2024年中考數學二輪題型突破題型11 綜合探究題（復習講義）（學生版）

題型十一綜合探究題（復習講義）【考點總結|典例分析】命題內容及趨勢：

(1)從數量角度反映變化規(guī)律的函數類題型：

(2)以直角坐標系為載體的幾何類題型：(3)以“幾何變換”為主體的幾何類題型：

(4)以“存在型探索性問題”為主體的綜合探究題：

(5)以“動點問題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問題及建義：

(1)在復習中要更多關注“幾何變換”，強化對圖形變換的理解。

加強對圖形的旋轉、平移、對稱多種變換的研究，對不同層次的學生進行分層拔高，使每一個學生都有較大的提升空間。

(2)讓學生參與數學思維活動，經歷問題解決的整個過程。

復習中應多引導學生運用“運動的觀點”來分析圖形，要多引導學生學會閱讀、審題、獲取信息，養(yǎng)成多角度、多側面分析問題的習慣，逐步提高學生的數學能力。(3)要特別重視“函數圖像變換型”問題教學的研究。

通過開展“函數圖像變化”的專題教學，樹立函數圖像間相互轉換的思維，盡量減少學生對函數“數形”認知的欠缺，比如，平時滲透拋物線的軸對稱、旋轉等知識點。當某個函數圖像經過變換出現多個函數圖像時，要引導學生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點，排除識圖的干擾，對圖像所蘊含的信息進行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進行到底。此類試題考查的思路是從知識轉向能力，從傳統(tǒng)應用轉向信息構建，這就提醒我們課堂上重要的不是講解，而是點撥、引導、提升，一定要從重視知識積累轉向問題探究的過程，關注學生自主探究能力的培養(yǎng)。

(4)突出數學核心概念、思想、方法的考查。

中學數學核心概念、思想方法是數學知識的精髓，也勢必會成為考查綜合應用能力的重要載體，這包括方程、不等式、函數，以及基本幾何圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標知識之間橫縱向的聯(lián)系，也包括中學數學中常用的重要數學思想。如：函數與方程思想、數形結合、分類討論思想很化歸與轉換思想。而數學基本方法是數學的具體表現，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數法、歸納法和割補法。

1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉得點．①如圖2，當點落在射線上時，求的長．②當是直角三角形時，求的長．2.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN.在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數量關系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內得到△QHK，連接PQ.在點D，E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出PQBC的值．

3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

4.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH=CH，求AE的長．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

5．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當的三個內角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）6.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點，E，F分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉90°得到線段EG，連接FG，AG．

(1)如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；

(2)如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；

(3)如圖3，F為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內，得到△B'EH，連接B'G，直接寫出線段B'G7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數量關系，并說明理由．

8.(2021·四川省達州市)某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為______；

(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為______；

【類比探究】

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：DE?AB=CF?AD；

【拓展延伸】

(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．

①求DECF的值；

②連接9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．初步嘗試：（1）與的數量關系是_________，與的位置關系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，當點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數；（2）求的長．深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉，得到，連接，．當旋轉角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數量關系，并說明理由．10.（2021·山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應點為，連接并延長交于點，請判斷與的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．12.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉可以得到的弦（分別是的對應點），則稱線段是的以點為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，點的橫?縱坐標都是整數．在線段中，的以點為中心的“關聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應的長．13．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉到的平分線所在直線交折線于點，設點在該折線上運動的路徑長為，連接．

(1)若點在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數，并直接寫出當時，的值；②若點到的距離為，求的值；(3)當時，請直接寫出點到直線的距離．（用含的式子表示）．14.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應點為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點，使得．若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．15．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當點在線段上時，猜測線段與的數量關系并說明理由；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，①線段