【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】第3章 勾股定理（A卷知識(shí)通關(guān)練） -【單元測(cè)試】（解析版）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)第3章勾股定理（A卷·知識(shí)通關(guān)練）核心知識(shí)1．勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算1．把一個(gè)直角三角形的兩條直角邊都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么斜邊將（）A．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 C．?dāng)U大到原來(lái)的3倍 D．不能確定【答案】A【解析】解：設(shè)直角三角形的直角邊為a、b，斜邊為c，直角邊擴(kuò)大2倍后為2a，2b，那么據(jù)勾股定理得：原來(lái)的斜邊長(zhǎng)的平方為：a2+b2，現(xiàn)在的斜邊長(zhǎng)為：（2a）2+（2b）2＝2（a2+b2），即斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的2倍．故本題選：A．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2＝32＝9，∴AB2+AC2+BC2＝32+9＝18．故本題選：B．3．已知Rt△ABC的直角邊分別為3和4，則斜邊上的高為（）A．5 B．6 C．125 D．【答案】C【解析】解：如圖，作CD⊥AB于D，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得：AB＝5，∵S△ABC＝12AC?BC＝12CD?∴12×3×4＝12×5?∴CD＝125故本題選：C．核心知識(shí)2．勾股定理的證明及有關(guān)計(jì)算4．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形較短直角邊長(zhǎng)為6，大正方形的邊長(zhǎng)為10，則小正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】2【解析】解：如圖，∵若直角三角形較短直角邊長(zhǎng)為6，大正方形的邊長(zhǎng)為10，∴AB＝10，BC＝AD＝6，在Rt△ABC中，AC＝8，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．故本題答案為：2．5．勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，如所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4×12ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，S大正方形＝c2∴a2+b2＝c2；故A選項(xiàng)不合題意；B．不能用于證明勾股定理，故B選項(xiàng)符合題意；C．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4×12×ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C選項(xiàng)不合題意；D．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝12（b+b+a）×b+12（a+b+a）×a﹣2×12ab＝a2+∴a2+b2＝c2，故D選項(xiàng)不合題意．故本題選：B．核心知識(shí)3．直角三角形有關(guān)的分類討論問(wèn)題6．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．則BC2＝（）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【解析】解：當(dāng)∠C＝90°時(shí)，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，當(dāng)∠A＝90°時(shí)，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16．故本題答案為：D．7．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC邊上的高AD＝12，則BC的長(zhǎng)為．【答案】7或25【解析】解：如圖（1），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝81，即BD＝9，在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得，DC2＝AC2﹣AD2＝256，即DC＝16，∴BC的長(zhǎng)為：BD+DC＝9+16＝25；如圖（2），同（1）的作法相同，∴BC的長(zhǎng)為：DC﹣BD＝16﹣9＝7；綜上，BC的長(zhǎng)為：7或25．故本題答案為：7或25．8．直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高的平方為（）【提示：7的平方是7】A．5 B．125 C．374 D．【答案】D【解析】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，①當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝5，則12×3×4＝12×5×解得：h＝125②當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，另一條直角邊長(zhǎng)的平方＝42﹣32＝7，即另一條直角邊長(zhǎng)＝7，12×3×7＝12×4×解得：h＝37綜上，直角三角形斜邊上的高為：125或3故本題選：D．核心知識(shí)4．勾股定理的逆定理9．下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．8，15，17【答案】D【解析】解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；C．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，∴以5，11，12為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；D．∵82+152＝64+225＝289，172＝289，∴82+152＝172，∴以8，15，17為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故本題選：D．10．已知a，b，c是某三角形的三邊，滿足|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，則此三角形的面積為（）A．30 B．60 C．78 D．32.5【答案】A【解析】解：∵|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，∴12﹣a＝0，b﹣5＝0，c﹣13＝0，解得：a＝12，b＝5，c＝13，∴a2+b2＝122+52＝132＝c2，∴該三角形是直角三角形，∴此三角形的面積為：12×故本題選：A．11．在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，∴x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)AB＝3k，則BC＝4k，AC＝5k，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；④∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，解得：∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC不是直角三角形；綜上，能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③共3個(gè)，故本題選：C．核心知識(shí)5．勾股定理的應(yīng)用——面積問(wèn)題12．如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（）A．225 B．144 C．81 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】解：由圖可得：三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，∵其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，∴正方形A邊長(zhǎng)的平方為：225﹣144＝81，即正方形A的面積是81，故本題選：C．13．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝10，BC＝24，分別以它的三邊為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分面積為．【答案】120【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝24，∴AB2＝AC2+BC2＝262，即AB＝26，∴S陰影＝12π×（AC2）2+12π×（BC2）2+12×BC×AC﹣12π×（AB2）2＝12π×（102）2+12π×（242故本題答案為：120．14．某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD（如圖所示），為了美化小區(qū)環(huán)境．現(xiàn)計(jì)劃在空地上鋪上草坪．經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若鋪一平方米草坪需要20元，鋪這塊空地需要投入多少錢？【答案】鋪這塊空地需要投入4680元錢【解析】解：如圖，連接BD，在Rt△ABD中，∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米，∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252（平方米），即BD＝25米，在△ADB中，CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，∴BC2+CD2＝242+72＝252（平方米）＝DB2，∴△BDC為直角三角形，∠DCB＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ADB+S△DBC＝12×15×20+1∴四邊形ABCD的面積為234平方米，∵鋪一平方米草坪需要20元，∴234×20＝4680（元），答：鋪這塊空地需要投入4680元錢．15．某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的試驗(yàn)田，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動(dòng)的“活景觀”，學(xué)生們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到試驗(yàn)田實(shí)際操練．