2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之相等關(guān)系與不等關(guān)系（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之相等關(guān)系與不等關(guān)系（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．若實數(shù)a，b滿足1a+2A．2 B．2 C．22 D．42．若直線xa+yb=1（a＞0，b＞0）過點（1，1A．2 B．3 C．4 D．53．若正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．245 B．285 C．5 D4．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，則1xA．2 B．22 C．4 D．235．若log4（3a+4b）＝log2ab，則a+b的最小值是（）A．6+23 B．7+23 C．6+43 D．7+436．若正數(shù)a，b滿足1a+1A．1 B．6 C．9 D．167．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則y=A．72 B．4 C．92 D8．“x＞1”是“l(fā)og12（x+2A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．則當(dāng)xyz取得最大值時，2A．0 B．1 C．94 D．10．已知x，y∈R，且x＞y＞0，則（）A．1x-1y＞0 B．sinx﹣C．（12）x﹣（12）y＜0 D．lnx+lny二．填空題（共5小題）11．設(shè)x＞0，y＞0，x+2y＝5，則(x+1)(2y+1)xy12．若直線xa+yb=1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則2a+b13．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a+12b14．若a，b∈R，ab＞0，則a4+4b4+115．已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，則2a+18b的最小值為三．解答題（共5小題）16．若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．17．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）求at+1218．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度υ（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=920υυ（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度υ為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分數(shù)形式）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？20．已知a＞1，b＞1，求b2

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之相等關(guān)系與不等關(guān)系（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．若實數(shù)a，b滿足1a+2A．2 B．2 C．22 D．4【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】C【分析】由1a+2b=ab，可判斷a＞0，b＞【解答】解：∵1a∴a＞0，b＞0，∵1a+2b≥22∴ab≥2解可得，ab≥22，即ab的最小值為2故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題2．若直線xa+yb=1（a＞0，b＞0）過點（1，1A．2 B．3 C．4 D．5【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式．【答案】C【分析】將（1，1）代入直線得：1a+1b=1，從而a+b＝（1【解答】解：∵直線xa+yb=1（a＞0，b＞0∴1a+1b=1（a＞0所以a+b＝（1a+1b）（a+b）＝2+當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab即a＝∴a+b最小值是4，故選：C．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，求出1a+1b=1，得到a+b＝（13．若正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．245 B．285 C．5 D【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】C【分析】將x+3y＝5xy轉(zhuǎn)化成35x+15y=1，然后根據(jù)3x+4y＝（35x+1【解答】解：∵正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，∴35∴3x+4y＝（35x+15y）（3x+4當(dāng)且僅當(dāng)12y∴3x+4y≥5，即3x+4y的最小值是5．故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的值域中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由已知變形，然后進行“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題．4．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，則1xA．2 B．22 C．4 D．23【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】C【分析】利用對數(shù)的運算法則和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴l(xiāng)g（2x?8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．∵x＞0，y＞0，∴1x+13y=(x+3y故選：C．【點評】熟練掌握對數(shù)的運算法則和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．若log4（3a+4b）＝log2ab，則a+b的最小值是（）A．6+23 B．7+23 C．6+43 D．7+43【考點】基本不等式及其應(yīng)用；對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】D【分析】利用對數(shù)的運算法則可得b=3aa-4【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）＝log2ab，∴l(xiāng)og4（3a+4b）＝log4（ab）∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0∴b=3∴a＞4，則a+b＝a+3aa-4=a+3(a-4)+12a-4=a+3+12a-4=故選：D．【點評】本題考查了對數(shù)的運算法則、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．6．若正數(shù)a，b滿足1a+1A．1 B．6 C．9 D．16【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】B【分析】正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由1a+1b=1變形為a﹣1=【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，∴a＞11a+1b=1變形為a+bab=1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣∴a﹣1＞0，∴1a-1+9b-1=1當(dāng)且僅當(dāng)1a-1=9（a﹣1），即a＝1±13時取“＝”（由于a＞∴1a-1故選：B．【點評】本題考查了基本不等式的靈活應(yīng)用問題，應(yīng)用基本不等式a+b≥2ab時，要注意條件a＞0，且b＞0，在a＝b時取“＝”．7．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則y=A．72 B．4 C．92 D【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】C【分析】利用題設(shè)中的等式，把y的表達式轉(zhuǎn)化成（a+b2）（1【解答】解：∵a+b＝2，∴a+∴y=1a+4b=（a+b2）（1故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．8．“x＞1”是“l(fā)og12（x+2A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點】指、對數(shù)不等式的解法；充分條件與必要條件．【專題】簡易邏輯．【答案】B【分析】解“l(fā)og12（x+2）＜0”，求出其充要條件，再和x【解答】解：由“l(fā)og12（x+2得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“l(fā)og12（x+2故選：B．【點評】本題考查了充分必要條件，考察對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．9．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．則當(dāng)xyz取得最大值時，2A．0 B．1 C．94 D．