2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題一．解答題（共25小題）1．（2024?瀘州模擬）設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為；正數(shù)，，滿足，證明：．2．（2024?長安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．3．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．4．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．（1）求圖像上點，（1）處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的值；（3）若，，證明．5．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．6．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．7．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．8．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且是邊上的高．．（1）求角；（2）若，，求．9．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點到直線的距離的最大值．10．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．11．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線與曲線在點處的切線能否平行？請說明理由．12．（2024?德城區(qū)校級三模）設(shè)函數(shù)，．曲線在點，處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：方程僅有一個實根；（Ⅲ）對任意，有，求正數(shù)的取值范圍．13．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．14．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會利用“健步行”開展健步走活動．為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率．15．（2024?南開區(qū)校級模擬）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足已知．（1）求角的大??；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長．16．（2024?開福區(qū)校級三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點在上．（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成的角的正弦值．17．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．18．（2024?東湖區(qū)校級一模）已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對于任意，成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點為直線的中點，求直線與平面所成角的正弦值．20．（2024?回憶版）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．21．（2024?長安區(qū)校級一模）已知數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）若，，求．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點分別為、，點在上，點，分別為直線、上的點．（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，求證：直線經(jīng)過定點．23．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．24．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且的面積為，點是線段上靠近點的一個三等分點，．（1）若，求；（2）若，求的值．25．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點在邊上，且，為邊的中點．是平面外一點，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．（2024?瀘州模擬）設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為；正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【考點】絕對值不等式的解法；不等式的證明【專題】數(shù)學(xué)運算；不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明；對應(yīng)思想；分析法【分析】（1）分類討論的取值，脫掉絕對值符號，解不等式，可得答案；（2）分類討論的取值，求出的最小值為，將展開，利用基本不等式證明，即可證明結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時，，即，解得，故；當(dāng)時，，即，，則；當(dāng)時，，即，解得，故，綜上所述，原不等式的解集為；（2）證明：若，則；若，則；若，則，所以函數(shù)的最小值，故．又、，為正數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以．【點評】本題考查不等式的證明，基本不等式的換一法，屬于中檔題．2．（2024?長安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．【考點】基本不等式及其應(yīng)用；解三角形【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式【分析】（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求出．（2）因為已知，所以求面積的最小值即為求的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．【解答】解：（1）因為．由正弦定理得．顯然，所以．所以，．所以，．（2）依題意，．所以時取等號．又由余弦定理得．．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的周長最小值為．【點評】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題．3．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）4；（2）；（3）．【考點】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理能求出；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出．再由正弦定理求出．（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，利用兩角差三角函數(shù)能求出．【解答】解：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．【點評】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．4．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．（1）求圖像上點，（1）處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的值；（3）若，，證明．【答案】（1）；（2）2；（3）詳見解答過程．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；整體思想【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可切線斜率，進而可求切線方程；（2）設(shè)，命題等價于對任意，都有，利用特殊值賦值法，即可求解；（3）結(jié)合重要不等式可先證明對，有，然后結(jié)合，的各種情況進行證明即可．【解答】解：（1）由于，故，所以（1），（1），所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為1，故其方程為；（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時，當(dāng)時，所以在，上遞減，在，上遞增，這就說明（1），即，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，設(shè)，則．當(dāng)時，的取值范圍是，所以命題等價于對任意，都有．一方面，若對任意，都有，則對，有，取，得，故．再取，得，所以．另一方面，若，則對任意都有，滿足條件．綜合以上兩個方面知．證明：（3）先證明一個結(jié)論：對，有．證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即．由，可知當(dāng)時，，當(dāng)時．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論．情況一：當(dāng)時，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時，有對任意的，設(shè)，則由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)時，由可知，．所以在上存在零點，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時，時故在，上遞減，在，上遞增．①當(dāng)時，有（c）；②當(dāng)時，由于，故我們可以?。畯亩?dāng)時，由，可得，再根據(jù)在，上遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即．根據(jù)和的任意性，取，，就得到所以情況三：當(dāng)時，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，，而根據(jù)的單調(diào)性，知或．故一定有成立．綜上，結(jié)論成立．