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文檔簡介
Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之平面向量及其應(yīng)用一.選擇題(共10小題)1.(2024?長沙模擬)在△中,為邊上一點,,,,且△的面積為,則A. B. C. D.2.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知△所在平面內(nèi)一點,滿足,則A. B. C. D.3.(2024?平谷區(qū)模擬)在中,“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.(2024?和平區(qū)二模)平面四邊形中,,,,,則的最小值為A. B. C. D.5.(2024?揚州模擬)已知三個單位向量,,滿足,則向量,的夾角為A. B. C. D.6.(2024?保定三模)已知△是邊長為的正三角形,點是△所在平面內(nèi)的一點,且滿足,則的最小值是A.1 B.2 C.3 D.7.(2024?射洪市模擬)在中,點為線段上任一點(不含端點),若,則的最小值為A.9 B.8 C.4 D.28.(2024?江西一模)如圖,正六邊形的邊長為,半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心,若點在正六邊形的邊上運動,動點,在圓上運動且關(guān)于圓心對稱,則的取值范圍為A., B., C., D.,9.(2024?浙江一模)設(shè),是單位向量,則的最小值是A. B.0 C. D.110.(2024?重慶模擬)已知,,,,,則的最大值為A. B.4 C. D.二.多選題(共5小題)11.(2024?湖北模擬)在中,,,所對的邊為,,,設(shè)邊上的中點為,的面積為,其中,,下列選項正確的是A.若,則 B.的最大值為 C. D.角的最小值為12.(2024?菏澤模擬)已知向量在向量方向上的投影向量為,向量,且與夾角,則向量可以為A. B. C. D.13.(2024?蘭陵縣模擬)定義運算.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,滿足,則下列結(jié)論正確的是A. B. C.角的最大值為 D.若,則為鈍角三角形14.(2024?博白縣模擬)在中,,,則下列結(jié)論正確的是A.若,則有兩解 B.周長有最大值6 C.若是鈍角三角形,則邊上的高的范圍為 D.面積有最大值15.(2024?肇慶模擬)若的三個內(nèi)角,,的正弦值為,,,則A.,,一定能構(gòu)成三角形的三條邊 B.一定能構(gòu)成三角形的三條邊 C.,,一定能構(gòu)成三角形的三條邊 D.一定能構(gòu)成三角形的三條邊三.填空題(共5小題)16.(2024?河南模擬)已知△的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,,,若,為中點,則.17.(2024?瀘州模擬)已知向量,滿足,,,則.18.(2024?江西二模)在中,已知,為線段的中點,若,則.19.(2024?靜安區(qū)二模)若單位向量、滿足,則.20.(2024?重慶模擬)已知正三角形的邊長為2,點滿足,且,,,則的取值范圍是.四.解答題(共5小題)21.(2024?長安區(qū)一模)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,設(shè).(1)求;(2)若的面積等于,求的周長的最小值.22.(2024?一模擬)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且是邊上的高..(1)求角;(2)若,,求.23.(2024?大通縣二模)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求角的大??;(2)若,,求的面積.24.(2024?江西一模)在中,已知內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且的面積為,點是線段上靠近點的一個三等分點,.(1)若,求;(2)若,求的值.25.(2024?曲靖模擬)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)線段上一點滿足,求的長度.
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之平面向量及其應(yīng)用參考答案與試題解析一.選擇題(共10小題)1.(2024?長沙模擬)在△中,為邊上一點,,,,且△的面積為,則A. B. C. D.【答案】【考點】正弦定理;余弦定理;三角形中的幾何計算【專題】數(shù)學(xué)運算;方程思想;數(shù)形結(jié)合法;解三角形【分析】由已知,解得,得△為等腰三角形,在△中,由正弦定理得,從而得,再由兩角差的正弦公式即可求得結(jié)論.【解答】解:由題意,,解得,所以△為等腰三角形,則,故,在△中,由正弦定理得,即,得,因為,所以為銳角,故,故.故選:.【點評】本題考查三角形中的幾何計算,考查正弦定理的應(yīng)用,屬中檔題.2.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知△所在平面內(nèi)一點,滿足,則A. B. C. D.【答案】【考點】平面向量的基本定理【專題】轉(zhuǎn)化思想;向量法;平面向量及應(yīng)用;運算求解【分析】由已知條件結(jié)合平面向量的加法可得出關(guān)于、的表達式.【解答】解:因為,即,即,解得.故選:.【點評】本題考查平面向量的線性運算,屬基礎(chǔ)題.3.(2024?平谷區(qū)模擬)在中,“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】【考點】29:充分條件、必要條件、充要條件【專題】11:計算題;35:轉(zhuǎn)化思想;:轉(zhuǎn)化法;56:三角函數(shù)的求值;:簡易邏輯;62:邏輯推理;65:數(shù)學(xué)運算【分析】在中,由“”或,即或;由“”,則,根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【解答】解:在中,若,則或,即或,故在中,“”推不出“”;若,則,則,故在中,“”“”;故在中,“”是“”必要不充分條件.