2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)過(guò)考點(diǎn)52幾何概型

專(zhuān)題52幾何概型（1）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.（2）了解幾何概型的意義.一、幾何概型1．幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.2．幾何概型的特點(diǎn)（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè).（2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.3．幾何概型的概率計(jì)算公式.4．必記結(jié)論（1）與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；（2）與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題；（3）與體積有關(guān)的幾何概型.二、隨機(jī)模擬用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法.這個(gè)方法的基本步驟是：（1）用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；（2）統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；（3）計(jì)算頻率作為所求概率的近似值.注意，用隨機(jī)模擬方法得到的結(jié)果只能是概率的近似值或估計(jì)值，每次試驗(yàn)得到的結(jié)果可能不同，而所求事件的概率是一個(gè)確定的數(shù)值.考向一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是將所有基本事件及事件包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)長(zhǎng)度，進(jìn)而求解．此處的“長(zhǎng)度”可以是線段的長(zhǎng)短，也可以是時(shí)間的長(zhǎng)短等.注意：在尋找事件發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域時(shí)，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)能否取到不會(huì)影響事件的概率.典例1某學(xué)校星期一至星期五每天上午都安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘．第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘．某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間到達(dá)教室,則他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于10分鐘的概率是A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得第二節(jié)課上課的時(shí)間為8:40~9:20,該同學(xué)到達(dá)教室的時(shí)間總長(zhǎng)度為40,其中在8:50~9:10進(jìn)入教室時(shí),聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于10分鐘,其時(shí)間長(zhǎng)度為20,故所求概率為.選A．典例2在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為A． B．C． D．【答案】A【解析】區(qū)間的長(zhǎng)度為2，由可得，所以所求事件的概率為P=.故選A.1．取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得的兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于的概率是A． B．C． D．2．某電視臺(tái)每天11:30—12:00播放“中國(guó)夢(mèng)”主題的紀(jì)錄片，在此期間會(huì)隨機(jī)播放一次4分鐘完整的有關(guān)中國(guó)夢(mèng)的歌曲，小張從11:43開(kāi)始觀看該電視臺(tái)的這檔節(jié)目，則他聽(tīng)到完整的有關(guān)中國(guó)夢(mèng)歌曲的概率為_(kāi)_______.考向二與面積有關(guān)的幾何概型求解與面積有關(guān)的幾何概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征找出兩個(gè)“面積”，套用幾何概型的概率計(jì)算公式，從而求得隨機(jī)事件的概率.必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．“面積比”是求幾何概型的一種重要的方法.典例3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，若在菱形內(nèi)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率為A． B．C． D．【答案】D【解析】分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑作圓，則概率對(duì)應(yīng)的面積為陰影部分，由四個(gè)圓在菱形內(nèi)的扇形夾角之和為2π，可得對(duì)應(yīng)的四個(gè)扇形之和的面積為一個(gè)整圓的面積S＝π×12＝π，∵S菱形ABCD＝AB?BCsin4×48，∴S陰影＝S菱形ABCD﹣S＝8﹣π×12＝8﹣π．因此，該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率P.故選D．典例4如圖,已知A(a,0)(a>0),B是函數(shù)f(x)=2x2圖象上的一點(diǎn),C(0,2),若在矩形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)镺ABC是矩形,所以B(a,2),又B是函數(shù)f(x)=2x2圖象上的一點(diǎn),得B(1,2),所以A(1,0).陰影部分的面積S1=