【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切削方程求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，及不等式的證明，屬于難題．5．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】證明過程請見解答；（Ⅱ）．【考點】直線與平面平行；二面角的平面角及求法【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算【分析】連接，設(shè)，連接，由中位線的性質(zhì)知，再由線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）先證，，兩兩相互垂直，再以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】證明：連接，設(shè)，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因為，，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，，兩兩相互垂直，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，2，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，所以，1，，因為平面，所以是平面的一個法向量，所以，由題意知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．6．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【考點】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法【專題】空間角；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）分別取，的中點，，連接，，，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，可證，，從而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）證明：分別取，的中點，，連接，，，在直角梯形中，，，因為，所以，且，又，是的中點，所以，所以，即，又，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）解：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，4，，，0，，，0，，，2，，所以，，，，4，，，4，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，所以，，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．7．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【考點】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算；方程思想；綜合法【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點，、，，由平面向量的坐標運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，、，，聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）因為，，由可得，則，當(dāng)直線與軸重合時，則點、，，，此時，，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達定理可得，則，，即，解得，則，所以，．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且是邊上的高．．（1）求角；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）6．【考點】正弦定理；余弦定理；解三角形【專題】解三角形；綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）利用正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合，即可求解的值；（2）由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求，設(shè)，，，可得，，由題意可得，又，解得：，，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求解．【解答】解：（1）因為，利用正弦定理可得，可得，利用余弦定理，由于，所以；（2）因為，可得①，又，可得②，由①②得：，，所以，可得，即③，在中，，設(shè)，，，則，，所以由③可得，整理得：，由于：，解得：，，由于：，所以：，可得，整理可得，解得：或（舍去），即．【點評】本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．9．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點到直線的距離的最大值．【答案】（1）；（2）．【考點】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的綜合；橢圓的標準方程【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；設(shè)而不求法；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）由橢圓的離心率，可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點的坐標代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點到直線的最大距離．【解答】解：（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，△，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點到直線的距離的最大值為．【點評】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進而計算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進而可得，，，，，進而由可得，，，進而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點為雙曲線的左頂點，此方程有一根為，，解得，點在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．11．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線與曲線在點處的切線能否平行？請說明理由．【答案】（1）；（2）不能，詳見解答過程．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點存在條件即可求解；（2）由已知結(jié)合直線的斜率公式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，結(jié)合等式特點構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）令，由題設(shè)知方程有兩個實數(shù)根，因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)及時，，且，當(dāng)時，（1）且時．所以當(dāng)時，與有兩個不同的交點，即有兩個不同的零點．（2）因為且，，成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，（8分）直線的斜率，函數(shù)在點處的切線斜率，假設(shè)直線與函數(shù)在點處的切線平行，則，整理成，令，，則，所以在單調(diào)遞增，所以（1），所以在時無實數(shù)解，所以直線與函數(shù)在點處的切線不能平行．【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)在零點存在問題中的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?德城區(qū)校級三模）設(shè)函數(shù)，．曲線在點，處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：方程僅有一個實根；（Ⅲ）對任意，有，求正數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3），．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；邏輯推理；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；分類討論【分析】（Ⅰ）根據(jù)切點在曲線和切線上可得；（Ⅱ）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過單調(diào)性討論即可得證；（Ⅲ）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，又點，在切線上，所以，所以，即．（Ⅱ）證明：欲證方程僅有一個實根，只需證明僅有一個零點，令，則，令，則，討論：（1）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即此時無零點；（2）當(dāng)時，，即此時有一個零點；（3）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即此時無零點，綜上所述，僅有一個零點，得證．（Ⅲ）當(dāng)時，，即恒成立，令，則，由（Ⅱ）可知，時，所以，討論：（1）當(dāng)時，因為，所以，即，所以．即當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞增，所以恒成立，即滿足條件，（2）當(dāng)時，由可知，，又，所以存在，使得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)的取值范圍是，．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于難題．13．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3）．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行；點、線、面間的距離計算【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；空間角【分析】（1）取中點，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點建系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求點到平面的距離．