故選:.【點評】本題考查了三角函數(shù)在三角形中應(yīng)用,及充分必要條件的定義,屬于中檔題.4.(2024?和平區(qū)二模)平面四邊形中,,,,,則的最小值為A. B. C. D.【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】綜合法;數(shù)學(xué)運算;轉(zhuǎn)化思想;平面向量及應(yīng)用【分析】由已知,得,,,四點共圓,從而判斷點的軌跡是以為弦,圓周角為的劣?。ú缓?,兩點),根據(jù)數(shù)量積的幾何意義,得出結(jié)論.【解答】解:由,,,可得,故,又,所以,以為直徑作圓,則,,,四點共圓,如圖所示,故點的軌跡是以為弦,圓周角為的劣?。ú缓?,兩點),則,又表示在上的投影數(shù)量,由圖可知,,,故(此時點在劣弧的中點位置),即的最小值為.故選:.【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算,屬中檔題.5.(2024?揚州模擬)已知三個單位向量,,滿足,則向量,的夾角為A. B. C. D.【答案】【考點】數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】將兩邊同時平方,再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算,即可求解.【解答】解:設(shè)向量,的夾角為,,,由題意可知,,,則,解得,故.故選:.【點評】本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.6.(2024?保定三模)已知△是邊長為的正三角形,點是△所在平面內(nèi)的一點,且滿足,則的最小值是A.1 B.2 C.3 D.【答案】【考點】兩個平面向量的和或差的模的最值;平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】數(shù)形結(jié)合;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】建立適當平面直角坐標系,借助向量的坐標運算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【解答】解:以所在直線為軸,以中垂線為軸建立直角坐標系,則,設(shè),因為,所以,化簡得:,所以點的軌跡方程為,設(shè)圓心為,則,由圓的性質(zhì)可知當過圓心時,最小,又因為,所以得最小值為.故選:.【點評】本題考查平面向量的坐標運算和圓的相關(guān)知識,屬于中檔題.7.(2024?射洪市模擬)在中,點為線段上任一點(不含端點),若,則的最小值為A.9 B.8 C.4 D.2【答案】【考點】平面向量的基本定理【專題】計算題;對應(yīng)思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】利用,,三點共線,得到,再利用基本不等式求最值即可.【解答】解:,,三點共線,,,,當且僅當,即時取等號,的最小值為9,故選:.【點評】本題考查平面向量共線定理,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.8.(2024?江西一模)如圖,正六邊形的邊長為,半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心,若點在正六邊形的邊上運動,動點,在圓上運動且關(guān)于圓心對稱,則的取值范圍為A., B., C., D.,【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】數(shù)學(xué)運算;整體思想;平面向量及應(yīng)用;綜合法【分析】根據(jù)題意,由平面向量數(shù)量積的運算化簡,可得,再由的范圍,即可得到結(jié)果.【解答】解:由題意可得:,當與正六邊形的邊垂直時,,當點運動到正六邊形的頂點時,,所以,則,即.故選:.【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,重點考查了平面向量的模的運算,屬中檔題.9.(2024?浙江一模)設(shè),是單位向量,則的最小值是A. B.0 C. D.1【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】綜合法;數(shù)學(xué)運算;對應(yīng)思想;平面向量及應(yīng)用【分析】由向量的數(shù)量積運算及三角函數(shù)的有界性計算即可.【解答】解:因為,是單位向量,所以,又因為,且,所以,所以的最小值為.故選:.【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算,屬于基礎(chǔ)題.10.(2024?重慶模擬)已知,,,,,則的最大值為A. B.4 C. D.【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離,再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.【解答】解:如圖所示:不妨設(shè),滿足,,,又,即,由橢圓的定義可知點在以,為焦點,長軸長為4的橢圓上運動,,所以該橢圓方程為,而,即,即,這表明了點在圓上面運動,其中點為圓心,為半徑,又,等號成立當且僅當,,三點共線,故只需求的最大值即可,因為點在橢圓上面運動,所以不妨設(shè),所以,所以當且,,三點共線時,有最大值.故選:.【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.二.多選題(共5小題)11.(2024?湖北模擬)在中,,,所對的邊為,,,設(shè)邊上的中點為,的面積為,其中,,下列選項正確的是A.