dx=(2xx3)=2×1×13=,矩形OABC的面積S=1×2=2.所以所求事件的概率為P=.3．已知關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則的概率為A． B．C． D．4．在區(qū)間[?π,π]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，記向量OA=(a,4b)A． B．C． D．考向三與體積有關(guān)的幾何概型的求法用體積計(jì)算概率時(shí)，要注意所求概率與所求事件構(gòu)成的區(qū)域的體積的關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算出所求事件構(gòu)成的區(qū)域的體積，確定出基本事件構(gòu)成的區(qū)域的體積，求體積比即可.一般當(dāng)所給隨機(jī)事件是用三個(gè)連續(xù)變量進(jìn)行描述或當(dāng)概率問(wèn)題涉及體積時(shí)，可以考慮用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中與正方體玻璃容器六個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于10,則就有可能撞到玻璃上而不安全,即始終保持與正方體玻璃容器六個(gè)表面的距離均大于10,飛行才是安全的.假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飛行安全的概率是A． B．C． D．【答案】C【解析】記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件A,則它在與正方體玻璃容器六個(gè)表面的距離均大于10的區(qū)域d內(nèi)飛行時(shí)是安全的,故區(qū)域d為棱長(zhǎng)為10的正方體,所以P(A)=.故選C．5．陽(yáng)馬，中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐體，在陽(yáng)馬中，為陽(yáng)馬中最長(zhǎng)的棱，，若在陽(yáng)馬的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為A． B．C． D．考向四隨機(jī)模擬的應(yīng)用利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形A的面積，解題的依據(jù)是根據(jù)隨機(jī)模擬估計(jì)概率，然后根據(jù)列等式求解.典例6《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積分別稱(chēng)朱實(shí)、黃實(shí),利用2×勾×股+(股勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),化簡(jiǎn)得勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲3000顆圖釘,則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)約為(≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C【解析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2，由圖中直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為1∶，可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，所以小正方形與大正方形的面積比值為=，所以落在小正方形內(nèi)的圖釘數(shù)為()×3000≈(1×1.732)×3000=402.故選C.6．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)，受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：①先請(qǐng)高二年級(jí)名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)；②若卡片上的，能與構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為；④根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)，估計(jì)的值.那么可以估計(jì)的值約為A． B．C． D．1．在內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則的概率為A． B．C． D．2．在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程表示雙曲線的概率為A． B．C． D．3．在?5,5上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)fx=xA． B．C． D．4．在直角坐標(biāo)系中,任取n個(gè)滿足x2+y2≤1的點(diǎn)(x,y),其中滿足|x|+|y|≤1的點(diǎn)有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為A． B．C． D．5．趙爽是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱(chēng)“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為A． B．C． D．6．如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A為圓心、1為半徑作圓弧DE,點(diǎn)E在線段AB上,在圓弧DE上任取一點(diǎn)P,則直線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率是A． B．C． D．7．1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形中，利用“兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡(jiǎn)潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱(chēng)為“總統(tǒng)證法”.如圖，設(shè)，在梯形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等腰直角中（陰影部分）的概率是A． B．C． D．8．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象與直線軸圍成的區(qū)域?yàn)?直線與軸、軸圍成的區(qū)域?yàn)?在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為A． B．C． D．9．已知圓C的半徑為2，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，并以P為中點(diǎn)作弦AB，則弦長(zhǎng)的概率為A． B．C． D．10．《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是A． B．C． D．11．已知實(shí)數(shù)x∈2,30，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103A． B．C． D．12．趙爽是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類(lèi)比“趙爽弦圖”，可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF=2AF=2，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是A． B．C． D．13．“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積以及圓周率的基礎(chǔ).劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值，這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí)，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）A．3.1419 B．3.1417C．3.1415 D．3.141314．已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PB+PC+2PA=0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在A． B．C． D．15．有一根長(zhǎng)為1米的細(xì)繩,將細(xì)繩隨機(jī)剪斷,則兩截的長(zhǎng)度都大于

米的概率為_(kāi)_________.16．若在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x,使x≥a的概率為,則a=__________.

