2024-2025學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市中國(guó)人民大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，共40分。1.空間直角坐標(biāo)系中，A(1,?2,3)，B(3,0,?1)，則AB=(

)A.(?2,?2,4) B.(4,?2,2) C.(2,2,?4) D.(?4,2,?2)2.已知直線(xiàn)m，n，l，平面α，β，下列正確的是(

)A.若l∩α=P，n?α，則l與n異面

B.若m//n，n?α，則m//α

C.若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α

D.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n3.在四面體P?ABC中，點(diǎn)Q是AB靠近B的三等分點(diǎn)，記PA=a，PB=b，PC=cA.c?23a+13b

4.若圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積時(shí)，圓錐軸截面頂角的度數(shù)為(

)A.π3 B.π2 C.π 5.已知直線(xiàn)m，n，平面α，m/?/n，m?α，那么“n/?/α”是“m/?/α”的(

)A.充分必要條件 B.必要不充分條件

C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在空間直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的方向向量m=(1,0,2)，點(diǎn)A(0,1,0)在直線(xiàn)l上，點(diǎn)B(?1,2,3)到直線(xiàn)的距離是(

)A.5 B.6 C.77.一個(gè)正棱錐，其側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的710，這個(gè)正棱錐可能是(

)A.正三棱錐 B.正四棱錐 C.正五棱錐 D.正六棱錐8.正三棱錐P?ABC中，∠APB=π6，PA=2，Q為棱PA的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在棱PB，PC上，三角形QMN周長(zhǎng)的最小值為(

)A.2 B.3 C.39.歇山頂是中國(guó)古代建筑傳統(tǒng)屋頂之一，它有一條正脊、四條垂脊和四條戧脊，將歇山頂近似看成圖中的多面體，其上部為直三棱柱ABC?A1B1C1，AB=AC=22，BC=4，AA1=18，四邊形EFF1E1為矩形，平面EFF1E1//平面BCC1B1A.4 B.17 C.3210.如圖，正四面體A?BCD的棱長(zhǎng)2，過(guò)棱AB上任意一點(diǎn)P做與AD，BC都平行的截面，將正四面體分成上下兩部分，記AP=x(0<x<2)，截面上方部分的體積為V(x)，則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為(

)A.B.

C.D.二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知A(0,2,3)，B(1,4,6)，C(2,2,5)，D(0,m,n)，AB//CD，則m+n=______．12.已知平面α，β，直線(xiàn)n，給出三個(gè)語(yǔ)句：①α⊥β，②n⊥α，③n//β.從這三個(gè)語(yǔ)句中選取兩個(gè)做條件，剩下一個(gè)做結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，該命題是：若______，則______.(只需填寫(xiě)序號(hào))13.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PA=AB=2，∠DAB=60°，PA⊥平面ABCD，Q點(diǎn)在四棱錐P?ABCD表面上，且DQ⊥AC，則PC與底面ABCD的夾角為_(kāi)_____；Q點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是______．

14.如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)，正方形EFGH中心與正方體中心重合，從前面觀察如圖2所示，若棱長(zhǎng)15.如圖，O是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，PO⊥平面ABCD于O，AB=2，PO=1，PA=PD，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四棱錐P?ABCD的體積是定值；

②設(shè)平面PAD與平面PBC交于l，則l//BC；

③四棱錐P?ABCD的表面積既有最小值又有最大值；

④存在點(diǎn)O，使得四棱錐P?ABCD的四個(gè)側(cè)面兩兩垂直．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題：共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.已知空間四點(diǎn)A(0,2,3)，B(1,4,6)，C(1,2,5)，D(0,m,n)，AC⊥BD．

(Ⅰ)求|AB?AC|和n的值；

(Ⅱ)若點(diǎn)D在平面17.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB/?/CD，CD⊥AD，其中AD=CD=2，DD1=4，AB=1，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)AE//平面18.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，PD=AB=AC=2PA．

(Ⅰ)若AD=DC，求證：平面PAD⊥平面PCD；

(Ⅱ)若AD=DC，PB中點(diǎn)為E，試問(wèn)在棱CD上是否存在點(diǎn)Q，使PQ⊥AE，若存在，指出點(diǎn)Q位置，若不存在說(shuō)明理由；

(Ⅲ)若PA=2，PD與平面PBC成角大小30°，求DC19.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AAA.π6

B.π4

C.π3

20.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，其中P，Q，R分別是棱C1D1，AA.3

B.32

C.