若,則 B.的最大值為 C. D.角的最小值為【答案】【考點】正弦定理【專題】轉(zhuǎn)化思想;計算題;數(shù)學(xué)運算;解三角形;綜合法【分析】對于,由余弦定理可求的值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.對于,由已知利用基本不等式可求得,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.對于,由題意可得,兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運算,余弦定理即可求解.對于,利用基本不等式可求得,利用余弦定理可求,結(jié)合范圍,利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答】解:對于,若,,,由余弦定理,可得,可得,所以的面積為,故正確;對于,因為,可得,當且僅當時等號成立,此時,可得,所以的面積為,故正確;對于,因為邊上的中點為,可得,所以兩邊平方,可得,可得,解得,故正確;對于,因為,可得,當且僅當時等號成立,所以,因為,可得,,所以的最大值為,故錯誤.故選:.【點評】本題主要考查了余弦定理,三角形的面積公式,基本不等式,平面向量數(shù)量積的運算以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.12.(2024?菏澤模擬)已知向量在向量方向上的投影向量為,向量,且與夾角,則向量可以為A. B. C. D.【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算;平面向量數(shù)量積的含義與物理意義;平面向量的投影向量【專題】平面向量及應(yīng)用;轉(zhuǎn)化法;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合向量的投影公式,以及向量的數(shù)量積運算,即可求解.【解答】解:向量,則,向量在向量方向上的投影向量為,與夾角,則,解得,故,對于,滿足,,符合題意,故正確;對于,,不符合題意,故錯誤;對于,,不符合題意,故錯誤;對于,滿足,,符合題意,故正確.故選:.【點評】本題主要考查向量的投影公式,以及向量的數(shù)量積運算,是基礎(chǔ)題.13.(2024?蘭陵縣模擬)定義運算.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,滿足,則下列結(jié)論正確的是A. B. C.角的最大值為 D.若,則為鈍角三角形【答案】【考點】行列式;正弦定理;解三角形【專題】解三角形;整體思想;數(shù)學(xué)運算;綜合法【分析】由新定義運算得,對于選項:由正弦定理邊化角后知正確;對于選項:可舉反例進行判斷;對于選項:結(jié)合余弦定理及基本不等式,可求得,可知正確;對于選項:結(jié)合條件可得,計算即可判斷出為鈍角.【解答】解:由可知,整理可知,由正弦定理可知:,即選項正確;因為滿足,但不滿足,即選項不正確;由(當且僅當時取“”,又,所以的最大值為,即選項正確;由可得,解得,又,從而可得為最大邊,則,即角為鈍角,即選項正確.故選:.【點評】本題考查了正弦定理,重點考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用,屬中檔題.14.(2024?博白縣模擬)在中,,,則下列結(jié)論正確的是A.若,則有兩解 B.周長有最大值6 C.若是鈍角三角形,則邊上的高的范圍為 D.面積有最大值【答案】【考點】正弦定理;三角形中的幾何計算;解三角形【專題】分類討論;解三角形;數(shù)學(xué)運算;綜合法【分析】選項,根據(jù)得到結(jié)論,判斷出的真假;選項,由余弦定理和基本不等式求出周長的最大值,判斷出的真假;選項,求出三角形的外接圓半徑,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得在或上,邊上的高的范圍為;選項,在選項的基礎(chǔ)上求出面積最大值.【解答】解:選項,,故,故有兩解,正確;選項,由余弦定理得,即,化簡得,由基本不等式得,故,當且僅當時,等號成立,解得,故的周長最大值為,錯誤;選項,由正弦定理得,故的外接圓半徑為2,如圖所示,將放入半徑為2的圓中,其中,,故,是鈍角三角形,故在或上,故邊上的高的范圍為,正確;選項,由選項可知,當落在的中點時,邊上的高最大,其中,此時高為,面積最大值為,正確.故選:.【點評】本題考查余弦定理及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.15.(2024?肇慶模擬)若的三個內(nèi)角,,的正弦值為,,,則A.,,一定能構(gòu)成三角形的三條邊 B.一定能構(gòu)成三角形的三條邊 C.,,一定能構(gòu)成三角形的三條邊 D.一定能構(gòu)成三角形的三條邊【答案】【考點】正弦定理;解三角形;余弦定理【專題】邏輯推理;轉(zhuǎn)化思想;計算題;解三角形;綜合法;三角函數(shù)的求值;數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)正弦定理邊化角,結(jié)合三角形三邊滿足的關(guān)系即可根據(jù)選項逐一求解.【解答】解:對于,由正弦定理得,所以,,作為三條線段的長一定能構(gòu)成三角形,故正確,對于,由正弦定理得,例如,,,則,由于,,故不能構(gòu)成三角形的三條邊長,故錯誤,對于,由正弦定理得,例如:、、,則、、,則,,,作為三條線段的長不能構(gòu)成三角形,故不正確;對于,由正弦定理可得,不妨設(shè),則,故,且,所以,故正確.故選:.【點評】本題考查的知識要點:正弦定理,主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力,屬于中檔題.三.填空題(共5小題)16.(2024?河南模擬)已知△的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,,,若,為中點,則.