2024年中考數(shù)學試題分類匯編：幾何綜合壓軸題（40題）解析版

專題35幾何綜合壓軸題（40題）

一、解答題

1.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知AABC是等腰三角形，AB=AC,AMAN=-ABAC,/MAN

2

在/R4C的內部，點M、N在8C上，點〃■在點N的左側，探究線段8“、NC、"N之間的數(shù)量關系.

由ABAC=90°,=NC可知，將4ACN繞點/順時針旋轉90°,得到AABP,則CN=BPa2PBM=90°,

連接尸河，易證絲△4W,可得=在Rt△尸3加■中，BM-+BP2=MP~＞則有

BM2+NC2=MN2.

（2）當N34C=60。時，如圖②：當N2/C=120。時，如圖③，分別寫出線段加0、NC、"N之間的數(shù)量關

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

【答案】圖②的結論是：BM2+NC2+BM-NC^MN2;圖③的結論是：BM2+NC2-BM-NC^MN2;證

明見解析

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，30度角所對的直角邊等于斜邊的一

半，勾股定理等知識，選②，以點8為頂點在A/IBC外作448K=60。，在3K上截取BQ=CN,連接

QM,過點。作垂足為〃，構造全等三角形，得出ZN=Z0,/CAN=NQAB,再證明

AAQM名AANM,得到MN=0/；在中由勾股定理得。獷+而2=0刊2,即

^-BQ+yBM+^BQ^=QM2,整理可得結論；選③方法同②

【詳解】解：圖②的結論是：BM2+NC2+BM-NC=MN2

證明：*/AB=AC,ABAC=60°,

是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

第1頁共137頁

以點8為頂點在“3C外作/ABK=60。，在3K上截取3。=CN,連接。4QM,過點。作。

垂足為H,

從//\\

\///\\?」AB=AC,/C=ZABQ,CN=BQ

Qh/j\\

HB/KiN\~c

:.A4CN咨AABQ

/.AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又???/CAN+NBAM=30°

:.ZBAM+ZQAB=30°

即/QAM=/MAN

X-：AM=AM,

:.MN=QM-

?.?ZABQ=60°,ZABC=60°,

.??ZQBH=60°,

：./BQH=30。,

■■-BH=^BQ,QH=^-BQ

：.HM=BM+BH=BM+^BQ,

在中，可得：QH-+HM2=QM2

即~YBQ\+{BM+^BQ\=QM2

整理得BM2+BQ2+BM-BQ=QM2

BM2+NC2+BM-NC=MN2

圖③的結論是：BM2+NC2-BM-NC=MN2

證明：以點3為頂點在AABC外作乙4BK=30。，在BK上截取BQ=CN,連接Q4,過點。作?！?，BC,

垂足為H,

第2頁共137頁

AB=AC,NC=ZABQ,CN=BQ

:.AACN/AABQ

AN=AQ,/CAN=NQAB

又/CAN+ABAM=60°

:.ZBAM+ZQAB=6Q°

即ZQAM=ZMAN

又；AM=AM,

:./\AQM^AANM,

:.MN=@M

在〃中，ZQBH=60°,ZBQH=30°

iR

■.BH=-BQ,QH^BQ

HM=BM-BH=BM-；BQ,

在網中,可得：QH2+HM2=QM2

即號BQ+^BM-^BQ^=QM2

整理得BM2+BQ1-BMBQ=QM2

BM2+NC2-BM-NC=MN2

2.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發(fā)生折射時，入射角a的正

sinOL

弦值與折射角P的正弦值的比值「叫做介質的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播時,

smp

介質對光作用的一種特征.

第3頁共137頁

(1)若光從真空射入某介質，入射角為折射角為尸，且cosa=,，尸=30。，求該介質的折射率；

(2)現(xiàn)有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點/,B,C,。分別是長方體棱的中點，

若光線經真空從矩形42Q4對角線交點。處射入,其折射光線恰好從點C處射出.如圖②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面48CD的面積.

