2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之數(shù)列

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之數(shù)列一．選擇題（共10小題）1．（2024?通州區(qū)模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024?衡水一模）在等比數(shù)列中，若為一確定的常數(shù)，記數(shù)列的前項積為，則下列各數(shù)為常數(shù)的是A． B． C． D．3．（2024?鄭州模擬）已知等比數(shù)列的前三項和為56，，則A．4 B．2 C． D．4．（2024?包頭一模）已知等差數(shù)列中，，，設，則A．245 B．263 C．281 D．2905．（2024?許昌模擬）已知等比數(shù)列的公比為，若，且，，成等差數(shù)列，則A． B． C．3 D．6．（2024?平谷區(qū)模擬）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值A．有且僅有1個值 B．有且僅有2個值 C．有且僅有3個值 D．有無數(shù)多個值7．（2024?山東一模）將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則A． B． C． D．8．（2024?義烏市模擬）已知是等比數(shù)列，若，，則的值為A．9 B． C． D．819．（2024?四川模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則A．2 B． C． D．10．（2024?皇姑區(qū)四模）等差數(shù)列的前項和記為，若，，則A．51 B．102 C．119 D．238二．多選題（共5小題）11．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項和為12．（2024?貴陽模擬）設首項為1的數(shù)列前項和為，已知，則下列結論正確的是A．數(shù)列為等比數(shù)列 B．數(shù)列的前項和 C．數(shù)列的通項公式為 D．數(shù)列為等比數(shù)列13．（2024?山東模擬）已知數(shù)列中，，則A．的前10項和為 B．的前100項和為100 C．的前項和 D．的最小項為14．（2024?河北模擬）已知數(shù)列，，滿足，，當時，，則A． B． C． D．15．（2024?廣東模擬）已知一組數(shù)據(jù)，，，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則A．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)變小 C．方差變大 D．方差變小三．填空題（共5小題）16．（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為．17．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．18．（2024?全國）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則．19．（2024?包頭模擬）已知數(shù)列的前項和，當取最小值時，．20．（2024?淄博一模）已知等比數(shù)列共有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則公比．四．解答題（共5小題）21．（2024?回憶版）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．22．（2024?河南模擬）設任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．23．（2024?朝陽區(qū)二模）設為正整數(shù)，集合，，，，，，，2，，．對于，，，，設集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，寫出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，滿足，令，，，，求證：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求證：，2，，．24．（2024?湖北模擬）設是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，已知與2的等差中項等于與2的等比中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求的前項和．25．（2024?江西模擬）隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有、、等，不同算法密鑰長度也不同，其中的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù)．在密碼學領域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在加密算法中的應用．設，是兩個正整數(shù)，若，的最大公約數(shù)是1，則稱，互素．對于任意正整數(shù)，歐拉函數(shù)是不超過且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．（1）試求（1）（9），（7）的值；（2）設，是兩個不同的素數(shù)，試用，表示，并探究與和的關系；（3）設數(shù)列的通項公式為，求該數(shù)列的前項的和．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之數(shù)列參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?通州區(qū)模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點】充分條件與必要條件；等差數(shù)列的前項和；等差數(shù)列的性質【專題】數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想；簡易邏輯【分析】設等差數(shù)列的公差為，則，，所以再利用充分條件和必要條件的定義判斷．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，則，所以，若，則，即，即，所以，所以，即，所以由“”可以推出“”，若，則，所以，所以，即由“”可以推出“”，故“”是“”的充分必要條件．故選：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的前項和公式，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于中檔題．2．（2024?衡水一模）在等比數(shù)列中，若為一確定的常數(shù)，記數(shù)列的前項積為，則下列各數(shù)為常數(shù)的是A． B． C． D．【答案】【考點】等比數(shù)列的性質【專題】數(shù)學運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想；綜合法【分析】由已知可得為常數(shù)，然后結合等比數(shù)列的性質即可求解．【解答】解：因為等比數(shù)列中，為常數(shù)，則為常數(shù)，又數(shù)列的前項積為，則為常數(shù)．故選：．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列性質的應用，屬于基礎題．3．（2024?鄭州模擬）已知等比數(shù)列的前三項和為56，，則A．4 B．2 C． D．【答案】【考點】等比數(shù)列的性質；等比數(shù)列的通項公式【專題】轉化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉化思想；數(shù)學運算【分析】根據(jù)已知條件，結合等比數(shù)列的性質，即可求解．