【考點】余弦定理;解三角形【專題】整體思想;綜合法;解三角形;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】由已知結(jié)合余弦定理先求出,然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【解答】解:因為△中,,,,由余弦定理得,,即,所以,為中點,則,所以,所以.故答案為:.【點評】本題主要考查了余弦定理,向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.17.(2024?瀘州模擬)已知向量,滿足,,,則1.【答案】1.【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】整體思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運算【分析】對兩邊平方結(jié)合已知化簡可求出的值.【解答】解:因為,,,所以,所以,解得,故答案為:1.【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運用,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(2024?江西二模)在中,已知,為線段的中點,若,則10.【考點】平面向量的數(shù)乘與線性運算;平面向量的基本定理【專題】轉(zhuǎn)化思想;方程思想;計算題;數(shù)學(xué)運算;平面向量及應(yīng)用;綜合法【分析】根據(jù)題意,由向量的線性運算公式可得,由平面向量基本定理可得、的值,進而計算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,在中,已知,則,由于為線段的中點,則,故,,則有.故答案為:10.【點評】本題考查平面向量基本定理,涉及向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.19.(2024?靜安區(qū)二模)若單位向量、滿足,則2.【答案】2.【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】綜合法;數(shù)學(xué)運算;平面向量及應(yīng)用;整體思想【分析】由平面向量數(shù)量積的運算,結(jié)合平面向量的模的運算求解.【解答】解:單位向量、滿足,則,則.故答案為:2.【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,重點考查了平面向量的模的運算,屬基礎(chǔ)題.20.(2024?重慶模擬)已知正三角形的邊長為2,點滿足,且,,,則的取值范圍是.【答案】.【考點】平面向量的基本定理【專題】數(shù)學(xué)運算;轉(zhuǎn)化思想;平面向量及應(yīng)用;向量法【分析】取的中點,由題意得,從而推得,,三點共線,進而得出,即可求得結(jié)論.【解答】解:取的中點,則,又,則,又,故,,三點共線,即點在中線上運動,在正三角形中,,又,,則,故.故答案為:.【點評】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.四.解答題(共5小題)21.(2024?長安區(qū)一模)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,設(shè).(1)求;(2)若的面積等于,求的周長的最小值.【考點】基本不等式及其應(yīng)用;解三角形【專題】綜合題;函數(shù)思想;轉(zhuǎn)化思想;分析法;轉(zhuǎn)化法;解三角形;不等式【分析】(1)先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,求出.(2)因為已知,所以求面積的最小值即為求的最小值,結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得.【解答】解:(1)因為.由正弦定理得.顯然,所以.所以,.所以,.(2)依題意,.所以時取等號.又由余弦定理得..當且僅當時取等號.所以的周長最小值為.【點評】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),屬于中檔題.22.(2024?一模擬)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且是邊上的高..(1)求角;(2)若,,求.【答案】(1);(2)6.【考點】正弦定理;余弦定理;解三角形【專題】解三角形;綜合法;數(shù)學(xué)運算;計算題;轉(zhuǎn)化思想【分析】(1)利用正弦定理化簡已知等式可得,利用余弦定理可得,結(jié)合,即可求解的值;(2)由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求,設(shè),,,可得,,由題意可得,又,解得:,,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求解.【解答】解:(1)因為,利用正弦定理可得,可得,利用余弦定理,由于,所以;(2)因為,可得①,又,可得②,由①②得:,,所以,可得,即③,在中,,設(shè),,,則,,所以由③可得,整理得:,由于:,解得:,,由于:,所以:,可得,整理可得,解得:或(舍去),即.【點評】本題考查的知識要點:正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力,屬于中檔題.23.(2024?大通縣二模)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求角的大?。唬?)若,,求的面積.【答案】(1);(2).【考點】解三角形;余弦定理;正弦定理【專題】數(shù)學(xué)運算;綜合法;轉(zhuǎn)化思想;解三角形【分析】(1)由題意及余弦定理得到,再由正弦定理將邊化角,即可得到,最后由輔助角公式計算可得;(2)由正弦定理可得,由余弦定理求出、,最后由面積公式計算可得.