【八年級上冊數(shù)學(xué)滬教版】專題14 垂直平分線、角平分線及軌跡（知識精講+綜合訓(xùn)練）（解析版）

第第頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)平分，可得出的度數(shù)，由三角形的內(nèi)角和求出；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，等邊對等角，得到的度數(shù)后即可求出．【詳解】解：∵平分，，∴，，∵在中，，∴，∵點E在的垂直平分線上，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，熟練地掌握垂直平分線上的點到兩邊的距離相等，三角形的內(nèi)角和是以及角平分線的定義（從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線）是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】過D分別作于M，于N，由角平分線可得，再由面積推導(dǎo)即可．【詳解】過D分別作于M，于N，∵是的角平分線，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，利用角平分線上點到角兩邊距離相等作輔助線是解本題的關(guān)鍵．3．C【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，再由三角形內(nèi)角和定理得，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵分別垂直平分和，∴，∴，∵，，∵，∴，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)逆命題的概念進行改寫，然后再判斷逆命題是否正確．【詳解】①全等三角形的對應(yīng)角相等，逆命題為：對應(yīng)角相等，兩個三角形全等，逆命題是假命題．②線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，逆命題為：到線段兩端的距離相等的點在線段垂直平分線上，逆命題是真命題．③等腰三角形的兩個底角相等，逆命題為：兩個底腳相等的三角形是等腰三角形，逆命題是真命題．故選：C．【點睛】此題考查了逆命題的概念，解題的關(guān)鍵熟悉逆命題并會判斷是否是真假命題．5．B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，從而根據(jù)的周長是14，可得，然后根據(jù)的周長是22，可得，最后進行計算即可解答．【詳解】解：是的垂直平分線，，的周長是14cm，（cm），（cm），（cm），的周長是22cm，22（cm），（cm），（cm），故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】由等腰三角形的三線合一可得出垂直平分，過點B作于點Q，交于點P，則此時的取最小值，最小值為的長度，在中，利用面積法可求出的長．【詳解】解：過點B作于點Q，交于點P，如圖所示：，是的平分線，，垂直平分，，要使取最小值，則當(dāng)時，為最小值，，又，，，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)以及等面積法，利用點到直線，垂線段最短找出的最小值為是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】作于點F，于點G，先證明，得，再證明得，則點A在的平分線上，所以，再由得，即可推導(dǎo)出．【詳解】解：如圖，作于點F，于點G，則，，，在和中，，，在和中，，，∴點A在的平分線上，，，，∴的度數(shù)為故選：D．【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】證明得出，進而判斷（1）；證明得出，可得是等邊三角形，即可判斷（2）；根據(jù)，和邊上的高相等，即點到和的距離相等，即可判斷（3）；在上截取，連接，證明，得出是等邊三角形，證明，進而即可判斷（4）．【詳解】∵、為等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故（1）正確，在與中，，∴，∴，又∴是等邊三角形，故（2）正確；∵，∴和邊上的高相等，即點到和的距離相等，∴平分，所以（3）正確；如圖，在上截取，連接，∵，∴，∵，平分，∴，在與中，，∴，∴，∵，平分，∴，∴是等邊三角形，∴,，∵，∴，∴，在與中，，∴∴，∴，即，故（4）正確，故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：由作圖痕跡知，垂直平分，，，又，，，，四邊形ADBC的面積為，故選項A，B，C中的結(jié)論正確；D中的結(jié)論錯誤．故選D．【點睛】本題考查垂直平分線的作圖方法和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖痕跡得出垂直平分．10．C【分析】過作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】解：過作于，是邊上的高線，平分，，，的面積為．故選C．【點睛】考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．11．##度【分析】根據(jù)是等腰三角形，是邊上的中線，得到，連接，得到當(dāng)、、在同一直線上，且時，取最小值，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖．，是邊上的中線，垂直平分線段，，當(dāng)、、在同一直線上，且時，取最小值．，，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短等知識，熟練掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．3【分析】連接，證明，得到，進而推出的最小值為長度，再根據(jù)三角形面積求出長，即可得到的最小值．【詳解】解：連接，，是等腰三角形，是的中線，，，，三點共線時，有最小值，最小值為長度，，，，，，的最小值為3，故答案為：3．【點睛】本題考查了對稱軸—最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，可得在的垂直平分線上，進而可以判斷正確；在上截取，連接，證≌，推出，，求出，即可判斷；然后判斷、、都是等腰三角形，進而可得正確．【詳解】解：在中，，，，平分，，，，在的垂直平分線上，故正確；如圖，在上截取，連接，在和中，≌，，，，，，，故正確；，，，，故錯誤；，，，、、都是等腰三角形，故正確；正確結(jié)論的序號是．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．##20度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：，，，分別是，邊的垂直平分線，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)等，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．##85度【分析】由作圖痕跡可知，是線段的中垂線，是的角平分線，根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及角平分線平分角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和是，進行求解即可．【詳解】解：由題意知：是線段的中垂線，是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，含角平分線的三角形的內(nèi)角和問題，以及外角的性質(zhì)．熟練掌握中垂線和角平分線的作圖，根據(jù)痕跡判斷出是中垂線和是角平分線，是解決本題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)題中尺規(guī)作圖可知是線段的中垂線，從而，則的周長為即可得到答案．【詳解】解：在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，作直線，交于點，交于點，連接，是線段的中垂線，，，，，的周長為．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-中垂線及三角形的周長，熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖方法和中垂線性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．17．##20度【分析】連接，設(shè)的平分線與交于點E，求出，，根據(jù)垂直平分，得到，即，進一步可得，利用垂直平分，得到，由折疊的性質(zhì)可知：，所以，進一步可得．【詳解】解：連接，設(shè)的平分線與交于點E，如圖∵，，∴，∵平分，∴，∵垂直平分，∴，即，∴，∵，平分，由三線合一的性質(zhì)可得：垂直平分，∴，即，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∴，故答案為：【點睛】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用．18．160°##160度【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，，再由，，求解即可．【詳解】連接，∵是線段的垂直平分線，是線段的垂直平分線，∴∴，∴，∵∴故答案為：．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)，利用垂直平分線得到等腰三角形是解題的關(guān)鍵．19．(1)10cm(2)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，然后求的周長；（2）結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推出，，同理，則．【詳解】（1）解：∵M、N分別是點P關(guān)于的對稱點，∴，又∵的周長為10cm，即cm，∴cm，即．（2）解：如圖：連接，∵垂直平分，∴，∴，同理，，∵，∴．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)(3)16【分析】（1）過A作于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過D作于E，于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出和的面積，即可求出答案．【詳解】（1））過A作于E，∵點D是邊上的中點，∴，∴故答案為：；（2）過D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，∵，，∴；（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴，故答案為：16．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．21．(1)見詳解(2)的面積為5【分析】（1）連接、，由題意易得，則有，，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和及角的和差關(guān)系可求證；（2）作，使，點M在直線上，過點D作于點N，則，先根據(jù)得到和，再結(jié)合（1）的結(jié)論證明，進一步證明以及，最后根據(jù)“”證明，然后問題可求解．【詳解】（1）證明：連接、，如圖所示：∵點為與邊垂直平分線的交點，∴，∴，，，在中，，∴，即，∴，∵，∴；（2）解：作，使，點M在直線上，過點D作于點N，則，如圖所示：∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段