【考點】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】B【分析】依題意，當(dāng)xyz取得最大值時x＝2y，代入所求關(guān)系式f（y）=【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數(shù)，∴xyz=xyx2-3∴(xyz)max=1，此時，∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴2x+1y-2z=∴2x+1故選：B．【點評】本題考查基本不等式，由xyz取得最大值時得到x＝2y10．已知x，y∈R，且x＞y＞0，則（）A．1x-1y＞0 B．sinx﹣C．（12）x﹣（12）y＜0 D．lnx+lny【考點】不等關(guān)系與不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式．【答案】C【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：1x＜1y，sinx與siny的大小關(guān)系不確定，(12)【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，則1x＜1y，sinx與siny的大小關(guān)系不確定，(12)x＜(故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二．填空題（共5小題）11．設(shè)x＞0，y＞0，x+2y＝5，則(x+1)(2y+1)xy的最小值為【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；定義法；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝5，∴2xy≤（x+2y2）2=254，當(dāng)且僅當(dāng)∴xy≤25則(x+1)(2y由基本不等式有：2xy+6xy≥2當(dāng)且僅當(dāng)2xy=即：xy＝3，x+2y＝5時，即：x=3y=1故(x+1)(2y+1)故答案為：43【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．12．若直線xa+yb=1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則2a+b【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將（1，2）代入直線方程，求得1a+2b=1，利用“1”代換，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得【解答】解：直線xa+yb=1（a＞0，b＞0）過點（1，由2a+b＝（2a+b）×（1a+2b）＝2+4ab+ba當(dāng)且僅當(dāng)4ab=ba，即a＝2∴2a+b的最小值為8，故答案為：8．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查“1”代換，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a+12b【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由12【解答】解：a＞0，b＞0，且ab＝1，則12a+1當(dāng)且僅當(dāng)a+b2=8a+b，即a＝2+3，b＝2-3或a故答案為：4【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于中檔題．14．若a，b∈R，ab＞0，則a4+4b4+1【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；不等式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】【方法一】兩次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件是什么．【方法二】將1ab拆成1【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴a=4＝4ab+1ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)a4即a2即a=142，b=148或∴上式的最小值為4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴a4+4b4當(dāng)且僅當(dāng)a4即a2即a=142，b=148或∴上式的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．15．已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，則2a+18b的最小值為【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】化簡所求表達式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，則2a+18b當(dāng)且僅當(dāng)2a=12a+6．即函數(shù)的最小值為：14故答案為：14【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，也可以利用換元法，求解函數(shù)的最值．考查計算能力．三．解答題（共5小題）16．若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；推理和證明；不等式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)柯西不等式進行證明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z＝6，∴x2+y2+z2≥4是當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z2時，不等式取等號，此時x=∴x2+y2+z2的最小值為4【點評】本題主要考查不等式的證明，利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．，17．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）求at+12【考點】不等關(guān)系與不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程組，解方程組可得；（Ⅱ）原式=-【解答】解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式|x+a|＜b可化為﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集為{x|2＜x＜4}，∴-b-a（Ⅱ）由（Ⅰ）可得at=3＝24-t當(dāng)且僅當(dāng)4-t3=t1∴所求最大值為4【點評】本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得出；（2）由2x+8y＝xy，變形得2y+8x【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴xy＝2x+8y≥216xy∴xy≥8，∴xy≥64．當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝16故xy的最小值為64．（2）由2x+8y＝xy，得：2y+又x＞0，y＞0，∴x+y＝（x+y）?(2y+8x)=10+2xy+8故x+y的最小值為18．【點評】熟練掌握“乘1法”和變形利用基本不等式是解題的關(guān)鍵．19．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度υ（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=920υυ（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度υ為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分數(shù)形式）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知y=920υυ（2）在該時間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時時，解不等式即可求出v的范圍．【解答】解：（1）依題意，y=920當(dāng)且僅當(dāng)v=1600v，即v＝∴ymax=92083（千輛當(dāng)v＝40km/h時，車流量最大，最大車流量約為92083千輛/（2）由條件得920υυ整理得v2﹣89v+1600＜0，即（v﹣25）（v﹣64）＜0，解得25＜v＜64，所以，如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．要特別留意等號取得的條件．20．已知a＞1，b＞1，求b2【考點】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)a＞1，b＞1即可得出b2a-【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴a﹣1＞0，b﹣1＞0，∴b2a-兩式相加：b2∴b2當(dāng)且僅當(dāng)b2即a＝b＝2時，b2a-【點評】考查基本不等式a+

考點卡片1．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．不等關(guān)系與不等式【知識點的認識】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如42與84就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．3．基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、