【解答】（1）證明：取中點，連接，，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為．【點評】本題考查直線與平面平行、點到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．14．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會利用“健步行”開展健步走活動．為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率．【答案】（Ⅰ）估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為14.5；（Ⅱ）在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；計算題；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合結(jié)合百分位數(shù)的定義運算求解即可；（Ⅱ）先列舉出所有的基本事件，再從中找出符合條件的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式運算求解．【解答】解：（Ⅰ）由于在，的樣本數(shù)據(jù)比例為：，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在，內(nèi)，估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為：；（Ⅱ）設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在，，，，，中分別設(shè)為事件，，，，，，設(shè)事件在該地區(qū)工會會員中任取一人體檢為“健康”，，即在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【點評】本題考查了頻率分布直方圖和百分位數(shù)的求法問題，也考查列舉法求概率，是基礎(chǔ)題．15．（2024?南開區(qū)校級模擬）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長．【答案】（1）；（2）（3）的周長為8．【考點】正弦定理；余弦定理【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合，可求，結(jié)合范圍，可求的值．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可求解．（3）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解的周長．【解答】解：（1），由正弦定理得，從而有，，，，；（2）由已知得，，，，，（3），，由余弦定理得，，即，解得，的周長為．【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16．（2024?開福區(qū)校級三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點在上．（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【考點】直線與平面垂直；直線與平面所成的角【專題】邏輯推理；直觀想象；空間位置關(guān)系與距離；方程思想；空間向量及應(yīng)用；空間角；數(shù)學(xué)運算；計算題；綜合法；立體幾何【分析】（1）由條件可得，，然后算出的長度可得矩形是正方形，然后可得，即可證明；（2）、、兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量求解即可．【解答】（1）證明：因為底面，、底面，所以，，所以，，所以矩形是正方形，所以，因為，所以平面．（2）解：由（1）知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，，所以可取，0，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．【點評】本題主要考查線面垂直的證明，線面角的計算，空間向量及其應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．17．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答；（2）．【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法即可求解．【解答】解：（1）證明：設(shè)為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為菱形，即．（2）因為平面平面，且平面平面，，所以平面，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，0，，，，，，，，1，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，可得，，故二面角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?東湖區(qū)校級一模）已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對于任意，成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2），．【考點】數(shù)列遞推式【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想【分析】（1）數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系，以及等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（2）由等差數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可得所求取值范圍．【解答】解：（1）由，可得，即，可得，當(dāng)時，由，可得，兩式相減可得，化為，即數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為4的等差數(shù)列，即有時，；時，；所以，；（2），對于任意，成立，即為恒成立．設(shè)，則，當(dāng)，2時，；當(dāng)時，，即有，可得時，取得最大值，則，即的取值范圍是，．【點評】本題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系，以及等差數(shù)列和數(shù)列的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．19．（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點為直線的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解答．（2）．【考點】平面與平面垂直；直線與平面所成的角【專題】數(shù)學(xué)運算；空間角；數(shù)形結(jié)合；向量法；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進而，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面．（2）在平面中過點作的垂線，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成的角的正弦值．【解答】解：（1）證明：因為，所以因為，所以．在中，，即，所以，即．（2分）又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以，在△中，，，，所以，即，所以．而，平面，平面，，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面中過點作的垂線，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，0，，所以，，，，，，所以，，，平面的一個法向量為，1，，（10分）設(shè)直線與平面所成的角為，則直線與平面所成角的正弦值為：，．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．20．（2024?回憶版）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．【考點】數(shù)列的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出直線方程，再與曲線方程聯(lián)立，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，再結(jié)合，都在雙曲線上，以及等比數(shù)列的定義，即可求證；（3）要證：，只需先嘗試，即先證，再結(jié)合換元法，以及直線的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，過且斜率為的直線方程為，即，聯(lián)立，解得或，故，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，所以，；（2）證明：，關(guān)于軸的對稱點是，，，，，都在同一條斜率為的直線上，；則，，都在雙曲線上，，兩式相減可得，，而①，②，則②①可得，，則，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）證明：要證：，只需先嘗試，即先證，記，，則，，而，，，，，，，．【點評】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．21．（2024?長安區(qū)校級一模）已知數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）若，，求．【考點】裂項相消法【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；方程思想；定義法；應(yīng)用題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【分析】（1）由，得，兩式相減并整理即可得到的通項公式；（2）由（1）可知，則，從而利用裂項相消求和法即可求出．【解答】解：（1）由，得，兩式相減得，則；（2）由（1）可知，則，所以．【點評】本題考查數(shù)列的遞推公式與裂項相消求和法，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點分別為、，點在上，點，分別為直線、上的點．