2024年中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題及答案

動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,腕ABCD中，BD為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)，沿著D-B-C

的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ_LCD,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PQ-DQ^/y,y-tgx的函數(shù)圖

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從

點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF,以EF為邊向下做正方形EFGH,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x0<x<12,正方形

EFGH和等腰RtZXABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，

且滿足AE=BF,AF與DE交于點(diǎn)0,點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB,則0M+

：FG的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形ABCD的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB—BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,P0的長(zhǎng)為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)

時(shí)，P0的長(zhǎng)為（）

D.2用

5.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,DE,過(guò)點(diǎn)A作AF±DE于點(diǎn)P.設(shè)DE=x,AF=y,則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量x的取值范圍）（）

二、填空題

6.（2024-江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知兩條平行線L、L，點(diǎn)A是L上的定點(diǎn)，AB，1于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分

別是L、L上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=BD,雌CD交線段AB于點(diǎn)E,BH±CD于點(diǎn)H,則當(dāng)NBAH最大

時(shí)，sinZBAH的值為.

2

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，點(diǎn)M為直線BC上一

動(dòng)點(diǎn)，則MA+MD的最小值為.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為M4,0,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作。M的切線，切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NA0B=50，點(diǎn)P為NA0B內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線0A、點(diǎn)N

為射線0B上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)aPIMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則NMPN=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0,B0,2，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線

1,P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，連接P0,PA,則P0+PA的最小值為.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=2,點(diǎn)

I是AABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PC,貝ljPE+PC的最小值

12.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在口ABCD中，ZC=120,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD，則4ABD面積的最小值為

13.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn).若/MAN

=45，則MN的最小值為

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分別是邊CD、AD上

的動(dòng)點(diǎn)，且CE=DF.當(dāng)AE+CF的值最小時(shí)，則CE=.

三、解答題

15.（2024??蘇州?中考真題）如圖，Z^ABC中，AC=BC,ZACB=90,A-2,0,C6,0,反比例函數(shù)y

=1kW0,x>0的圖象與AB交于點(diǎn)Dm,4，與BC交于點(diǎn)E.

X

9

⑴求m,k的值；

⑵點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=XkW0,x>0圖象上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P在D,E之間運(yùn)動(dòng)，不與D,E重合)，過(guò)點(diǎn)

X

P作PM〃AB,交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作PN〃x軸，交BC于點(diǎn)N,連妾MN，求APNIN面積的最大值，

并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

匕的圖象交于A(-6,l),B(l,n)兩點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

⑵P是直線X=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，4PAB的面積為21,求點(diǎn)P坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=上位于第四象限的圖象上，AQAB的面積為21,請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo).

x

17.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A3,0，與y軸交于點(diǎn)B,且關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).

(1)求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是0<y〈2t-1,求t的值;

⑶點(diǎn)c是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D,在y軸上是否存

在點(diǎn)E,使得以B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

18.（2024?四川南充?中考真題）已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0,B3,0.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段0C上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），殿PA,PB分別交拋物線

于點(diǎn)E,D,設(shè)4PAD面積為Si，Z\PBE面積為S2,求￡的值；

⑶如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K的直線（不與對(duì)稱(chēng)軸重合）與拋物線交于點(diǎn)M,

N,過(guò)拋物線頂點(diǎn)G作直線l〃x軸，點(diǎn)Q是直線1上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN的最小值.

19.（2024?吉林?中考真題）如圖，在4ABC中，ZC=90,ZB=30,AC=3cm,AD是AABC的角平分線.

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以J3cm/s的速度沿折線AD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB,交AC于

點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQE,且點(diǎn)C,E在PQ同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tst>0,APQE

與AABC重合部分圖形的面積為Scm2.

⑴當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷AAPQ的形狀（不必證明），并直接寫(xiě)出AQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式

表示）.

⑵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值.

⑶求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

20.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）如圖，拋物線y=x2-x+c與x軸交于點(diǎn)A-1,0和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

6

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0<xW2時(shí)，求y=x2-x+c的函數(shù)值的取值范圍；

⑶將拋物線的頂點(diǎn)向下平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+

■PM的最小值.

21.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形0AB的邊0B在x軸上，

點(diǎn)A在第一象限，0A的長(zhǎng)度是一元二次方程x2°、°的根，動(dòng)庶從雨出發(fā)以每秒個(gè)單

管度的速度沿折線OA-AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)0出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB-BA運(yùn)

動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0〈t〈3.6）,ZkOPQ的面積為S.