【解答】解：設等比數(shù)列的公比為，等比數(shù)列的前三項和為56，，則，解得，故．故選：．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的性質，屬于基礎題．4．（2024?包頭一模）已知等差數(shù)列中，，，設，則A．245 B．263 C．281 D．290【答案】【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】數(shù)學運算；轉化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉化法【分析】根據(jù)已知條件，結合等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的前項和公式，即可求解．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，則，故，所以，當時，，故．故選：．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題．5．（2024?許昌模擬）已知等比數(shù)列的公比為，若，且，，成等差數(shù)列，則A． B． C．3 D．【答案】【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】數(shù)學運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉化思想；綜合法【分析】根據(jù)等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列通項公式可構造方程求得結果．【解答】解：，，成等差數(shù)列，，又，，整理可得：，，解得：（舍或．故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．6．（2024?平谷區(qū)模擬）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，，，，，則滿足的數(shù)值A．有且僅有1個值 B．有且僅有2個值 C．有且僅有3個值 D．有無數(shù)多個值【答案】【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】綜合法；方程思想；數(shù)學運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，求得，，運用分類討論思想解不等式可得所求取值．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，可得，，解得，，則，，，即，當為奇數(shù)時，時成立，其余都不成立；當為偶數(shù)時，，不等式左邊小于0，不等式不成立；時，不等式左邊，不等式不成立；時，不等式的左邊，不等式不成立；時，不等式的左邊，不等式不成立；其余的偶數(shù)，也都不成立．故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分類討論思想、運算能力，屬于中檔題．7．（2024?山東一模）將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列，記，則A． B． C． D．【答案】【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列與三角函數(shù)的綜合【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；三角函數(shù)的求值；數(shù)學運算【分析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡方程，并求值，判斷以，重復循環(huán)出現(xiàn)，且，，，計算可得所求和．【解答】解：，即為，即，所以或，，即或，，而，所以，，，，所以，，，，后面的值都是以，重復循環(huán)出現(xiàn)，且，，，所以，故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合，以及三角函數(shù)的化簡和求值、數(shù)列的求和，考查轉化思想和方程思想、運算能力，屬于中檔題．8．（2024?義烏市模擬）已知是等比數(shù)列，若，，則的值為A．9 B． C． D．81【答案】【考點】等比數(shù)列的通項公式【專題】定義法；方程思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算【分析】根據(jù)等比中項的性質即可得到答案．【解答】解：由題得，而，則．故選：．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9．（2024?四川模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則A．2 B． C． D．【答案】【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項性質分析求解．【解答】解：由題意可得，解得，所以．故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．10．（2024?皇姑區(qū)四模）等差數(shù)列的前項和記為，若，，則A．51 B．102 C．119 D．238【答案】【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想【分析】結合等差數(shù)列的性質先求出公差，然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列中，，，即，所以，則．故選：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質及求和公式的應用，屬于基礎題．二．多選題（共5小題）11．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項和為【答案】【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】轉化思想；數(shù)學運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；綜合法【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質求出公差，再逐項求解判斷即可．【解答】解：等差數(shù)列中，，解得，而，因此公差，通項，對于，，錯誤；對于，，正確；對于，，為遞減數(shù)列，正確；對于，，所以的前5項和為，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質應用，考查計算能力，屬于基礎題．12．（2024?貴陽模擬）設首項為1的數(shù)列前項和為，已知，則下列結論正確的是A．數(shù)列為等比數(shù)列 B．數(shù)列的前項和 C．數(shù)列的通項公式為 D．數(shù)列為等比數(shù)列【答案】【考點】等比數(shù)列的性質；數(shù)列遞推式【專題】轉化思想；數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由數(shù)列的遞推式推得，結合等比數(shù)列的定義和通項公式，可判斷；由與的關系，可判斷；由等比數(shù)列的中項性質可判斷．【解答】解：由，，可得，即有，由，可得數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，則，即，故正確；由時，，對不成立，故錯誤；由，，，，故數(shù)列不為等比數(shù)列，故錯誤．故選：．