移動(dòng)機(jī)器人學(xué) 課件第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院《移動(dòng)機(jī)器人學(xué)》

華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院第二章

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.1空間向量運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系中，右手的大拇指指向X軸的正向，食指指向Y軸的正向，中指指向Z軸的正向，那由這三個(gè)數(shù)軸X軸、Y軸、Z軸構(gòu)成的直角坐標(biāo)系稱為右手直角坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中的向量

向量的坐標(biāo)投影2.1空間向量運(yùn)算

2.1空間向量運(yùn)算

2.2姿態(tài)與位置描述1、為了描述一個(gè)空間物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，要選擇一個(gè)參照坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系一般稱為世界坐標(biāo)系（WorldFrame）2、當(dāng)物體的形狀、大小與研究的問題無關(guān)時(shí)，可以把物體看成一個(gè)只有質(zhì)量，沒有大小、形狀的理想物體，這個(gè)物體稱為質(zhì)點(diǎn)3、當(dāng)空間物體的形狀和大小不能忽略，但在外力作用下形變可以忽略，則這個(gè)物體可看成有質(zhì)量、大小和形狀，但不會(huì)發(fā)生形變的理想物體，稱為剛體，剛體可看作由許多質(zhì)點(diǎn)所組成2.2姿態(tài)與位置描述4、一個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，主要分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種5、剛體在空間中的運(yùn)動(dòng)有6個(gè)自由度。3個(gè)平移自由度:質(zhì)心相對(duì)于世界坐標(biāo)系在X、Y、Z軸的位移;3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度:剛體繞世界坐標(biāo)系X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，稱為姿態(tài)角6、對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通常由平移、轉(zhuǎn)動(dòng)和姿態(tài)角描述。平移：剛體質(zhì)心的位置變化；轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體本體坐標(biāo)系繞世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，角度變化；姿態(tài)角：剛體在空間中轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，分別表示繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)于確定的坐標(biāo)系，可以用位置向量來表示世界坐標(biāo)系上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)系中的位置向量圖中，本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的位置為(3,6,9),因此，可以用位置向量P的終點(diǎn)來表示本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)，這里，定義位置向量為一個(gè)3x1的列向量，那么有2.2姿態(tài)與位置描述固定角坐標(biāo)2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來描述。旋轉(zhuǎn)矩陣可以反映固連在剛體上的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，在世界坐標(biāo)系中表示的轉(zhuǎn)換關(guān)系

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角其中，ca是cosa的簡(jiǎn)寫，sa是sina的簡(jiǎn)寫，以此類推。上式表示出了繞固定軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，需要指出的是，旋轉(zhuǎn)矩陣的值與轉(zhuǎn)動(dòng)順序是有關(guān)系的。如果已知旋轉(zhuǎn)矩陣的值，那么怎么推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)的角度呢？2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角

2.3旋轉(zhuǎn)矩陣與姿態(tài)角坐標(biāo)系的Z-Y-X歐拉角表示法含義：所謂Z-Y-X歐拉角表示法，就是一開始本體坐標(biāo)系B與世界坐標(biāo)系W重合。然后依次繞本體坐標(biāo)系B的Z-Y-X軸旋轉(zhuǎn)，這里每一次旋轉(zhuǎn)均是根據(jù)上一次旋轉(zhuǎn)所在位置而進(jìn)行的。這三次旋轉(zhuǎn)的角度稱為歐拉角，如圖所示歐拉角Z-Y-X歐拉角表示法的旋轉(zhuǎn)矩陣，與式X-Y-Z固定角坐標(biāo)表示的旋轉(zhuǎn)矩陣是一樣的2.4齊次坐標(biāo)變換為了將平移和旋轉(zhuǎn)整合在一起運(yùn)算，提出了齊次變換矩陣的概念旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射

平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射2.4齊次坐標(biāo)變換更一般地，下圖表示了坐標(biāo)系間直接既有平移，又有旋轉(zhuǎn)的情況。

位姿變換示意圖2.5位姿變換如圖所示，已知坐標(biāo)系B的原點(diǎn)在坐標(biāo)系W中的位置為(10,5,0)，空間中一點(diǎn)P在坐標(biāo)系B中的坐標(biāo)為(3,7,0)，坐標(biāo)系B的姿態(tài)為繞Z軸以右手定則正向旋轉(zhuǎn)30°。求點(diǎn)P在坐標(biāo)系W中的表示。因?yàn)樽鴺?biāo)系B的姿態(tài)為繞Z軸以右手定則正向旋轉(zhuǎn)30°可得2.5位姿變換于是可得

向量平移情況2.5位姿變換

向量旋轉(zhuǎn)情況2.5位姿變換

先旋轉(zhuǎn)再平移情況

先平移再旋轉(zhuǎn)情況連續(xù)變換2.6多坐標(biāo)系變換