⑵求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在⑵的條件下，當(dāng)S=6/H時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)0、P、M、N為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

22.（2024?江西?中考真題）綜合與實(shí)踐

如凰在RtZkABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連妾CD,以CD為直角邊在CD

工m

的右側(cè)構(gòu)造R&DE,NDCE=9。，連接BE,CA

CD

圖1圖2圖3

特例感知

(1)如圖1,當(dāng)m=1時(shí)，BE與AD之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是；

類(lèi)比遷移

⑵如圖2,當(dāng)mW1時(shí)，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

⑶在⑴的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=6,設(shè)AD=x，四

邊形CDFE的面積為y.

①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；

②當(dāng)BF=2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)度.

23.(2024-黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=4x-2與x軸

交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)A,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2'UA'c與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為3(

身，0),點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC

于點(diǎn)E,點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若4ACD是以AC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)EF=AC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在⑶的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為M,連妾NA,

MP,貝ljNA+MP的最小值為.

24(2024?四川廣元?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A-3,-1，與y軸交于點(diǎn)B0,2.

8

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C,連妾0C交AB于點(diǎn)D,求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑶作拋物線F關(guān)于直線y=T上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖象F，拋物線F與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右

側(cè)），G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以B,E,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

25.（2024?母?中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片0ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)00,0，點(diǎn)A3,0,

（1）填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

⑵若P為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線1x軸，沿直線1折疊該紙片，折疊后點(diǎn)0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

0落在x軸的正半軸上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C.設(shè)OP=t.

①如圖②，若直線1與邊CB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)折疊后四邊形POCQ與00ABC重疊部分為五邊形時(shí)，

0C與AB相交于點(diǎn)E.試用含有t的式子表示線段BE的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)春WtW,時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

oq

26.（2024?湖南?中考真題）已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-2,5，點(diǎn)P當(dāng)，Qx2,y是此二

2

次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方，過(guò)點(diǎn)P作PC，x軸于

點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,連妾AC,DQ,PQ.若x?=X]+3,求正底上的值為定值；

ADC

⑶如圖2,點(diǎn)P在第二象限，握=-2可，若點(diǎn)M在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為5-1,過(guò)點(diǎn)M作MN軸

于點(diǎn)N,求線段MN長(zhǎng)度的最大值.

27.(2024?廣東?中考真題)【問(wèn)題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B,D是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)OD>0B,癖

段BD為對(duì)角線作矩形ABCD,AD〃x軸.反比例函數(shù)y=乂的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

X

【構(gòu)建聯(lián)系】

⑴求證：函數(shù)y=乂的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

X

⑵如圖2,拇E形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為12

時(shí)，求k的值.

【深入探究】

⑶如圖3,把碗ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E,A重合時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)P.

以點(diǎn)。為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作。0.若0P=司金，當(dāng)。0與4ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍.

圖1圖2圖3

28.(2024-四川達(dá)州?中考真題)如圖1,拋物線y=ax2+kx-3與x軸交于點(diǎn)A-3,0和點(diǎn)B1,0，與y軸

10

交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連妾AC,DC,殿A(yù)C交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M,若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且

SAPMC=2SADMC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上位于點(diǎn)D上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三

角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=ax2+bx+caWO的圖像

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A4,0.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B1,3，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE_Lx軸于點(diǎn)E,與直線

AB交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P,彳螭△BPD與AAOC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線y=-1~x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

⑵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂

線，垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有

最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)/MCB=45時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

31.(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，拋物線yl=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC

=0A,AB=4,對(duì)稱(chēng)軸為直線I1:x=-1,將拋物線工繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180后得到新拋物線”,拋物線％與y

軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為E,對(duì)稱(chēng)軸為直線12.

(1)分別求拋物線力和y2的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為-6,0,動(dòng)點(diǎn)M在直線L上，過(guò)點(diǎn)M作MN〃*軸與直線L交于點(diǎn)N,睡

FM,DN.求FM+MN+DN的最小值；

⑶如圖2,點(diǎn)H的坐標(biāo)為0,-2，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線丫2上，試探究是否存在點(diǎn)P,使NPEH=2NDHE?

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.(2024?甘肅?中考真題)如圖1,拋物線y=ax-h2+k交x軸于0,A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B2,2/3?點(diǎn)

C為0B的中點(diǎn).

