長沙市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

長沙市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．2．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．36 B．72 C． D．3．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．4．點(diǎn)在曲線上，過作軸垂線，設(shè)與曲線交于點(diǎn)，，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．6．的展開式中有理項(xiàng)有（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)7．設(shè)雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．8．已知集合，，則()A． B． C． D．9．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．10．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．11．若集合，則=（）A． B． C． D．12．已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則滿足的正整數(shù)的值為______.14．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為_____．15．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______；系數(shù)最大的項(xiàng)是______.16．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則輸入的實(shí)數(shù)的值為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和.18．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.19．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.20．（12分）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明:.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.22．（10分）已知函數(shù)u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且滿足1e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求x1?x2的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對(duì)角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.3、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.4、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由二項(xiàng)展開式定理求出通項(xiàng)，求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】，，當(dāng)，，，時(shí)，為有理項(xiàng)，共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式項(xiàng)的特征，熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進(jìn)而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.8、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.9、B【解析】

設(shè)，代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到的等式，求出離心率．【詳解】，設(shè)，則，兩式相減得，∴，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題方法是點(diǎn)差法，即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．10、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時(shí)與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)與拋物線相切，易知此時(shí)直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】

已知，利用，求出通項(xiàng)，然后即可求解【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，∴.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問題，屬于基礎(chǔ)題14、1【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學(xué)生的人數(shù)為6001．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡單題.15、【解析】

求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng)；求出項(xiàng)的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：程序的功能是計(jì)算，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)無解.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，得出是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項(xiàng)；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得，以及其前n項(xiàng)和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..19、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào)，證得，通過證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）證明：函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調(diào)，所以存在，使得在上有一個(gè)零點(diǎn)，即，所以，且，即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調(diào)遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.20、（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個(gè)極值點(diǎn)，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，綜上因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以不妨設(shè)，得，因?yàn)樵谶f減，且，所以又所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.21、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求出，分別以當(dāng)，，時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出；同理可求出滿足，從而可得，進(jìn)而證明.【詳解】解析：（1），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，由得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴在處取得最小值，若，則，此時(shí)沒有零點(diǎn)；若，則，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；若，則，，求導(dǎo)易得，此時(shí)在，上各有1個(gè)零點(diǎn).綜上可得時(shí)，沒有零點(diǎn)，或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（2）令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問不等式的證明中，合理設(shè)出函數(shù)，通過比較最值證明.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡函數(shù)h（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出（2）函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數(shù)m化簡整理可得ln（x1x2）＝ln?，設(shè)t，構(gòu)造函數(shù)g（t）＝（）lnt，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值．【詳解】（1）令m＝2，函數(shù)h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)不等正根，∴l(xiāng)nx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴l(xiāng)n（x1x2）＝ln?，設(shè)t，∵1e