為3A，即I≤7A，∵I與R呈反比例函數(shù)關(guān)系，∴R≥12Ω，∵12Ω﹣10Ω＝2Ω，則至少應(yīng)再串聯(lián)一個(gè)2Ω的電阻．故答案為：5．15．（4分）為了測(cè)試某種光刻機(jī)制作2nm芯片電路圖案的不良率，以此判斷產(chǎn)生不良電路圖案的原因，設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)累計(jì)不良電路圖案數(shù)（單位：塊）1468101214累計(jì)試驗(yàn)芯片數(shù)（單位：千塊）0.95.5810121416如果需要30塊不良電路圖案，請(qǐng)根據(jù)如表的數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率的思想判斷還要準(zhǔn)備的試驗(yàn)芯片數(shù)（單位：千塊）：16（結(jié)果保留整數(shù)）．【解答】解：∵根據(jù)如表的數(shù)據(jù)，隨著實(shí)驗(yàn)數(shù)量的增加，試驗(yàn)芯片數(shù)就增加2千塊，∴根據(jù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多頻率越穩(wěn)定，即可估計(jì)產(chǎn)生不良電路圖案的概率為：＝，∴估計(jì)他們還需要準(zhǔn)備用以輻射的種子數(shù)為（30﹣14）÷＝16（千塊）．故答案為：16．16．（4分）已知反比例函數(shù)與直線(xiàn)AB分別交于C，D兩點(diǎn)，若OD⊥CD，且OD＝2CD，則．【解答】解：過(guò)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則GH⊥FH，∵OD＝2CD，∴＝，由題易得∠OFD＝∠ODC＝∠CDH＝90°，∴∠ODF＝∠DCH＝90°﹣∠CDH，∴△CDH∽△DOF，∴＝，設(shè)CH＝m，DH＝n，OF＝3n，∴CG＝2n﹣m．FH＝2m+n，∴C（8n﹣m，2m+n），2m），∵點(diǎn)C和D都在反比例函數(shù)上，∴（4n﹣m）（2m+n）＝2n?6m，整理得2m2+nm﹣5n2＝0，解得m＝n，∵∠DOF＝∠AOD，∠OFD＝∠ODA，∴△OFD∽△ODA，∴＝＝＝＝＝，故答案為：．三.解答題（本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）解方程：x2﹣6x+2＝0．【解答】解：∵x2﹣6x+4＝0，∴x2﹣7x＝﹣2，∴x2﹣7x+9＝﹣2+8，即（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±，∴x8＝3+，x7＝3﹣．18．（8分）已知△ABC中，點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在邊AC與AB上，其中AC＝2AE（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若△ADE的面積為4，求四邊形DCBE的面積．【解答】（1）證明：已知△ABC中，點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在邊AC與AB上，AB＝2AD，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：由（1）知△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，∴，∴S△ABC＝4×4＝16，∴四邊形DCBE的面積＝16﹣4＝12．19．（8分）已知直線(xiàn)y＝kx+b與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)M（2，3），N（﹣1，n），（1）求直線(xiàn)y＝kx+b與雙曲線(xiàn)的解析式；（2）直接寫(xiě)出的x的取值范圍．【解答】解：（1）∵M(jìn)（2，3）在雙曲線(xiàn)y＝上，∴m＝xy＝7×3＝6，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝；∵N（﹣1，n）在y＝上，∴n＝＝﹣6，∴N（﹣5，﹣6）．將點(diǎn)M（2，8），﹣6）代入y＝kx+b，得，∴．∴直線(xiàn)AB的解析式為：y＝3x﹣3；（2）如圖，不等式．20．（8分）漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特別受到游客喜歡的是“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”，“魚(yú)丸玩偶Y”，游客小森購(gòu)買(mǎi)了幾個(gè)玩偶準(zhǔn)備送給朋友．（1）如果小森是這三種玩偶各買(mǎi)一個(gè)，從中隨機(jī)選取一個(gè)，求選到的玩偶是“魚(yú)丸玩偶Y”的概率；（2）如果小森是“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”，“佛跳墻玩偶F”各買(mǎi)兩個(gè)，從中不放回地隨機(jī)選取兩個(gè)【解答】解：（1）∵小森是這三種玩偶各買(mǎi)一個(gè)，∴從中隨機(jī)選取一個(gè)，選到的玩偶是“魚(yú)丸玩偶Y”的概率為；（2）把兩個(gè)“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”分別記為A、B，兩個(gè)“佛跳墻玩偶F”分別記為C、D，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能結(jié)果，即AB，∴選到的玩偶都是“愛(ài)心樹(shù)玩偶T”的概率為＝．21．（8分）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，連接OB，以點(diǎn)O為圓心，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AO∥BE．（1）求證：AF與⊙O相切；（2）求證：AO平分∠BAC．【解答】證明：（1）由題意可知，⊙O是△ABC的外心，∴∠CBE＝90°，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠ABC，∵AO∥BE，∴∠OAB＝∠ABE，∴∠OAF＝∠FAB+∠OAB＝∠ABC+∠ABE＝∠CBE＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AF⊥OA，∴AF與⊙O相切．（2）延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)L，∵AF∥BC，∠OAF＝90°，∴∠ALC＝∠OAF＝90°，∴AL⊥BC，∴BL＝CL，∵AL垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠BAL＝∠CAL，即∠BAO＝∠CAO，∴AO平分∠BAC．