12

(1)求拋物線y=a(x-h*+k的表達(dá)式；

⑵過(guò)點(diǎn)C作CH，0A,垂足為H,交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長(zhǎng).

⑶點(diǎn)D為線段0A上一動(dòng)點(diǎn)(0點(diǎn)除外)，在0C右側(cè)作平行四邊形0CFD.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②如圖3,般BD,BF,求BD+BF的最小值.

(1)如圖1,若點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，連接CD,過(guò)點(diǎn)A作AE，CD交BC于點(diǎn)E.若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求

證：AC=2BD；

⑵如圖2,若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G,瞰CF.

過(guò)點(diǎn)F作FM，BG交AB于點(diǎn)M,CN平分NACB交BG于點(diǎn)N,求證：AM=CN+^BD；

⑶若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，且AF=AC.點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

FP,將FP繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到FQ,峨BQ,點(diǎn)R是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR,QR.在點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BQ取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將4BQR沿直線QR翻折得到ATQ%睡FT.在點(diǎn)

R的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出黑］的最大值.

動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,腕ABCD中，BD為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)，沿著D-B-C

的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ_LCD,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PQ-DQ為y,y與x的函數(shù)圖

11

D.

4

【答案】B

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定CD的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+BP=4時(shí)，PQ=CD=2,此時(shí)點(diǎn)P在BC邊上,

設(shè)此時(shí)BP=a，貝l|BD=4-a,AD=BC=2+a,

部/ZkBCD中，BD2-D"一,

即：24-a2-a+22=22,

解得：a

AAD=a+2=y,

故選：B.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=9。,AB=12,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從

點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF,以EF為邊向下做正方形EFGH,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x0<x<12，正方形

EFGH和等腰RtAABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】A

【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問(wèn)題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的

關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)HG與BC重合時(shí)，及當(dāng)xW4時(shí)圖象的走勢(shì)，和

當(dāng)x>4時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)HG與BC重合時(shí)，設(shè)AE=x,由題可得：

.\EF=EH=BE=12-x,

2-

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BEon2cn2

V2x2+2=12-x2,

x=4,

???當(dāng)0<xW4時(shí)，y=Qx2=2x2,

V2>0,

???圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)HG在BC下方時(shí)，設(shè)AE=x,由題可得：

AEF=小，BE=12-x,

VZAEF=ZB=45,ZA=ZEOB=9（J,

AAFAE^AEOB,

?AE=E0

,x_E0

"%-x'

12-x

?.當(dāng)4〈x〈12時(shí)，y=/2x12-xx=-x2+12x,

/-I<0,

,?圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確,

故選：A.

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，

且滿足AE=BF,AF與DE交于點(diǎn)。，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB,則0M+

2

：FG的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明

△ADE^ABAFSAS得至！J/ADE=NBAE,進(jìn)而得到NDOF=9O,則由直角三角形的性質(zhì)可得0M=

：DF,如圖標(biāo)，在AB延長(zhǎng)線上截取BH=BG,9FH,易證明△FBGgAFBHSAS，貝。FH=FG,可

得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)OM+1FG有最小值，最小值即為DH的長(zhǎng)的一半,

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=JAD?丁八口2-iU,+~PG的最小值為5.

備解】解：：四邊形ABCD是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZABC=90,

又；AE=BF,

.?.△ADE義ABAFSAS,

Z.ZADE=ZBAF,

.\ZD0F=ZAD0+ZDA0=ZBAF+ZDA0=ZDAB=90,

,:點(diǎn)、M是DF的中點(diǎn)，

/.0M=-j-DF；

如圖所示，在AB延長(zhǎng)線上截取BH=BG,9FH,

VZFBG=ZFBH=90,FB=FB,BG=BH,

.?.△FBGgAFBHSAS,

.*.FH=FG,

OM+；FG=：DF+：HF=gDF+HF,

...當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)OM+XFG有最小值，最小值即為DH的長(zhǎng)的一半,

VAG=2GB,AB=6,

；.BH=BG=2,

AAH=8,

J^RtAADH中，由勾股定理得DH=代型丁八口2一

AOM+:FG的最小值為5,

故選：B.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形ABCD的點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB-BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為X,P0的長(zhǎng)為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)

時(shí)，P0的長(zhǎng)為（）

D.2V2

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，P0=A0=4,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P0=B0=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)，得

ZAOB=ZBOC=90,繼而得到AB=BC=〃0A2+OB?=2/5,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，P0的長(zhǎng)為

C=e，解得即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象，得到當(dāng)x=0時(shí)，P0=A0=4,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P0=B0=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得/AOB=ZB0C=90,

,AB=BC=VOA2'UD2丁，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，P0的長(zhǎng)為：BC=JE,

故選C.