【解答】解:(1)因為,所以,又,所以,所以,由正弦定理可得,又,所以,所以,即,又,所以,所以,則;(2)因為,由正弦定理可得,又,由,所以,解得或(舍去),所以,所以.【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.24.(2024?江西一模)在中,已知內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且的面積為,點是線段上靠近點的一個三等分點,.(1)若,求;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【考點】正弦定理;解三角形;余弦定理【專題】數(shù)學(xué)運算;綜合法;解三角形;整體思想【分析】(1)由得,再結(jié)合余弦定理從而可求解.(2)由利用向量可得,并結(jié)合得,再由,從而可求解.【解答】解:(1)由題可得:,故,又,即,,即,在中,根據(jù)余弦定理得,即,,即;(2),,,即,又,①,又②,由①②得:,.【點評】本題主要考查了三角形的面積公式,余弦定理,向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.25.(2024?曲靖模擬)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)線段上一點滿足,求的長度.【考點】正弦定理;解三角形【專題】整體思想;綜合法;解三角形;數(shù)學(xué)運算【分析】(1)由余弦邊角關(guān)系及已知得,再由余弦定理即可求;(2)由題設(shè)得,且,,,在,應(yīng)用正弦定理得,,,即可求的長度.【解答】解:(1)由題設(shè)及余弦定理知:,所以,又,,所以;(2)由題設(shè),且,,,在中,由正弦定理得,,則,在中,由正弦定理得,,所以,則,綜上,可得,,則,故.【點評】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.
考點卡片1.充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷:當命題“若p則q”為真時,可表示為p?q,稱p為q的充分條件,q是p的必要條件.事實上,與“p?q”等價的逆否命題是“¬q?¬p”.它的意義是:若q不成立,則p一定不成立.這就是說,q對于p是必不可少的,所以說q是p的必要條件.例如:p:x>2;q:x>0.顯然x∈p,則x∈q.等價于x?q,則x?p一定成立.2、充要條件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,則稱條件p是q成立的充要條件,或稱條件q是p成立的充要條件,記作“p?q”.p與q互為充要條件.【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù);解題中必須涉及兩個方面,充分條件與必要條件,缺一不可.證明題目需要證明充分性與必要性,實際上,充分性理解為充分條件,必要性理解為必要條件,學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始,或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的,只不過沒有明確定義,因而幾乎年年必考內(nèi)容,多以小題為主,有時也會以大題形式出現(xiàn),中學(xué)階段的知識點都相關(guān),所以命題的范圍特別廣.2.基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為:兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為:≥(a≥0,b≥0),變形為ab≤()2或者a+b≥2.常常用于求最值和值域.實例解析例1:下列結(jié)論中,錯用基本不等式做依據(jù)的是.A:a,b均為負數(shù),則.B:.C:.D:.解:根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件:“一正,二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件.對于C選項中sinx≠±2,不滿足“相等”的條件,再者sinx可以取到負值.故選:C.A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù),而不是式子當中的某一個組成元素;B分子其實可以寫成x2+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的,而且求最值也很方便.例2:利用基本不等式求的最值?當0<x<1時,如何求的最大值.解:當x=0時,y=0,當x≠0時,=,用基本不等式若x>0時,0<y≤,若x<0時,﹣≤y<0,綜上得,可以得出﹣≤y≤,∴的最值是﹣與.這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用,他的解題思路是首先判斷元素是否大于0,沒有明確表示的話就需要討論;然后把他化成基本不等式的形式,也就是化成兩個元素(函數(shù))相加,而他們的特點是相乘后為常數(shù);最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果.【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1:求下列函數(shù)的值域.2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一:湊項點評:本題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值.技巧二:湊系數(shù)例2:當0<x<4時,求y=x(8﹣2x)的最大值.解析:由0<x<4知,8﹣2x>0,利用基本不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個式子積的形式,但其和不是定值.