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文檔簡介
2025屆上海交大南洋中學高三第五次模擬考試數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知,如圖是求的近似值的一個程序框圖,則圖中空白框中應填入A. B.C. D.4.復數(shù)的共軛復數(shù)為()A. B. C. D.5.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.6.點在所在的平面內,,,,,且,則()A. B. C. D.7.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.8.已知三棱錐的體積為2,是邊長為2的等邊三角形,且三棱錐的外接球的球心恰好是中點,則球的表面積為()A. B. C. D.9.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.10.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.11.下列函數(shù)中,圖象關于軸對稱的為()A. B.,C. D.12.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知i為虛數(shù)單位,復數(shù),則=_______.14.若,則__________.15.若實數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標函數(shù)16.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)點在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)中國古代數(shù)學經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點D),交PC于N(異于點C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結論);若不是,請說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù)(1)當時,若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在中,內角所對的邊分別為,已知,且.(I)求角的大小;(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.22.(10分)(江蘇省徐州市高三第一次質量檢測數(shù)學試題)在平面直角坐標系中,已知平行于軸的動直線交拋物線:于點,點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線,,軸都相切,設的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若直線與曲線相切于點,過且垂直于的直線為,直線,分別與軸相交于點,.當線段的長度最小時,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用復數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算,屬于基礎題.2、D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項公式,然后根據(jù)的單調性以及得到滿足的不等關系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因為,數(shù)列是單調遞增數(shù)列,所以,則,化簡得,所以.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調性,可根據(jù)之間的大小關系分析問題.3、C【解析】
由于中正項與負項交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應填入,故選C.4、D【解析】
直接相乘,得,由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選:D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.5、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C,當時,可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項A,C,當正數(shù)越來越小,趨近于0時,,所以函數(shù),故排除選項B,故選:D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.6、D【解析】
確定點為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯(lián)立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:【點睛】本題考查了向量模長的計算,意在考查學生的計算能力.7、D【解析】
先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質是高考考查的熱點之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復習時要注意基礎知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵,在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質求解.8、A【解析】
根據(jù)是中點這一條件,將棱錐的高轉化為球心到平面的距離,即可用勾股定理求解.【詳解】解:設點到平面的距離為,因為是中點,所以到平面的距離為,三棱錐的體積,解得,作平面,垂足為的外心,所以,且,所以在中,,此為球的半徑,.故選:A.【點睛】本題考查球的表面積,考查點到平面的距離,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數(shù)列的公比為,則當時,,∴;當時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質應用,意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎題.10、C【解析】
函數(shù)的定義域應滿足故選C.11、D【解析】
圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域為,不關于原點對稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對于函數(shù)的定義域內任意一個都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱.12、A【解析】
首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當時,.當時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質,考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調性,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先把復數(shù)進行化簡,然后利用求模公式可得結果.【詳解】.故答案為:.【點睛】本題主要考查復數(shù)模的求解,利用復數(shù)的運算把復數(shù)化為的形式是求解的關鍵,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、【解析】
因為,由二倍角公式得到,故得到.故答案為.15、12【解析】
畫出約束條件的可行域,求出最優(yōu)解,即可求解目標函數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域,如下圖,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目標函數(shù)y=3x-z,當y=3x-z過點(4,0)時,z有最大值,且最大值為12.故答案為:12.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用,屬于基礎題.16、充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質證得,根據(jù)面面垂直的性質定理,證得底面,由此證得,結合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點,∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標系,則,,,由已知,得,設平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,設,由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因為是球的直徑,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,則,,,,.M為中點,從而.所以,設,則.由,得.由得,即.所以.設平面的一個法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)當時,由題意得到,令,分類討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時,不等式恒成立,轉化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,可得,令,則只需,當時,;當時,;當時,;故當時,取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當時,不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的解法,以及不等式的恒成立問題的求解與應用,著重考查了轉化思想,以及推理與計算能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因為,所以,,,或,或,因為,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,當且僅當取等號,又因為,所以,所以【點睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)利用降次公式、輔助角公式化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)單調區(qū)間的求法,求得的單調遞增區(qū)間.(2)先由求得,利用正弦定理得到,結合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面積.【詳解】(1)函數(shù),,由,得.所以的單調遞增區(qū)間為.(2)因為且為銳角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)單調區(qū)間的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.22、(1).(2)見解析.【解析】試題分析:(1)設根據(jù)題意得到,化簡得到軌跡方程;(2)設,,,,構造函數(shù)研究函數(shù)的單調性,得到函數(shù)的最值.解析:(1)因為拋物線的方程為,所以
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