【答案】嗚3；

(2)1005/2cm2.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，勾股定理等知識，

(1)根據(jù)cosa=^^，設b=4^x，則c=4x,利用勾股定理求出a==3x，進而可得

n

sina=q=F=：3,問題即可得解；

c4x4

(2)根據(jù)折射率與(1)的材料相同，可得折射率為根據(jù)當=吧萼=：,可得疝1萬=也，則有

2sinpsin/?23

n

sinZOCD=sinJ3=——，在Rtz^ODC中，設=OC=3x,問題隨之得解.

3

【詳解】⑴???cosa=&，

4

如圖，

設6=缶，則c=4無，由勾股定理得，q=J(4x)2_(V7x)2=3龍,

..a3x3

sma=—=——二—

c4x4

第4頁共137頁

又,"=30。,

sin/}=sin30°=；,

3

?_LLg_L+、rsina43

.?折射率為：――--Y=~.

smp￡2

2

3

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為:,

2

a=60。，

...sinjsin60°=3

**sin/?sin/?2'

sinP=.

???四邊形45CD是矩形，點。是4D中點，

:?AD=2OD,D2）=90°,

又,.?ZOCD=/3f

sinZOCD=sin尸=,

3

在RtZXOOC中，設OD=&,OC=3xf

由勾股定理得，C0=J（3X）2-（瓜）2=瓜，

OPV3x1

tan/3=

CD*>x拒

又：CD=10cm,

OD_1

OD=55/2cm，

AD=1oV2cm，

，截面48CD的面積為：10e乂10=100收加2.

3.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形48co中，點尸在邊/。上，AB=AF,連接3月,

點。為8F的中點，/。的延長線交邊于點E,連接EE

(1)求證：四邊形48E尸是菱形:

第5頁共137頁

⑵若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=1,ABAD=120°,求/￡的長.

【答案】(1)見解析

⑵AE=5

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等知識：

(1)由平行四邊形的性質得/尸〃3瓦44五8=/￡8尸,=再證明△/<?尸之△E05,得出

BE=AF,證明出四邊形跖是平行四邊形，由48=/尸得出四邊形/3EP是菱形：

(2)求出菱形/3E尸的周長為20,得出/8=5,再證明A48￡是等邊三角形，得出/E=/8=5.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,即AF//BE,

：.AAFB=ZEBF,ZFAE=ZBEA,

'：。為8F的中點，

/.BO=FO,

：.AAOF^Z\EOB,

：.BE=FA,

■：AF//BE,

...四邊形/BE尸是平行四邊形，

又AB=AF,

...四邊形/BE尸是菱形；

(2)解：；AD=BC,AF=BE,

/.DF=CE=1,

:平行四邊形ABCD的周長為22,

菱形跖的周長為：22-2=20,

/8=20+4=5,

?.?四邊形/BE尸是菱形，

NBAE=-ABAD=-xl20°=60°,

22

又AB=AE,

△ABE是等邊三角形，

AE=AB=5.

4.(2024?四川甘孜?中考真題)如圖，N8為。。的弦，C為蕊的中點，過點。作CD〃4B,交的延

長線于點D連接04OC.

第6頁共137頁

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。1=3,BD=2,求AOCD的面積.

【答案】(1)見解析

⑵6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知OCL/B,據(jù)此即可求證；

(2)利用勾股定理求出即可求解；

【詳解】(1)證明：為。。的弦，C為凝的中點，

由垂徑定理的推論可知：0C_LN8,

,?CD//AB,

：.OCLCD,

?/0c為OO的半徑，

是。。的切線；

(2)解:VOB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=^OD2-OC2=4，

Sy0CD=；xOCxCD=6.

5.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖1,在矩形4BCD中，點E為/。邊上不與端點重合的一動點，點尸是

對角線AD上一點，連接BE,即交于點O,且乙4BE=ND4F.

【模型建立】

(1)求證：AF±BE；

【模型應用】

(2)若48=2,40=3,DF=-BF,求。E的長；

2

【模型遷移】

第7頁共137頁

1AF

⑶如圖2,若矩形皿。是正方形，DF^-BF,求而的值.

【分析】本題考查矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識

點，構造相似三角形，是解題的關鍵：

(1)根據(jù)矩形的性質，結合同角的余角，求出4?！?90。，即可得證；

(2)延長斯交C。于點G,證明A/EBSAGFD,得至1」型=空=!，再證明A/BESAQ/G,求出/E的

ABBF2

長，進而求出DE的長；

TJ1/—1T\zy1

(3)設正方形的邊長為延長交于點G,證明,得到=-二—,進而

ABAFBF2

得到勾股定理求出NG,進而求出"的長，即可得出結果.