注意到2x+(8﹣2x)=8為定值,故只需將y=x(8﹣2x)湊上一個系數(shù)即可.y=x(8﹣2x)=[2x?(8﹣2x)]≤()2=8當2x=8﹣2x,即x=2時取等號,當x=2時,y=x(8﹣x2)的最大值為8.評注:本題無法直接運用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值.技巧三:分離例3:求y=的值域.解:本題看似無法運用基本不等式,不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項,再將其分離.y===(x+1)++5,當x>﹣1,即x+1>0時,y≥2+5=9(當且僅當x=1時取“=”號)技巧四:換元對于上面例3,可先換元,令t=x+1,化簡原式在分離求最值.技巧五:結(jié)合函數(shù)f(x)=x+的單調(diào)性.技巧六:整體代換點評:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯.技巧七:取平方點評:本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用基本不等式創(chuàng)造了條件.總之,我們利用基本不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用基本不等式.3.兩個平面向量的和或差的模的最值【知識點的認識】向量的雖然有大小和方向,但也還是可以進行加減.就像速度是可以加減的一樣,向量相加減之后還是向量.當兩個向量相加時,有|+|≤||+||,當且僅當與方向相同時取得到等號;也有|+|≥|||﹣|||,當且僅當與方向相反時取得到等號.另外還有|﹣|≤||+||,當且僅當與方向相反時取得到等號.;|﹣|≥|||﹣|||,當且僅當與方向相同時取得到等號.【解題方法點撥】例:定義*=||||sinθ,θ是向量和的夾角,||,||是兩向量的模,若點A(﹣3,2),B(2,3),O為坐標原點,則*=()解:∵A(﹣3,2),B(2,3),∴=﹣3×2+2×3=0,∴sinθ=1.∴*===13.點評:這個題拿來當例題主要是這個題很新穎,很適合高考求變的胃口.其實這個題求的就是他們的最大值,只是多了一個確認的步奏.【命題方向】向量和差的模的極值也是一個比較重要的知識點,大家要引起重視,特別是新大綱還增加了向量的知識點,體現(xiàn)了對向量這一塊的重視,那么就更加要熟悉這一部分的考點.4.平面向量的數(shù)乘與線性運算【知識點的認識】(1)實數(shù)與向量的積是一個向量,記作λ,它的大小為|λ|=|λ|||,其方向與λ的正負有關(guān).若|λ|≠0,當λ>0時,λ的方向與的方向相同,當λ<0時,λ的方向與的方向相反.當λ=0時,λ與平行.對于非零向量a、b,當λ≠0時,有∥?=λ(2)向量數(shù)乘運算的法則①1=;(﹣1)=;②(λμ)=λ(μ)=μ(λ);③(λ+μ)=λ+μ;④λ(+)=λ+λ.一般地,λ+μ叫做,的一個線性組合(其中,λ、μ均為系數(shù)).如果=λ+μ,則稱可以用,線性表示.5.平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識點的認識】1、向量的夾角概念:對于兩個非零向量,如果以O(shè)為起點,作=,=,那么射線OA,OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角,其中0≤θ≤π.2、向量的數(shù)量積概念及其運算:(1)定義:如果兩個非零向量,的夾角為θ,那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積,記做即:=||||cosθ.規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即:?=0.注意:①表示數(shù)量而不表示向量,符號由cosθ決定;②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替;③在運用數(shù)量積公式解題時,一定要注意向量夾角的取值范圍是:0≤θ≤π.(2)投影:在上的投影是一個數(shù)量||cosθ,它可以為正,可以為負,也可以為0(3)坐標計算公式:若=(x1,y1),=(x2,y2),則=x1x2+y1y2,3、向量的夾角公式:4、向量的模長:5、平面向量數(shù)量積的幾何意義:與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積.6.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):設(shè),都是非零向量,是與方向相同的單位向量,與和夾角為θ,則:(1)==||cosθ;(2)?=0;(判定兩向量垂直的充要條件)(3)當,方向相同時,=||||;當,方向相反時,=﹣||||;特別地:=||2或||=(用于計算向量的模)(4)cosθ=(用于計算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀)(5)||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律:;(2)數(shù)乘向量的結(jié)合律:(λ)?=λ()=?();(3)分配律:()?≠?()平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①(±)2=2±2?+2.②(﹣)(+)=2﹣2.③?(?)≠(?)?,從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的,有些不一樣.【解題方法點撥】例:由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則:①“mn=nm”類比得到“”②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“()?=”;③“t≠0,mt=nt?m=n”類比得到“?”;④“|m?n|=|m|?|n|”類比得到“||=||?||”;⑤“(m?n)t=m(n?t)”類比得到“()?=”;⑥“”類比得到.