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以x軸的正半軸為始邊，射線OT落在420°角的終邊上，射線OT'落在?60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在陰影部分內(nèi)的概率為_(kāi)_________.18．一個(gè)正方體的外接球的表面積為48π,從這個(gè)正方體內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自正方體的內(nèi)切球內(nèi)的概率為_(kāi)_________.19．如圖，矩形的長(zhǎng)為，寬為，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積約為_(kāi)_________．20．中國(guó)象棋是中華文化的瑰寶，中國(guó)象棋棋盤(pán)上的“米”字形方框叫做九宮，取意后天八卦中的九星方位圖.現(xiàn)有一張中國(guó)象棋棋盤(pán)如圖所示.若在該棋盤(pán)矩形區(qū)域內(nèi)（其中楚河，漢界寬度等于每個(gè)小格的邊長(zhǎng)）隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在九宮內(nèi)的概率是__________．21．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于的概率是__________．22．某班早晨7：30開(kāi)始上早讀課，該班學(xué)生小陳和小李在早上7：10至7：30之間到班，且兩人在此時(shí)間段的任何時(shí)刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩人到班的所有可能結(jié)果表示的區(qū)域；(2)求小陳比小李至少晚5分鐘到班的概率.23．執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，記“輸出是好點(diǎn)”為事件A．（1）若為區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；（2）若為區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率．24．已知圓C:(x?1)2(1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求點(diǎn)(a,b)在圓C內(nèi)的概率;(2)若a是從區(qū)間[1,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求點(diǎn)(a,b)在圓C外的概率.25．已知函數(shù)

).(1)若從集合中任取一個(gè)元素從集合中任取一個(gè)元素,求方程有實(shí)根的概率;(2)若從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù),求方程沒(méi)有實(shí)根的概率.1．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p32．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B．C． D．3．（2016新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）某公司的班車(chē)在7:30，8:00，8:30發(fā)車(chē)，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是A． B．C． D．4．（2017江蘇）記函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是▲．5．（2016山東理科）在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為.變式拓展變式拓展1．【答案】A【解析】設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為，可得出另一段的長(zhǎng)度為，由于剪得的兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于，則或，可得或.由于，所以或.由幾何概型的概率公式可知，事件“剪得的兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于”的概率為，故選A．2．【答案】【解析】由題意：要使每天11:30—12:00播放紀(jì)錄片時(shí)，能播放一次4分鐘完整的有關(guān)中國(guó)夢(mèng)的歌曲，則開(kāi)始播放歌曲的時(shí)間應(yīng)在11:30—11:56的任意時(shí)刻，共26分鐘，小張從11:43開(kāi)始觀看，若他聽(tīng)到完整的歌曲，則開(kāi)始播放歌曲的時(shí)間應(yīng)在11:43—11:56的任意時(shí)刻，共13分鐘，由幾何概型的概率公式可得所求的概率為．故答案為．3．【答案】C【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示（及其內(nèi)部），由題意可知所求概率，易得，，，，則，，所以，故選C．4．【答案】B【解析】在區(qū)間[?π,π]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，則點(diǎn)因?yàn)镺A=(a,4b)，OB=(4a,b)，所以O(shè)A?因?yàn)镺A?·?OB則點(diǎn)a,b在以原點(diǎn)為圓心、π為半徑的圓外，且在以2π為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)，所以的概率為.故選B．5．【答案】C【解析】根據(jù)題意，的長(zhǎng)等于其外接球的直徑，∵，∴，∴，又平面，∴，∴該點(diǎn)位于陽(yáng)馬內(nèi)的概率為.故選C.6．【答案】C【解析】由題意，實(shí)數(shù)對(duì)，即面積為1，且卡片上的，能與構(gòu)成銳角三角形，即滿足，且，所以面積為，所以，能與構(gòu)成銳角三角形的概率為，由題意知.故選C.專(zhuān)題沖關(guān)專(zhuān)題沖關(guān)1．【答案】C【解析】若,則在內(nèi)，所以所求概率為.選C．2．【答案】D【解析】若方程表示雙曲線，則，解得.在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，題中方程表示雙曲線，由幾何概型，可得所求概率為.故選D．3．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x2+2mx+2在上有零點(diǎn)，所以Δ=2m所以有零點(diǎn)的概率為.4．【答案】D【解析】畫(huà)出可行域,如圖所示,四邊形ABCD的面積為2,其中圓O的面積為π.由幾何概型的概率公式,可得,則π=,故選D．5．【答案】B【解析】由圖形可知，小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的面積為，又大正方形的面積為，，即，解得.故選B.6．【答案】B【解析】連接AC,交圓弧DE于點(diǎn)M.在中,AB=,BC=1,所以tan∠BAC=,即∠BAC=.要使直線AP與線段BC有公共點(diǎn),則點(diǎn)P必須在圓弧EM上,于是所求概率為P=.故選B．7．【答案】C【解析】在中，，，則此點(diǎn)取自等腰直角中（陰影部分）的概率，故選C．8．【答案】A【解析】由題意，區(qū)域F的面積為e;區(qū)域E的面積S==,所以在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為.9．【答案】B【解析】如圖所示：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若，則點(diǎn)P必須位于以點(diǎn)C為圓心，半徑為1和半徑為2的圓環(huán)內(nèi)，所以弦長(zhǎng)的概率為：.故選B．10．【答案】C【解析】如圖所示，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以?xún)?nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率.故選C.11．【答案】B【解析】已知實(shí)數(shù)x∈2,30經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)，得到x=2x+1,n=2；經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)，得到x=22x+1經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)，得到x=222x+1+1+1,n=4輸出的值為8x+7，令8x+7≥103，得x≥12，由幾何概型的概率計(jì)算公式，得到輸出的x不小于103的概率為，故選B．12．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理，得，所以.故所求概率為.故選A．13．【答案】A【解析】設(shè)圓的半徑為，則圓的面積為，正六邊形的面積為，因而所求該實(shí)驗(yàn)的概率為，則.故選A.14．【答案】B【解析】如圖，以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則，∴，得，由此可得P是的邊BC上的中線AO的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到BC的距離等于A到BC的距離的，∴．將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率為.故選B.15．【答案】【解析】將細(xì)繩八等分,如圖,C和D分別是第一個(gè)和最后一個(gè)等分點(diǎn),則在線段CD(不包括端點(diǎn))的任意位置剪斷得到的兩截細(xì)繩的長(zhǎng)度都大于