2

【詳解】解：⑴???矩形48cZ),

???ZBAD=90°,

：.ZABE+ZAEB=90°,

?.?/ABE=ZDAF,

：.ZDAF+ZAEB=90°,

：./AOE=90。,

：.AF工BE；

(2)延長冊交CO于點G,

ffll

,矩形45m

???AB//CD,ZBAD=ZADG=90°,

???小AFBS^GFD,

.DGDF

??劉一壽一5'

第8頁共137頁

DG=-AB=\,

2

?：NBAD=ZADG=90。,NABE=NDAF,

：.小ABEs^DAG,

,AB_AE_2

??茄一而一

22

???AE=—DG=—,

33

27

DE=AD-AE=3——二—；

33

（3）設正方形/5CZ）的邊長為。，貝!J：AB=AD=a,

延長冊交CO于點G,

???正方形45CD,

?,.ABAD=ZADG=90°,AB//CD,

：.AAFBS^GFD,

,DGFGDF

??花一而—而一'，

DG=-AB=-a,FG=-AF,

222

AG=飛心+DG?=—a,

2

-：FG=-AF,

2

..c,_2__V5

,?A.F——A.G——ci,

33

亞a

AF亍亞.

ADa3

6.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖1,。是正方形/BCD對角線上一點，以。為圓心，OC長為半徑的

。。與/。相切于點E,與NC相交于點尸.

第9頁共137頁

圖1圖2

(1)求證：48與。。相切.

(2)若正方形/BCD的邊長為行+1，求。。的半徑.

(3)如圖2,在(2)的條件下，若點M是半徑OC上的一個動點，過點M作交無于點N.當

CM:EM=1:4時，求CN的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵血

(3)巫

【分析】(1)方法一：連接OE,過點。作OGLN8于點G,四邊形48co是正方形，NC是正方形的對

角線，得出。E=0G,進而可得OG為。。的半徑，又OG14B,即可得證；

方法二m連接?！?過點。作OGL/3于點G,根據(jù)正方形的性質證明”?！杲zA/OG(AAS)得出O￡=OG,

同方法一即可得證；

方法三：過點。作OGL48于點G,連接OE.得出四邊形/E0G為正方形，則OE=OG,同方法一即可

得證；

(2)根據(jù)。。與4D相切于點E,得出4EO=90。，由(1)可知設AE=0E=OC=OF=R,

在Rt^/EO中，勾股定理得出/。=血火，在RtA40c中，勾股定理求得/C,進而根據(jù)。/+OC=/C建

立方程，解方程，即可求解.

(3)方法一：連接ON,設CM=左，在RtZkOAW中，由勾股定理得：MN=2k,在RsCAW中，由勾股

定理得：CN=瓜,結合題意/C=54=2R=2x0=2Q得出左=笠-即可得出CN=^^；

方法二：連接W,證明△CNMs/^cm得出cM,進而可得CM=1Cb=2包，同理可得CN

55

方法三：連接m,證明△CNMs△CW得出NC°=MC-FC,設CM=k,則FC=5k,進而可得NC=瓜,

進而同方法一,即可求解.

【詳解】(1)方法一：證明：連接OE,過點。作。GLN8于點G,

第10頁共137頁

。。與/。相切于點E,

OELAD.

???四邊形/BCD是正方形，NC是正方形的對角線,

ABAC=ADAC=45°,

OE=OG,

???OE為。。的半徑，

「.OG為。。的半徑，

OG1AB,

48與。。相切.

方法二：

證明：連接OE,過點。作。G,45于點G,

???。。與40相切于點￡,，0￡_1/。，

ZAEO=ZAGO=90°,

四邊形/BCD是正方形，

ABAC=ADAC=45°,

又,??AO=AO,

A/OE絲ANOG(AAS),

OE=OG,

???OE為。。的半徑,

??.OG為。。的半徑,

■■■OGVAB,

48與。。相切.

方法三：

證明：過點。作OGL48于點G,連接OE.