5.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZB=3G，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,DE,過(guò)點(diǎn)A作AF±DE于點(diǎn)P.設(shè)DE=x,AF=y,則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量x的取值范圍）（）

18D.yi

Cr.y=——

XX

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的

性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過(guò)D作DH，BC,交BC延長(zhǎng)線于H,則NDHE=90,木雕菱形的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,蜥利用含30度角的

直角三角形的性質(zhì)DH=-1CD=3,證明AAFD-ADHE得到*=普，然后代值整理即可求解.

乙1）nDE

【詳解】解：如圖，過(guò)D作DH，BC,交BC延長(zhǎng)線于H,則NDHE=90,AD

:在菱形ABCD中，AB=6,ZB=30°,^7\

AB〃CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

B

.\ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30,gc'......"

9

在RtACDH中，DH=^-CD=3,

VAF_LDE,

AZAFD=ZDHE=90，又NADF=NDEH,

:?△AFDSADHE,

.AFAD

VDE=x,AF=y,

.y=6

?丁丁

?

??y_—18—9

x

故選：c.

二、填空題

6.（2024-的揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知兩條平行線L、L，點(diǎn)A是L上的定點(diǎn),AB1于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分

別是L、12上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=BD,?CD交線段AB于點(diǎn)E,BH±CD于點(diǎn)H,則當(dāng)NBAH最大

時(shí)，sinZBAH的值為.

【分析】證明AACE之ABDEASA，酬BE=AE=JAB,全叫BH_LCD,得出NBHE=90,說(shuō)明點(diǎn)H在

以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段BE的中點(diǎn)0,以點(diǎn)0為圓心，0B為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)H在。。上運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明

當(dāng)AH與。0相切時(shí)/BAH最大，得出OHJ_AH,1矚AO=AE+0E=30E,利用sinNBAH=—=

A0

黑_=I.,即可求出結(jié)果.

30E3

【詳解】解：???兩條平行線1、1,點(diǎn)A是1上的定點(diǎn)，AB，21于點(diǎn)B,

???點(diǎn)B為定點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度為定值，

”〃12，

AZACE=ZBDE,ZCAE二ZDBE,

VAC=BD,

:?△ACE也ABDEASA,

ABE=AE=yAB,

VBH_LCD,

AZBHE=90,

???點(diǎn)H在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，取線段BE的中點(diǎn)0,以點(diǎn)0為圓心，0B為半徑畫(huà)圓,

則點(diǎn)H在。。上運(yùn)動(dòng),

???當(dāng)AH與。0相切時(shí)NBAH最大,

AOH_LAH,

VAE二OB=2OE,

AAO=AE+OE=3OE,

VOH=0E,

OH_OE_1

二?sinNBAH=

TO--3OE-豆

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等

知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在nABCD中，AB=4,AD=5,ZABC=30，點(diǎn)M為直線BC上一

動(dòng)點(diǎn)，則MA+MD的最小值為.

【答案】@

【分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,原AD交BC于M，則AH=AH,AH±BC,AM=AM,

當(dāng)M,M重合時(shí)，MA+MD最小，最小值為AD,再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【怖】解：如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,雌AD交BC于M，則AH=AH,AH，BC,AM=

AM,

...當(dāng)M,M重合時(shí)，MA+MD最小，最小值為AD,

VAB=4,ZABC=3ff，在口ABCD中，

.".AH=yAB=2,AD〃BC,

AAA=2AH=4,AA±AD,

VAD=5,

A

AD=J42+5Z=內(nèi),

故答案為：、何

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，求最小值問(wèn)題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，OM的圓心為M4,0，半徑為2,P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作。M的切線，切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為

【答案】2/7

【分析】記直線y=x+4與x,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接QM,PM,KM；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐

標(biāo)，從而得△0AK,40KM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=JPM）-Q,由QM=2,則

___________6

當(dāng)PM最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為KM，由勾股定理求得PM的最小值，從而求得

結(jié)果.

