北京市第十九中2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

北京市第十九中2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.2.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或3.已知數(shù)列中,,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.5.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差.以上說(shuō)法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④6.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.7.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,8.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.9.是恒成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.如圖,在中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.12.要排出高三某班一天中,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上任一點(diǎn),且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.14.二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.15.三個(gè)小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.16.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?若在購(gòu)物體驗(yàn)滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券.若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.18.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,求出這個(gè)最大值,如果沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)(異于),交曲線于點(diǎn),求的最小值.20.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于點(diǎn),曲線與曲線交于點(diǎn),求的面積.21.(12分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,總有成立.22.(10分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個(gè)極值點(diǎn),且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實(shí)數(shù)和a的值(3)證明

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時(shí),,∴,∴.②當(dāng)時(shí),,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.3、B【解析】

先根據(jù)題意,對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對(duì)于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.4、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.5、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤;,,則,故②錯(cuò)誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).6、C【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時(shí)有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然當(dāng)時(shí)有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí),∴,,,…,均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴,,∴對(duì)應(yīng)極值,,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題7、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.9、A【解析】

設(shè)成立;反之,滿足,但,故選A.10、B【解析】

變形為,由得,轉(zhuǎn)化在中,利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解:依題:,又三點(diǎn)共線,,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程:三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)11、C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.12、C【解析】

根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線方程,設(shè)及,將代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)可得,由題意的最小值為,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn),即可求得的值,進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),,則,即,∵,,,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用,由平面向量數(shù)量積的最值求離心率,屬于中檔題.14、【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出,由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),從而得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意,.展開式通項(xiàng)為,由得,∴常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵.15、【解析】

基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式,進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當(dāng)函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);.【解析】

由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有個(gè),其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè),進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共個(gè).其中僅有1人是女顧客的基本事件有:,,,,,,,,共個(gè).所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)案例、卡方分布、概率等基本知識(shí),考查概率統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】

(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計(jì)算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因?yàn)?,所?(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因?yàn)?,所以,所以?dāng)即時(shí),取到最大值2,所以的周長(zhǎng)有最大值,最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:(2)【解析】

(1)消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù),求得和的普通方程.(2)設(shè)出過(guò)原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程,代入曲線的極坐標(biāo)方程,求得的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法,求得的最小值.【詳解】(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:.(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為;由得,所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中,.由得曲線的極坐標(biāo)方程為,所以而到直線與曲線的交點(diǎn)的距離為,因此,即的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)系下距離的有關(guān)計(jì)算,屬于中檔題.20、(1).(2)【解析】

(1)根據(jù)題意代入公式化簡(jiǎn)即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過(guò)極坐標(biāo)的幾何意義求解,再求點(diǎn)到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1)曲線,即.∴.曲線的極坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為,即,∴直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),,∴,解得.又,∴(舍去).∴.點(diǎn)到直線的距離為,∴的面積為.【點(diǎn)睛】此題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo),直角坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化,注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),屬于較易題目.21、(1)(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得在上恒成立,參變分離得在上恒成立.設(shè),求出即可得到參數(shù)的取值范圍;(2)不妨設(shè),,,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)在上是減函數(shù),即可得證;【詳解】解:(1)∵∴,且函數(shù)在上為減函數(shù),即在上恒成立,∴在上恒成立.設(shè),∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)不妨設(shè),,,則,∴.∵,∴,又,令,∴,∴在上為減函數(shù),∴

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