?.?4D與。。相切，OE為。。半徑，

第11頁共137頁

/.OELAE,

/.ZAEO=90。,

OGIAB,

/.4G。=90。，

又:四邊形/BCD為正方形，

/.ZBAD=90°f

二.四邊形ZEOG為矩形，

又???/C為正方形的對角線，

/.ZEAO=ZGAO=ZAOE=45°,

/.OE=AE,

矩形NEOG為正方形，

OE=OG.

又?.??！隇椤?。的半徑，

；.OG為OO的半徑，

又；OGLAB,

48與。。相切.

（2）解：?.?/C為正方形48co的對角線，

ADAC=45°,

。。與/。相切于點E,

NAEO=90。,

...由（1）可知AE=OE,設AE=OE=OC=OF=R,

在RtZX/EO中，

AE2+EO2^AO2,

AO2=R2+R2,

■:R>Q，：.AO=4iR，

又：正方形/BCD的邊長為應+1.

在RtA40c中，

AC=yjAD2+CD2=A/2（V2+1）,

OA+OC=AC,

同+尺=回逐+1）,

第12頁共137頁

：.R=C.

。。的半徑為及.

(3)方法一：

解：連接ON,設CM=k,

■■CM;FM=1:4,

：.CF=5k,

OC=ON=2.5k,

OM=OC—CM=\5k.

在Rt^OAW中，由勾股定理得：MN=2k,

在RbCAW中，由勾股定理得：CN=瓜，

又；FC=5k=2R=2義猴=2m，

272

丁

AED

B

方法二：

解：連接網，

?.?C戶為OO的直徑，

/CNF=9。。，

/.ZFNM+ZCNM=90°,

MN1AC,

/./NFM+/FNM=90。,

/.ZNFM=/CNM,

???ZNCM=ZFCN,

MNMs叢CFN,

CN1=CMCF,

第13頁共137頁

■■■CM:FM=1:4,CF=5CM,

CN=45CM,

,-,CF=2R=2xC，=2亞，

CM，CF=^~,

55

./72V22ViO

…CN=yJ5x-------=---------?

55

方法三:

解：連接兩，

???CF為。。的直徑，

ZCNF=90°,

/./FNM+/CNM=90°,

vMN1ACf

/.ZNFM+ZFNM=90°f

/.ZNFM=ZCNM,

?/ZNCM=ZFCN,

叢CNMs叢CFN,

.NCFC

''MC~NC'

NC2=MCFC,

???CM:FM=1:4,

/.CM:FC=1:5,

沒CM=k,則尸。=5左，

NC2=kx5k,

NC=限.

又「FC=5k=2R=2xC=26，

第14頁共137頁

5

CN=45X^=^-

55

【點睛】本題考查了切線的性質與判定，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理,

相似三角形的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵.

7.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）數(shù)學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題.如

圖1,在。8C中，A8=/C,點。是/C上的一個動點，過點。作。于點E,延長即交8/延長

線于點F.

圖1圖2

請你解決下面各組提出的問題:

⑴求證：AD=AF；

⑵探究D立P與■AD的關系;

AD1r）p

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當黑=;時，W8

Z/C3DEI當箝加.5

請你繼續(xù)探究：

①當照=:時，直接寫出器的值；

JDC6JDE

②當AT）=='YYI時，猜想DF專的值（用含羽,力的式子表示），并證明;

DCnDE

（3）拓展應用：在圖1中，過點歹作EP，NC,垂足為點P,連接CF,得到圖2,當點。運動到使ZACF=NACB

）M/7

時，若A黑1~=%,直接寫出AP差的值（用含他，〃的式子表示）.

DCnAD

【答案】（1）見解析

第15頁共137頁

、小DF7DF2m、十門口.左力工廠

(2)①二7②—=——，證明見解析

DE3DEn

APn

(z3x)-----=—

「AD2m

【分析】(1)等邊對等角，得到N5=NC,等角的余角的相等，結合對頂角相等，得到/尸尸，即

可得出結論;

(2)①根據(jù)給定的信息，得到會是券的2倍，即可得出結果；

DEDC

②猜想空=也，作NG,即于點G,證明△/GOS^CE。，得至IJS￡=W￡=%，三線合一得到

DEnDEDCn

DF=2DG,即可得出結論；

(3)過點。作DGLCF,角平分線的性質，得到。G=Z)E,推出第=白，等角的余角相等，得到

DF2m

APDGW

AAFP=/DFG,進而得到sin//"=sin月G,^llj—,根據(jù)尸，即可得出結果.