（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，求證：直線經(jīng)過定點．【答案】（1）．（2）證明見解析．【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化法；方程思想【分析】（1）解法一：設(shè)，，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點在橢圓上化簡即可求解．解法二：設(shè)，，利用三點共線的向量形式求得，，結(jié)合點在橢圓上化簡即可求解．（2）解法一：聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得，同理得點的坐標為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過的定點．解法二：設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理利用求得或3（舍去），從而求得直線經(jīng)過的定點．【解答】解：（1）解法一：設(shè)，，由題可知，，又，，，在橢圓上，則，，．解法二：設(shè)，，則，、、三點共線，，同理，，又，在曲線上，，代入上式得：．（2）證明：解法一：由題可知，直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得：，，，，又，，，同理可得點的坐標為，當(dāng)直線垂直于軸時，，即，，，此時直線的方程為．當(dāng)直線不垂直于軸時，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時直線經(jīng)過定點，綜上所述，直線經(jīng)過定點．解法二：由，，得，又，，由題可得直線顯然不與軸平行，設(shè)直線的方程為：，，，，，由，得，所以△，所以，又，由且，解得，直線方程為，直線經(jīng)過定點．【點評】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．23．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】（1）是數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）由題知，，0，1，2，3，，再根據(jù)數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設(shè)是數(shù)列，從而有，再進行驗證，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)題設(shè)得到，令，從而得到，再利用函數(shù)性質(zhì)，建立不等關(guān)系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是數(shù)列，理由：由題知，即，，0，1，2，3，，所以，，當(dāng)時，，所以是數(shù)列．（2）證明：假設(shè)是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項，，所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時，存在，滿足，取，得，所以，可以驗證：當(dāng)，2，3，4時，都不成立，故不是數(shù)列．（3）已知是等比數(shù)列，其首項，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，①令，得，且，因為，，所以當(dāng)時，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1綜上，或．【點評】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．24．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且的面積為，點是線段上靠近點的一個三等分點，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【考點】正弦定理；解三角形；余弦定理【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；解三角形；整體思想【分析】（1）由得，再結(jié)合余弦定理從而可求解．（2）由利用向量可得，并結(jié)合得，再由，從而可求解．【解答】解：（1）由題可得：，故，又，即，，即，在中，根據(jù)余弦定理得，即，，即；（2），，，即，又，①，又②，由①②得：，．【點評】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點在邊上，且，為邊的中點．是平面外一點，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）；．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進而得出平面，即可得證；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進而求出，利用三角形面積公式即可求解；利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．【解答】解：（1）證明：因為為邊的中點，所以，又，故，即，如圖，設(shè)線段的中點為，連接，又，所以，，因為，所以，即，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以；（2）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面積為；設(shè)直線與平面所成角為，由題意可知，則，故，又因為平面，所以直線與平面所成的角為，于是，所以，如圖，連接，則三棱錐的體積為，設(shè)△，△的面積分別為，，點到平面的距離為，因為為邊的中點，，所以由平面幾何知識易得，則三棱錐的體積為．【點評】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．

考點卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，＝，用基本不等式若x＞0時，0＜y≤，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點的認識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．3．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識點的認識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結(jié)合．4．裂項相消法【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．【解題方法點撥】裂項相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項裂解成兩個或多個部分進行相消來簡化計算．【命題方向】常見題型包括利用裂項相消法計算等差或等比數(shù)列的前n項和，結(jié)合具體數(shù)列進行分析．求和：+++…+．解：因為＝，所以原式＝．故答案為：1﹣．5．?dāng)?shù)列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．6．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點的認識】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．7．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識點的認識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）＝在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導(dǎo)）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點．8．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【知識點的認識】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【解題方法點撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認真總結(jié)．9．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．10．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．11．解三角形【知識點的認識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝12．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．13．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．14．直線與平面垂直【知識點的認識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．15．平面與平面垂直【知識點的認識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．16．直線與平面所成的角【知識點的認識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．17．二面角的平面角及求法【知識點的認識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則（1）當(dāng)0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時cosθ＝cos＜，＞＝．（2）當(dāng)＜＜，＞＜π時，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．18．點、線、面間的距離計算【知識點的認識】19．橢圓的標準方程【知識點的認識】橢圓標準方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準線x＝±y＝±20．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．21．直線與橢圓的綜合【知識點的認識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點所在．（2）弦長的求法設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝＝（k為直線斜率）注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判