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，以及數(shù)列的項與和的關系，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．13．（2024?山東模擬）已知數(shù)列中，，則A．的前10項和為 B．的前100項和為100 C．的前項和 D．的最小項為【答案】【考點】數(shù)列的求和【專題】綜合法；整體思想；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；數(shù)學運算【分析】．由，利用錯位相減法求解判斷；．由，利用幷項求和判斷；．由，利用裂項相消法求解判斷；．由，利用對勾函數(shù)的性質求解判斷．【解答】解：對于．易知，則，則，兩式相減得，，則，故錯誤；對于．易知，則其前100項和為，故正確；對于．，則，故正確；對于．易知，令，則，當且僅當，即，時，等號成立，而，當時，，當時，，所以的最小項為，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了數(shù)列通項公式的求法，重點考查了錯位相減法及裂項求和法，屬中檔題．14．（2024?河北模擬）已知數(shù)列，，滿足，，當時，，則A． B． C． D．【答案】【考點】數(shù)列遞推式【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】依題意可得，從而得到，則單調遞增，推導出①，再由得到，結合①判斷，當時，，將上式兩邊平方即可得到，利用不等式的性質得到，即可判斷，結合函數(shù)的單調性判斷，利用基本不等式判斷．【解答】解：由，，所以，又，顯然，所以，所以單調遞增，則單調遞減，即，所以①，由，設，即、為關于的方程的兩根，所以，即，則，代入①得，故正確；當時，，所以，所以，所以，，，，所以，則，所以，所以，故正確；因為單調遞增，所以，又因為函數(shù)在上單調遞增，所以，所以，所以，故錯誤；因為，當且僅當時取等號，故正確．故選：．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的單調性，關鍵是以遞推公式推導出的單調性及，再結合不等式的知識判斷，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．15．（2024?廣東模擬）已知一組數(shù)據(jù)，，，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則A．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)變小 C．方差變大 D．方差變小【答案】【考點】等比數(shù)列的性質；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【專題】綜合法；整體思想；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；計算題【分析】由中位數(shù)的概念可判斷，根據(jù)平均數(shù)的概念結合等差數(shù)列的性質判斷，由方差計算公式即可判斷．【解答】解：對于選項，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉后的中位數(shù)為，即中位數(shù)沒變，故選項正確；對于選項，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，即平均數(shù)不變，故選項錯誤；對于選項，則原數(shù)據(jù)的方差為，去掉后的方差為，故，即方差變大，故選項正確，選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為．【答案】．【考點】求等差數(shù)列的前項和【專題】數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想【分析】由已知結合等差數(shù)列的求和公式及性質，基本不等式即可求解．【解答】解：正項等差數(shù)列中，，所以，則，當且僅當時等號成立．故答案為：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，求和公式及基本不等式的應用，屬于基礎題．17．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．【答案】．【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】數(shù)學運算；綜合法；整體思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由已知結合等差數(shù)列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．【解答】解：等差數(shù)列由，知數(shù)列為等差數(shù)列，即，解得．故的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質及求和公式的應用，屬于基礎題．18．（2024?全國）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則．【答案】．【考點】等差數(shù)列前項和的性質【專題】數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；轉化思想【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式即可得．【解答】解：設等差數(shù)列的首項為，公差為，由，，得，即，解得．所以等差數(shù)列的通項公式為，．故答案為：．【點評】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題．19．（2024?包頭模擬）已知數(shù)列的前項和，當取最小值時，3．【答案】3．【考點】數(shù)列的求和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想；綜合法；數(shù)學運算；計算題【分析】利用數(shù)列的遞推式得到，利用基本不等式即可求解．【解答】解：由題意得，當時，，又滿足該式，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以當取最小值時，．故答案為：3．【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式和基本不等式的應用，屬于中檔題．20．（2024?淄博一模）已知等比數(shù)列共有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則公比2．【答案】2．【考點】等比數(shù)列的前項和【專題】定義法；邏輯推理；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想；數(shù)學運算；計算題【分析】根據(jù)題意，利用進行求解即可．【解答】解：即該數(shù)列所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，是等比數(shù)列，且項數(shù)為，，則．故答案為：2．【點評】本題考查等比數(shù)列前項和的性質，考查學生歸納推理與數(shù)學運算的能力，屬于基礎題．四．解答題（共5小題）21．（2024?回憶版）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．