如圖，四邊形ABCD是規(guī)劃好的試驗(yàn)田，經(jīng)過(guò)測(cè)量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求試驗(yàn)田ABCD的面積．【答案】試驗(yàn)田ABCD的面積為24m2【解析】解：如圖，連接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，即AC＝5，又∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝12×5×12﹣12×3×4＝30﹣6＝24m即試驗(yàn)田ABCD的面積為24m2．核心知識(shí)6．勾股定理的應(yīng)用——最值問(wèn)題16．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)，則線段CD的取值范圍是．【答案】4.8≤CD≤8【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD′⊥AB于D′，由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最短，即點(diǎn)D在點(diǎn)D′的位置時(shí)，CD最短，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝82，即AC＝8，∵S△ABC＝12AB×CD′＝12BC×∴CD′＝6×810∴4.8≤CD≤8，故本題答案為：4.8≤CD≤8．17．如圖，將一根長(zhǎng)12cm的筷子置于底面半徑為3cm，高為8cm的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度h的取值范圍為．【答案】2cm≤h≤4cm【解析】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，∴h＝12﹣8＝4（cm）；當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴AB2＝AD2+BD2＝62+82＝102（cm2），即AB＝10cm，∴此時(shí)h＝12﹣10＝2（cm），∴h的取值范圍是：2cm≤h≤4cm．故本題答案為：2cm≤h≤4cm．18．如圖是長(zhǎng)AB＝4cm、寬BC＝3cm、高BE＝12cm的長(zhǎng)方體容器．（1）求底面矩形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是多少？【答案】（1）底面矩形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)為5cm；（2）長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是13cm【解析】解：（1）∵AB＝4cm、BC＝3cm，∴BD2＝AB2+BC2＝32+42＝52（cm2），即BD＝5cm，答：底面矩形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)為5cm；（2）∵122+52＝132，∴長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是13cm，答：長(zhǎng)方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長(zhǎng)是13cm．核心知識(shí)7．勾股定理的應(yīng)用——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題19．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C是BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝s時(shí)，△POQ是等腰三角形．【答案】2或6【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即6﹣2t＝t,解得：t＝2；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，已用時(shí)3s,設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣3）＝t,解得：t＝6，故本題答案為：2或6．20．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連結(jié)AP．（1）當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，求AP2；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）AP2＝34；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝6.5秒或12秒或16948【解答】解：（1）由題意得：BP＝2t，∴當(dāng)t＝4.5秒時(shí)，BP＝2×4.5＝9，∵BC＝12，∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2＝52+32＝34；（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴AB2＝AC2+BC2＝52+122＝132，①當(dāng)BP＝AB＝13時(shí)，t＝13÷2＝6.5秒；②當(dāng)AP＝AB時(shí)，BP＝2BC＝24，則t＝24÷2＝12秒；③當(dāng)PA＝PB＝2t時(shí)，在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，即（2t）2＝（12﹣2t）2+52解得：t＝16948秒綜上，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝6.5秒或12秒或16948核心知識(shí)8．勾股定理的應(yīng)用——實(shí)際問(wèn)題21．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時(shí)，梯子底端A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的距離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為2m，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為m．【答案】2.2【解答】解：在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，∴AD2＝0.72+2.42＝6.25（米2），在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝2米，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+22＝6.25，∴AB＝1.5米，∴BE＝AE+AB＝0.7+1.5＝2.2米，答：小巷的寬度BE為2.2米，故本題答案為：2.2．22．如圖，一架長(zhǎng)2.5m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2m．設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為p，底端到垂直墻面的距離為q，若pq＝a，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)2.7＜a＜5.6時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的底端B向墻腳內(nèi)移0.8m到D【答案】這時(shí)使用安全，理由詳見解析【解答】解：使用安全，理由如下：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝2.52﹣22＝1.52（m2），∵BD＝0.8m，∴OD＝1.5﹣0.8＝0.7m，即q＝0.7m，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝CD2﹣OD2＝2.52﹣0.72＝2.42（m2），即p＝2.4m，∴a＝pq＝2.40.7＝又∵2.7＜247∴這時(shí)使用安全．答：這時(shí)使用安全．23．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路CD，測(cè)得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．（1）求證：CD⊥AB；（2）求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)；【答案】（1）證明過(guò)程詳見解析；（2）原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為8.45千米【解答】解：（1）證明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，62+2.52＝6.52，∴CD2+BD2＝CB2，∴△CDB為直角三角形，∴CD⊥AB；（2）解：設(shè)AC＝x千米，則AB＝x千米，AD＝（x﹣2.5）千米．∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，解得：x＝8.45．答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為8.45千米．24．古代數(shù)學(xué)的“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問(wèn)折處高幾尺？即：如圖，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，則AC＝尺．【答案】5【解答】解：設(shè)AC＝x尺，則AB＝（9﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴AC＝5尺，故本題答案為：5．25．某天，暴雨突然來(lái)襲，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有遇險(xiǎn)船只從A、B兩地發(fā)出求救信號(hào)．于是，第一艘搜救艇以20海里/時(shí)的速度離開港口O沿北偏東40°的方向向A地出發(fā)，同時(shí)，第二艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向B地出發(fā)，2小時(shí)后，他們同時(shí)到達(dá)各自的目標(biāo)位置．此時(shí)，他們相距50海里．（1）求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求∠BOD的大?。?）由于B地需要救援的人數(shù)較多，故需要搭載人數(shù)較少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在從A地前往到B地的過(guò)程中，與港口O最近的距離是多少？【答案】（1）第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；（2）與港口O最近的距離是24海里【解答】解：（1）由題得：OA＝2