以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的是①②.解:∵向量的數(shù)量積滿足交換律,∴“mn=nm”類比得到“”,即①正確;∵向量的數(shù)量積滿足分配律,∴“(m+n)t=mt+nt”類比得到“()?=”,即②正確;∵向量的數(shù)量積不滿足消元律,∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能類比得到“?”,即③錯誤;∵||≠|(zhì)|?||,∴“|m?n|=|m|?|n|”不能類比得到“||=||?||”;即④錯誤;∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,∴“(m?n)t=m(n?t)”不能類比得到“()?=”,即⑤錯誤;∵向量的數(shù)量積不滿足消元律,∴”不能類比得到,即⑥錯誤.故答案為:①②.向量的數(shù)量積滿足交換律,由“mn=nm”類比得到“”;向量的數(shù)量積滿足分配律,故“(m+n)t=mt+nt”類比得到“()?=”;向量的數(shù)量積不滿足消元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能類比得到“?”;||≠|(zhì)|?||,故“|m?n|=|m|?|n|”不能類比得到“||=||?||”;向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,故“(m?n)t=m(n?t)”不能類比得到“()?=”;向量的數(shù)量積不滿足消元律,故”不能類比得到.【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握,這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多,也是一個??键c,題目相對來說也不難,所以是拿分的考點,希望大家都掌握.7.平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影.投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角,也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解.設(shè),是兩個非零向量,,,考慮如下的變換:過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B1,稱上述變換為向量向向量投影,A1B1叫做向量在向量上的投影向量.向量在向量上的投影向量是.【解題方法點撥】投影,是一個動作.投影向量,是一個向量.我們把叫作向量在向量上的投影.那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量.(1)向量在向量上的投影向量為(其中為與同向的單位向量),它是一個向量,且與共線,其方向由向量和夾角θ的余弦值決定.(2)注意:在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同,在方向上的投影向量為.【命題方向】(1)向量分解:將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分.(2)向量夾角計算:通過求兩個向量之間的夾角,則可以判斷它們之間的關(guān)系(如垂直、平行或成銳角或成鈍角).(3)空間幾何問題:求點到平面的距離.8.平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容:如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對這一平面內(nèi)任一,有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2,使.2、基底:不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底.3、說明:(1)基底向量肯定是非零向量,且基底并不唯一,只要不共線就行.(2)由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.9.數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認識】我們知道向量是有方向的,也知道向量是可以平行的或者共線的,那么,當兩條向量與不平行時,那么它們就會有一個夾角θ,并且還有這樣的公式:cosθ=.通過這公式,我們就可以求出兩向量之間的夾角了.【解題方法點撥】例:復(fù)數(shù)z=+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個向量的夾角為60°.解:=====cos60°+isin60°.∴復(fù)數(shù)z=+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個向量的夾角為60°.故答案為:60°.點評:這是個向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題,本題其實可以換成是用向量(,1)與向量(,﹣1)的夾角.【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式,也是一個??键c,出題方式一般喜歡與其他的考點結(jié)合起來,比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等,希望大家認真掌握.10.正弦定理【知識點的認識】1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容=2R(R是△ABC外接圓半徑)a2=b2+c2﹣2bccosA,b2=a2+c2﹣2accosB,c2=a2+b2﹣2abcosC變形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=,cosB=,cosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角①已知三邊,求各角;②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩角在△ABC中,已知a,b和角A時,解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知,當A為銳角時,a<bsinA,無解.