【考點】數(shù)列的應用【專題】數(shù)學運算；轉化思想；轉化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出直線方程，再與曲線方程聯(lián)立，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，再結合，都在雙曲線上，以及等比數(shù)列的定義，即可求證；（3）要證：，只需先嘗試，即先證，再結合換元法，以及直線的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，過且斜率為的直線方程為，即，聯(lián)立，解得或，故，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，所以，；（2）證明：，關于軸的對稱點是，，，，，都在同一條斜率為的直線上，；則，，都在雙曲線上，，兩式相減可得，，而①，②，則②①可得，，則，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）證明：要證：，只需先嘗試，即先證，記，，則，，而，，，，，，，．【點評】本題主要考查數(shù)列的應用，考查轉化能力，屬于難題．22．（2024?河南模擬）設任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為1的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】（1）是數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算【分析】（1）由題知，，0，1，2，3，，再根據(jù)數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設是數(shù)列，從而有，再進行驗證，即可證明結果；（3）根據(jù)題設得到，令，從而得到，再利用函數(shù)性質，建立不等關系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是數(shù)列，理由：由題知，即，，0，1，2，3，，所以，，當時，，所以是數(shù)列．（2）證明：假設是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項，，所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時，存在，滿足，取，得，所以，可以驗證：當，2，3，4時，都不成立，故不是數(shù)列．（3）已知是等比數(shù)列，其首項，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，①令，得，且，因為，，所以當時，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1綜上，或．【點評】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．23．（2024?朝陽區(qū)二模）設為正整數(shù)，集合，，，，，，，2，，．對于，，，，設集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，寫出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，滿足，令，，，，求證：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求證：，2，，．【答案】（1），3，，，5，8，；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【考點】數(shù)列的應用；數(shù)列與不等式的綜合【專題】分類討論；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】（1）由題意，即可直接寫出，；（2）由可得結合可得，，2，，，即可證明；（3）若且則，，2，，，進而，由（2）可知，分類討論，時與的大小關系，即可證明．【解答】解：（1）由題，3，，，5，8，；（2）證明：，，，2，，，當時，，，即，，2，，，又（a），，，2，，，，，2，，，；（3）證明：對任意，令，，，，若且，則，，2，，，，，2，，，，，，2，，，，，2，，，，對，，2，，，，由（2）可知，令，則，若，則，，若，，，即（a），又，，綜上，，即，2，，．【點評】本題考查了數(shù)列的應用，屬于難題．24．（2024?湖北模擬）設是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，已知與2的等差中項等于與2的等比中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求的前項和．【答案】（1）；（2）．【考點】裂項相消法【專題】數(shù)學運算；轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項性質，結合與的關系，等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（2）化簡，再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和．【解答】解：（1）由與2的等差中項等于與2的等比中項，可得，即為，時，，解得，時，由，可得，兩式相減可得為，化為，即為，由，可得，即有數(shù)列是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，則；（2），則的前項和為．【點評】本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式和等比數(shù)列的中項性質，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．25．（2024?江西模擬）隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有、、等，不同算法密鑰長度也不同，其中的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù)．在密碼學領域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在加密算法中的應用．設，是兩個正整數(shù)，若，的最大公約數(shù)是1，則稱，互素．對于任意正整數(shù)，歐拉函數(shù)是不超過且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．（1）試求（1）（9），（7）的值；（2）設，是兩個不同的素數(shù)，試用，表示，并探究與和的關系；（3）設數(shù)列的通項公式為，求該數(shù)列的前項的和．【答案】（1）（1）（9），（7）；（2），；（3）．【考點】錯位相減法【專題】數(shù)學運算；綜合法；整體思想；邏輯推理；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法【分析】（1）由歐拉函數(shù)的定義，求（1）（9）和（7）的值；（2）由素數(shù)的性質和歐拉函數(shù)的定義，求，探究與和的關系；（3）求數(shù)列的通項，錯位相減法求．【解答】解：（1）易得（1），不超過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則（9），不超過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則（7），不超過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，所以（1）（9），（7）．（2）在不大于的正整數(shù)中，只有的倍數(shù)不與互素，而的倍數(shù)有個，因此．由，是兩個不同的素數(shù)，得，，在不超過的正整數(shù)中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，于是，所以．（3）根據(jù)（2）得，所以，，兩式相減，得，所以，故．【點評】本題以新定義為載體，主要考查了數(shù)列項的求解，還考查了錯位相減求和，屬于中檔題．