米.由幾何概型的概率計(jì)算公式得,兩截的長(zhǎng)度都大于

米的概率為.16．【答案】3【解析】由題意得[0,4]與[a,+∞)的交集在數(shù)軸上的長(zhǎng)度為1，即x≥a的概率P=，解得a=3.17．【答案】【解析】由題可得∠yOT=90°?(420°?360°)=30°，∠x(chóng)OT'=60°，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，可得射線OA落在陰影部分內(nèi)的概率為．18．【答案】【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正方體的外接球的表面積為48π,所以這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4,而棱長(zhǎng)為4的正方體的體積為43,該正方體的內(nèi)切球的半徑為2,體積為×23,所以所求概率P=.19．【答案】【解析】矩形的長(zhǎng)為，寬為，則矩形的面積為，設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為.由題意可得，解得.故答案為.20．【答案】【解析】總的基本事件構(gòu)成整個(gè)棋盤(pán)，構(gòu)成的面積為，而隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在九宮內(nèi)這件事情構(gòu)成的面積為，設(shè)為該點(diǎn)落在九宮內(nèi)的概率，則.21．【答案】【解析】取，所在區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，面積為，直線上方正方形區(qū)域的面積為，直線下方正方形區(qū)域的面積，由幾何概型的概率公式可得，這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于的概率是，故答案為.22．【解析】（1）用分別表示小陳、小李到班的時(shí)間，則，所有可能結(jié)果對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)正方形區(qū)域ABCD，如圖所示．（2）小陳比小李至少晚到5分鐘，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)?，則所求概率為．23．【解析】（1）由題意，若為區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，則可產(chǎn)生個(gè)點(diǎn)，事件A發(fā)生，則，好點(diǎn)為：，共12個(gè)點(diǎn)，∴.（2）由題意，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，其面積為10，構(gòu)成事件A的區(qū)域，其面積為，∴．24．【解析】(1)用數(shù)對(duì)a,b表示基本事件,則其所有可能結(jié)果有(1,0),(1,1),(1,2),

3,1,(3,2)，共9設(shè)事件A={點(diǎn)(a,b)在圓C其結(jié)果為:(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)，共4個(gè),所以P(A)=(2)所有可能的結(jié)果Ω={(a,b)|1≤a≤3設(shè)事件B={點(diǎn)(a,b)在圓C外}，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,所以P(B)=.25．【解析】(1)的取值情況是:,其中第一個(gè)數(shù)表示的取值,第二個(gè)數(shù)