21.如圖1，在矩形ABCD中，AD=3，點(diǎn)E在AB邊上，CE⊥DE且AE=1.如圖2，將△ADE沿直線(xiàn)DE向上折起至A1位置，連結(jié)A1C.記二面角A?DE?A1的大小為θ，當(dāng)θ∈(0,π)A.存在某個(gè)位置，使DA1⊥CE

B.存在某個(gè)位置，使平面A1DE⊥平面A1EC

C.存在某個(gè)位置，直線(xiàn)BE與平面A1DE所成角為60°22.光導(dǎo)纖維作為光的傳輸工具，在現(xiàn)代通訊中有著及其重要的作用，光纖由內(nèi)部纖芯和外部包層組成(如圖1)，在一定的條件下，光在纖芯中傳輸，傳輸原理是“光的全反射”，即“入射角α等于反射角β”(如圖2)，在圖3中近似地展示了一束光線(xiàn)在一段較長(zhǎng)的圓柱形光纖中的傳輸路徑，其中圓面O1，O2，O3是與光纖軸垂直的纖芯截面，若A1A2與圓O2所在平面成角的大小為A. B. C. D.23.直二面角P?AB?Q，PA=PB=2，AB=2，AQ=3，BQ=1，則PQ=______；三棱錐24.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為22，P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(25.如圖，某一個(gè)自行車(chē)停放時(shí)，車(chē)體由尺寸相同的前后輪和腳撐來(lái)支撐，前后輪的軸中心分別為M，N，與地面接觸點(diǎn)分別為A，B，腳撐一端固定在后輪軸中心N處，另一端與地面接觸于點(diǎn)C，若A，B兩點(diǎn)間距離為110厘米，車(chē)輪外徑(直徑)為66厘米，腳撐長(zhǎng)度等于車(chē)輪半徑，∠ABC=5π12,∠BAC=π12，NB⊥AB，則后車(chē)輪所在平面與地面的夾角(即二面角N?AB?C)26.將半徑為1的半圓弧n(n≥2,n∈N?)等分，從半徑的一個(gè)端點(diǎn)M出發(fā)依次連接各個(gè)分點(diǎn)至半徑的另一個(gè)端點(diǎn)N，得到折線(xiàn)MA1A2?An?1N，將折線(xiàn)繞半徑MN所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)體(n=5時(shí)，如圖所示)，設(shè)所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為Sn，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①S2=22π27.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)25，E，F(xiàn)分別為D1C1，BC中點(diǎn)，M從D開(kāi)始沿射線(xiàn)DF運(yùn)動(dòng)，做B1N⊥平面A1ME，垂足為N，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①平面A1ME與平面ABCD夾角先增大后減??；

②B1N

28.蜜蜂分泌蜂蠟筑巢，蜂巢由許多中空的柱狀體連接而成，其中柱狀體的一端為正六邊形開(kāi)口，另一端由三個(gè)全等的菱形拼成類(lèi)似錐形的底部(如圖1)，蜜蜂這樣筑巢能夠使得蜂巢空間不變的條件下，所用蜂蠟最少，為了揭開(kāi)蜜蜂筑巢的數(shù)學(xué)秘密，研學(xué)小組利用正六棱柱去研究中空的柱狀體.設(shè)正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1底面邊長(zhǎng)為4，底面中心分別為O，O1(如圖2)，現(xiàn)將O1O延長(zhǎng)至P，平面PFB，PBD，PDF分別與棱AA1，CC1，EE1交于M，N，T，得到中空的柱狀體(如圖3)．

參考答案1.C

2.D

3.D

4.D

5.C

6.B

7.A

8.A

9.D

10.D

11.?3

12.②③

①

13.30°

2+214.515.①②

16.解：(Ⅰ)BC=(0,?2,?1)，

∴|AB?AC|=|BC|=5，

AC=(1,0,2)，BD=(?1,m?4,n?6)，且AC⊥BD，

∴AC?BD=?1+2(n?6)=0，解得n=132；

(Ⅱ)AB=(1,2,3),AC=(1,0,2)17.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，

所以DA，DD1，DC兩兩互相垂直，

則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DD1，DC所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳D=CD=2，DD1=4，AB=1，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,0,1)，C(0,0,2)，A1(2,4,0)，B1(2,4,1)，E(1,0,32)，F(xiàn)(2,2,0)，

所以AE=(?1,0,32)，CB1=(2,4,?1)，B1F=(0,?2,?1)，

設(shè)平面CB1F的法向量為m=(x,y,z)，

則m?CB1=2x+4y?z=0m?B1F=?2y?z=0，令y=1，得z=?2，x=?3，所以m=(?3,1,?2)，

因?yàn)锳E?m=?1×(?3)+0×1+318.(Ⅰ)證明：設(shè)PD=AB=AC=2PA=2a，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DC、AD?平面ABCD，所以PA⊥DC，PA⊥AD，

所以AD=PD2?PA2=2a=DC，

而AC=2a，所以AD2+DC2=AC2，即AD⊥DC，

又PA∩AD=A，PA、AD?平面PAD，

所以DC⊥平面PAD，

因?yàn)镈C?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．

(Ⅱ)解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB⊥AC，

所以AB，AC，AP兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,2a)，B(2a,0,0)，C(0,2a,0)，E(a,0,22a)，D(?a,a,0)，

所以AE=(a,0,22a)，DC=(a,a,0)，PD=(?a,a,?2a)，

設(shè)DQ=λDC=(λa,λa,0)，其中λ∈[0,1]，

則PQ=PD+DQ=(?a,a,?2a)+(λa,λa,0)=(λa?a,λa+a,?2a)，

因?yàn)镻Q⊥AE，

所以PQ