當A為鈍角或直角時,a≤b,無解.2、三角形常用面積公式1.S=a?ha(ha表示邊a上的高);2.S=absinC=acsinB=bcsinA.3.S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素.2、判斷三角形的形狀.3、解決與面積有關(guān)的問題.4、利用正余弦定理解斜三角形,在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用,如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(1)測距離問題:測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題,用正弦定理就可解決.解題關(guān)鍵在于明確:①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題,再運用正弦定理解決;②測量兩個不可到達的點之間的距離問題,首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題,然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題.(2)測量高度問題:解題思路:①測量底部不可到達的建筑物的高度問題,由于底部不可到達,因此不能直接用解直角三角形的方法解決,但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題,我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁,然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形,在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可.點撥:在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念.仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi),視線與水平線的夾角.當視線在水平線之上時,成為仰角;當視線在水平線之下時,稱為俯角.11.余弦定理【知識點的認識】1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容=2R(R是△ABC外接圓半徑)a2=b2+c2﹣2bccosA,b2=a2+c2﹣2accos_B,c2=a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=,cosB=,cosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;②②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角①已知三邊,求各角;②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素.2、判斷三角形的形狀.3、解決與面積有關(guān)的問題.4、利用正余弦定理解斜三角形,在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用,如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(1)測距離問題:測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題,用正弦定理就可解決.解題關(guān)鍵在于明確:①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題,再運用正弦定理解決;②測量兩個不可到達的點之間的距離問題,首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題,然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題.(2)測量高度問題:解題思路:①測量底部不可到達的建筑物的高度問題,由于底部不可到達,因此不能直接用解直角三角形的方法解決,但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題,我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁,然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形,在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可.點撥:在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念.仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi),視線與水平線的夾角.當視線在水平線之上時,成為仰角;當視線在水平線之下時,稱為俯角.12.三角形中的幾何計算【知識點的認識】1、幾何中的長度計算:(1)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解:①已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角.②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對
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