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D（1）將△DBC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△DEF，其中點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在BC邊上，請(qǐng)作出△DEF（要求：用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）若BD＝1，求DF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠B＝∠CDB＝72°，∠A＝∠ACD＝36°，∴CB＝CD＝AD，設(shè)BC＝x，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BD?BA，∴x2＝4?（x+1），解得x＝（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴DF＝DC＝BC＝．23．（10分）方程是我們將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要模型之一，利用方程的基本性質(zhì)，我們可以解決一些較為復(fù)雜的代數(shù)證明問(wèn)題．下面是兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：x2+2nx﹣4n2＝0，x2+3mx﹣9m2＝0，其中mn≠0．（1）求證：這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若p和q分別是x2+2nx﹣4n2＝0和x2+3mx﹣9m2＝0的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)求證：（3mp﹣2nq）（pq+6mn）＝0．【解答】證明：（1）∵x2+2nx﹣2n2＝0，其中mn≠3，∴Δ＝（2n）2﹣3×（﹣4n2）＝20n5＞0，∴Δ＞0，∴x6+2nx﹣4n8＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∵x2+3mx﹣9m2＝5，其中mn≠0，∴Δ＝（3m）3﹣4×（﹣9m8）＝45m2＞0，∴Δ＞8，∴x2+3mx﹣8m2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵p和q分別是x4+2nx﹣4n2＝0和x2+2mx﹣9m2＝4的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴p2+2np﹣3n2＝0，q6+3mq﹣9m6＝0，∴（p﹣2n）5＝0，（q﹣3m）8＝0，∴p＝2n，q＝3m，∴（3mp﹣2nq）（pq+3mn）＝（6mn﹣6mn）（2mn+6mn）＝0，即（6mp﹣2nq）（pq+6mn）＝7．24．（12分）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD（1）求證：＝；（2）連接OC交BD于點(diǎn)E，已知∠BDC＝30°，AB＝10，①求⊙O的半徑；②在邊AC上找點(diǎn)G，使得點(diǎn)G在△BEC的外接圓上，連接EG【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+2∠CAD＝180°，∴∠BAD＝2∠CAD，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAC+∠CAD＝5∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴＝；（2）解：①連接OB，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵＝，∴BD＝DC，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∠CAD＝∠CBD＝30°，∴∠BAD＝60°．∵DM⊥AB，∴AM＝AD＝，DM＝AD?sin60°＝3，∴BM＝AB﹣AM＝7，∴BD＝＝＝4．∵＝，∴OE⊥BD，BE＝DE＝．∵∠BOC＝7∠BAC＝60°，∴OB＝＝．∴⊙O的半徑為；②由①知：OE⊥BD，∴△BEC為直角三角形，∴△BEC的外接圓為以BC為直徑的圓，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，則∠CGB＝90°，連接EG，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F，∵DH⊥AC，∠CAD＝30°，∴DH＝AD＝3，∵∠CAB＝30°，BG⊥AC，∴BG＝AB＝5，∵BG⊥AC，DH⊥AC，∴BG∥DH，∴△BGF∽△DHF，∴＝，∴BF＝BD＝BD＝，∵BE＝DE＝BD＝，∴EF＝BF﹣BE＝．∵點(diǎn)G在△BEC的外接圓上，∴四邊形BCGE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠EGF＝∠CBD＝30°，∴∠EGF＝∠CAD＝30°，∴EG∥AD，∴△EGF∽△DAF，∴，∴，∴EG＝5．25．（14分）請(qǐng)閱讀下面關(guān)于演唱會(huì)有關(guān)的一次數(shù)學(xué)建模的材料．小納是一位數(shù)學(xué)功底扎實(shí)的歌迷，有同學(xué)問(wèn)道：怎么才能買(mǎi)到高性?xún)r(jià)比的演唱會(huì)門(mén)票呢？小納思索良久，決定建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，小納在歌迷群中設(shè)置了一個(gè)調(diào)查問(wèn)卷：在“歌手相同，燈光舞美效果大致相同”，現(xiàn)場(chǎng)的舞臺(tái)大小小納根據(jù)問(wèn)卷進(jìn)行了總結(jié)：①將演唱會(huì)門(mén)票與通勤費(fèi)等費(fèi)用之和作為費(fèi)用因素p（單位：元）；②舞臺(tái)面積s（單位：m）越大性?xún)r(jià)比越高；③相同票價(jià)對(duì)應(yīng)的位置與舞臺(tái)中央的直線(xiàn)距離d越小性?xún)r(jià)比越高．小納利用Matlab軟件通過(guò)量化的方式建立了性?xún)r(jià)比函數(shù)．（1）若費(fèi)用p為600元，舞臺(tái)面積s為300m2，請(qǐng)寫(xiě)出y與d2之間的函數(shù)解析式；（2）已知歌迷小曼與小徹準(zhǔn)