考點卡片1．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．2．等差數(shù)列的性質【知識點的認識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數(shù)列{an}的通項公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項．這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數(shù)列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．3．等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】eg1：設等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結合等比數(shù)列的相關知識考察，特別是錯位相減法的運用．4．求等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入前n項和公式，計算數(shù)列的前n項和．﹣推導公式：根據(jù)實際問題推導出數(shù)列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和公式計算具體項，推導數(shù)列和公式，解決實際問題．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+?2＝n2﹣2n，故答案為：n2﹣2n．5．等差數(shù)列前n項和的性質【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】等差數(shù)列的前n項和具有許多重要性質，如遞增性、遞減性、與通項公式的關系等．﹣性質分析：分析等差數(shù)列的前n項和的性質，如遞增性、遞減性等．﹣公式推導：根據(jù)等差數(shù)列的定義和前n項和公式，推導出數(shù)列的性質．﹣綜合應用：將前n項和的性質與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和的性質分析數(shù)列的遞增性、遞減性，結合具體數(shù)列進行分析．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，則Sn的最小值為_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差數(shù)列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴當n＝4時，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案為：﹣16．6．等比數(shù)列的性質【知識點的認識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．7．等比數(shù)列的通項公式【知識點的認識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．8．等比數(shù)列的前n項和【知識點的認識】1．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝．2．等比數(shù)列前n項和的性質公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．9．數(shù)列的應用【知識點的認識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結合．10．數(shù)列的求和【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．11．錯位相減法【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．【解題方法點撥】﹣錯位相減：將數(shù)列{an×bn}的項乘以等比數(shù)列的公比q，再與數(shù)列{an×bn}的項進行相減，得到簡化的公式．﹣化簡公式：通過錯位相減法化簡求和公式，特別是等差和等比數(shù)列的求和．【命題方向】常見題型包括利用錯位相減法計算等差或等比數(shù)列的前n項和，結合具體數(shù)列進行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．解：設Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n?2n+1＝＝2n+1﹣2﹣n?2n+1＝（1﹣n）?2n+1﹣2，∴．12．裂項相消法【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．【解題方法點撥】裂項相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項裂解成兩個或多個部分進行相消來簡化計算．【命題方向】常見題型包括利用裂項相消法計算等差或等比數(shù)列的前n項和，結合具體數(shù)列進行分析．求和：+++…+．解：因為＝，所以原式＝．故答案為：1﹣．13．數(shù)列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明．14．數(shù)列與不等式的綜合【知識點的認識】證明與數(shù)列求和有關的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項放縮后求和；（3）先將通項放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解題方法點撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項，如：＞|a|；＞n；（2）將分子或分母放大（或縮?。?；（3）利用基本不等式；＜；（4）二項式放縮；（5）利用常用結論；（6）利用函數(shù)單調性．（7）常見模型：①等差模型；②等比模型；③錯位相減模型；④裂項相消模型；⑤二項式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足＝n+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求證：對于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，當n≥2時，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不適合上式．綜上得；（Ⅱ）證明：當n≥2時，．∴＝．∴當n≥2時，．題型二：裂項相消模型典例2：數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：．分析：（1）根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得答案．（2）由（1）知，因為，所以，從而得證．解答：（1）由已知：對于n∈N*，總有2Sn＝an+①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝an+﹣an﹣1﹣，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n＝1時，2S1＝a1+，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時候只對數(shù)列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）．（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當?shù)默F(xiàn)象．所以對放縮法，只需要了解，不宜深入．15．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點的認識】1、等差數(shù)列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和