2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型11 綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）（學(xué)生版）

題型十一綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】命題內(nèi)容及趨勢(shì)：

(1)從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的函數(shù)類題型：

(2)以直角坐標(biāo)系為載體的幾何類題型：(3)以“幾何變換”為主體的幾何類題型：

(4)以“存在型探索性問題”為主體的綜合探究題：

(5)以“動(dòng)點(diǎn)問題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問題及建義：

(1)在復(fù)習(xí)中要更多關(guān)注“幾何變換”，強(qiáng)化對(duì)圖形變換的理解。

加強(qiáng)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱多種變換的研究，對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層拔高，使每一個(gè)學(xué)生都有較大的提升空間。

(2)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，經(jīng)歷問題解決的整個(gè)過程。

復(fù)習(xí)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”來分析圖形，要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀、審題、獲取信息，養(yǎng)成多角度、多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。(3)要特別重視“函數(shù)圖像變換型”問題教學(xué)的研究。

通過開展“函數(shù)圖像變化”的專題教學(xué)，樹立函數(shù)圖像間相互轉(zhuǎn)換的思維，盡量減少學(xué)生對(duì)函數(shù)“數(shù)形”認(rèn)知的欠缺，比如，平時(shí)滲透拋物線的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)某個(gè)函數(shù)圖像經(jīng)過變換出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)圖像時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點(diǎn)，排除識(shí)圖的干擾，對(duì)圖像所蘊(yùn)含的信息進(jìn)行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進(jìn)行到底。此類試題考查的思路是從知識(shí)轉(zhuǎn)向能力，從傳統(tǒng)應(yīng)用轉(zhuǎn)向信息構(gòu)建，這就提醒我們課堂上重要的不是講解，而是點(diǎn)撥、引導(dǎo)、提升，一定要從重視知識(shí)積累轉(zhuǎn)向問題探究的過程，關(guān)注學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)。

(4)突出數(shù)學(xué)核心概念、思想、方法的考查。

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，也勢(shì)必會(huì)成為考查綜合應(yīng)用能力的重要載體，這包括方程、不等式、函數(shù)，以及基本幾何圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)知識(shí)之間橫縱向的聯(lián)系，也包括中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要數(shù)學(xué)思想。如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想很化歸與轉(zhuǎn)換思想。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的具體表現(xiàn)，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、歸納法和割補(bǔ)法。

1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長．2.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點(diǎn)H是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)K是線段PF上一點(diǎn)，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時(shí)，請(qǐng)直接寫出PQBC的值．

3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

4.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH=CH，求AE的長．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點(diǎn)P，求PC的長．

5．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）6.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．

(1)如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長線過點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長；

(2)如圖2，EF的延長線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；

(3)如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫出線段B'G7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

8.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為______；

(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為______；

【類比探究】

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長線于點(diǎn)G，交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：DE?AB=CF?AD；

【拓展延伸】

(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．

①求DECF的值；

②連接9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長．深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10.（2021·山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．12.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長．13．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時(shí)，的值；②若點(diǎn)到的距離為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．14.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接交射線于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，猜測(cè)線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，①線段