【詳解】解：記直線y=x+4與x,y軸分別交于點(diǎn)A,K,峨QM,PM,KM,

當(dāng)x=0,y=4,當(dāng)y=0,即x+4=0,

解得：x=-4,

即K(0,4),A(-4,0)；

而M4,0,

AOA=OK=0M=4,

.,.△OAK.AOKM均是等腰直角三角形，

.\ZAK0=ZMK0=45,

AZAKM=90,

：QP與。M相切，

AZPQM=90,

/.PQ=JPM'z-Q曠,

VQM=2,

...當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，

.?.當(dāng)PM，AK時(shí),取得最小值，

即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為KM,

在RtZkOKM中，由勾股定理得：KM0MZ+0K2=

PQ=〃32-4=2。,'

；?、最小值為2〃.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，垂線段最短，正確添加輔助線

是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NA0B=50，點(diǎn)P為NA0B內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線0A、點(diǎn)N

為射線0B上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APNIN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則/MPN=.

【答案】80月0度

【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)P關(guān)于0A,

0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Pj,P2.連接0P”0P*則當(dāng)M,N是PR2與0A,0B的交點(diǎn)時(shí)，MN的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)

稱(chēng)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：作P關(guān)于0A,0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R,b連接OP-0P2.則當(dāng)M,N是BP?與0A,0B的交點(diǎn)時(shí)，

△PMN的周長(zhǎng)最短，連接PF、P2P,

VP,Pl關(guān)于0A對(duì)稱(chēng)，

.\ZPjOP=2ZM0P,OPj=OP,PjM=PM,ZOPjM=/OPM,

A

//必2

同理，NgOP=2NN0P,OP=OR,NORN=NOPN,

；./PiOP2=ZROP+ZP20P=2(ZM0P+ZNOP)=2ZA0B=100,OPj=0P2=OP,

.?.△PQP2是等腰三角形.

.\Z0P2N=ZOPxM=40,

Z.ZMPN=ZMPO+ZNPO=Z0P2N+NOP1M=80

故答案為：80.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0,B0,2，過(guò)成B作y軸的垂線

1,P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，連接P0,PA,則P0+PA的最小值為

【答案】5

【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題以及勾股定理和軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì).先取點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,

連A0交直線1于點(diǎn)C,連AC,德UAC=AC,AA±1,再由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得至U

當(dāng)0,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，P0+PA的最小值為A0,再利用勾股定理求A0即可.

【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連A0交直線1于點(diǎn)C,連AC,

則可知AC=AC,AA±1,

Z.PO+PA=P0+PA2A0,

即當(dāng)0,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，P0+PA的最小值為A0,

.直線1垂直于y軸，

；.AA_Lx軸，

VA3,0,B0,2,

A0=3,AA=4,

.?.在RtZkAA0中，

A0=J0A：+AA2K32+42=5,

故答案為：5

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在4ABC中，ZABC=60,BC=8,E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=2,點(diǎn)

I是AABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為.

8

A

【答案】2/13

【分析】在AB取點(diǎn)F,使BF=BE=2,雌PF,CF,過(guò)點(diǎn)F作FH，BC于H,利用三角形內(nèi)心的定義可得

出/ABD=ZCBD,禾幃SAS證明△BFPg/kBEP,彳融PF=PE,貝I]PE+PC=PF+PC》CF,當(dāng)C、

P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30的直角三角形的性質(zhì)求出BH,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【詳解】解：在AB取點(diǎn)F,使BF=BE=2,峨PF,CF,過(guò)點(diǎn)F作FH，BC于H,

VI>AABC的內(nèi)心，

...BI平分ZABC,

Z.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

.?.△BFPgABEPSAS,

APF=PE,

APE+PC=PF+PC》CF,

當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,

VFH_LBC,ZABC=60,

.\ZBFH=30,

ABH=；BF=1,

AFH=VBF2-BH-=F，CH=BC-BH=7,

CF=JCH2+FH2=2W，

APE+PC的最小值為2g.

故答案為：QB.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在口ABCD中，NC=120,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將4DEF沿EF翻折得EF,雌AD,BD,KJAABD面積的最小值為

【答案】20/3-16/-16+20/3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8,AB〃CD,ZABC=60,由折疊性質(zhì)得到ED=DE=4,

進(jìn)而得到點(diǎn)D在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)E作EM_LAB交AB延長(zhǎng)線于M,交圓E于

D，止的D到邊AB的距離最短，最小值為DM的長(zhǎng)，即此時(shí)AVBD面積的最小，過(guò)C作CNLAB于N,根

據(jù)平行線間的距離處處相等得到E