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甘肅省河西五市普通高中2025屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),焦點(diǎn)為,則直線(xiàn)的斜率為()A. B. C. D.3.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.4.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t()A. B. C.或 D.或45.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg6.五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類(lèi)元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素,則2類(lèi)元素相生的概率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.9.已知正方體的棱長(zhǎng)為,,,分別是棱,,的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①;②直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為;③過(guò),,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.10.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.12011.已知,則的取值范圍是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]12.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱(chēng)軸是③的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是④存在兩條互相垂直的切線(xiàn)其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等腰直角三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,,,,,則面積為_(kāi)_____.14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,x的系數(shù)為_(kāi)_______.(用數(shù)值作答)15.設(shè)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),為上互相不重合的三點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于,則的坐標(biāo)為_(kāi)______.16.內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若正數(shù)、滿(mǎn)足,求證:.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足:,,求的通項(xiàng)公式;(3)在第(2)問(wèn)的條件下,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;19.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓心在直線(xiàn)上的圓與軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于,與交于,求證:.20.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大小;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.2、A【解析】

先求出,再求焦點(diǎn)坐標(biāo),最后求的斜率【詳解】解:拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,,故選:A【點(diǎn)睛】考查拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式,基礎(chǔ)題.3、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),則,;當(dāng)時(shí),,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時(shí),,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時(shí),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論,考查推理能力,屬于中等題.4、C【解析】

對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時(shí),,所以,,所以;當(dāng)時(shí),,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).5、D【解析】根據(jù)y與x的線(xiàn)性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.6、A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類(lèi)元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類(lèi),共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類(lèi)元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類(lèi)元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.7、A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問(wèn)題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問(wèn)題的解法,屬于中檔題.8、C【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9、C【解析】

畫(huà)出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點(diǎn)的線(xiàn)段,為的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角就是直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為;正確;過(guò),,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點(diǎn),所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.10、C【解析】

試題分析:由題意得,自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為,故選C.考點(diǎn):頻率分布直方圖及其應(yīng)用.11、D【解析】

設(shè),可得,構(gòu)造()22,結(jié)合,可得,根據(jù)向量減法的模長(zhǎng)不等式可得解.【詳解】設(shè),則,,∴()2?2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又則[0,2].故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.12、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線(xiàn)互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用余弦定理計(jì)算,然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式,可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知:由,,,所以化簡(jiǎn)可得:則或,即或由,所以所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,仔細(xì)觀察,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.14、-40【解析】

由題意,可先由公式得出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),再令10-3r=1,得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的公式,屬于基礎(chǔ)題.15、或【解析】

設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為:,設(shè),由拋物線(xiàn)的定義可知:,,,因?yàn)?、、成等差?shù)列,所以有,所以,因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于,所以,因此有,化簡(jiǎn)整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、【解析】∵,∴,即,∴,∴.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分別解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【詳解】(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集為;(2),,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式,考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用,是一道中檔題.18、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.(3)【解析】

(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類(lèi)討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二:猜測(cè):當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測(cè):當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.(3)由(2)可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類(lèi)討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19、(1),;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可設(shè).結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為.半徑,則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,則其方程為,由弦長(zhǎng)公式可得.聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程有.設(shè),利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得.則.即.詳解:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則.已知在直線(xiàn)上,故可設(shè).因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng),所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)榕c軸相切,故半徑,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,那么其方程為,則到的距離,所以.由消去并整理得:.設(shè),則,那么.所以.所以,即.點(diǎn)睛:(1)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題,要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.20、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)①;②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.【解析】

(1)完成列聯(lián)表,由列聯(lián)表,得,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人,偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人,由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯(lián)表(單位:人):經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200由列聯(lián)表,得:,∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人,偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人,∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率

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