AFDF2m

【詳解】(1)證明：???45=4。，

???NB=NC,

■:DELBC,

:?/BEF=/CED=900,

：.ZF=900-ZBfZCDE=90°-ZC,_&ZCDE=ZADF,

???ZF=ZADF，

：.AD=AF；

AD1DF8

(2)解：①當灰=§時,

~DEr當備河器5

r)pAD

???總結規(guī)律得：言是黑的2倍,

DEDC

:?當/I泊去好

廠”/ADm4DF2m

②當安丁時'猜想瓦=

n

第16頁共137頁

?；DEIBC,

：.AG//CE,

：.AAGDs^CED,

..ADm

?Be-7，

,GDADm

%%~DE~~DC~~n，

由(1)知4D=4F,又AG1EF,

：.DG=FG,即Z)方=2Z)G,

.DF2GD_2m

^~DE~DE--r；

?；NACF=/ACB,DEICE9

：.DG=DE,

.,wADm-LDF_2m

由(z2x)知，當——=一時,

DCnDEn

DE_n

DF2m

DGn

DF2m

'：PFLAC,

：.ZACF+ZCFP=90°,

9：FELBC,

：.ZB+ZAFD=90°,

???AB=AC,

：.ZACB=ZB,

：.ZB=ZACF,

???ZAFD=ZCFPf

第17頁共137頁

???ZAFD-/PFD=/CFP-/PFD,

：.ZAFP=/DFG,

：.sinZAFP=sinZDFG,

-4P_DGn

AFDF2m'

由(1)矢口4。=4尸，

.AP_AP_n

ADAF2m

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形

等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造特殊圖形和相似三角形，是解題的關鍵.

8.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點8,。是直線了=研(。>0)上第一象限內的兩個動點以線段

為對角線作矩形A8CD,AD//x^.反比例函數(shù)y=七的圖象經過點/.

X

【構建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)>=勺的圖象必經過點C.

X

(2)如圖2,把矩形/BCD沿8。折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點8的坐標為(1,2)時,

求人的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形48co沿8。折疊，點C的對應點為￡.當點￡,/重合時，連接NC交于點P.以

點。為圓心，ZC長為半徑作若。尸=3亞，當。。與"8C的邊有交點時，求發(fā)的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)k=~；(3)6<k<S

【分析】(1)設雙外胸)，則/見用含加水的代數(shù)式表示出再代入y=幺驗證即可得

VmJ\amJx

解；

第18頁共137頁

(2)先由點5的坐標和左表示出左-2,再由折疊性質得出2=——,如圖，過點。作。軸,

BE

過點2作既，了軸，證出ADHESAEFB,由比值關系可求出處'=2+4,最后由彼=DC即可得解；

(3)當。。過點8時，如圖所示，過點D作?！╨|x軸交y軸于點”，求出左的值，當。。過點/時，根據(jù)

A,C關于直線OD對軸知，。。必過點C,如圖所示，連/O,CO,過點。作DH||x軸交了軸于點

求出后的值，進而即可求出左的取值范圍.

【詳解】(1)設,貝！私公］,

/0|x軸,

'-D點的縱坐標為幺,

.?.將＞=幺?代入y=ax中得：幺="得,

kk

amm

,am,

.?.將x=上代入y=X中得出y=a%

amx

函數(shù)〉=X的圖象必經過點c；

(2):點8(1,2)在直線廣?上，

??o=2,

?9y—2%,

???4點的橫坐標為1,C點的縱坐標為2,

:函數(shù)y=上的圖象經過點4C,

k

2

??.DC=k-2,

,/把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E,

ABE=BC=--\,NBED=NBCD=90°,

DC_k-2_[_DE

:.京―k]一~~BE，

2

第19頁共137頁

如圖，過點。作軸，過點B作瓦天軸,

:?H,A,。三點共線，

工/HED+/BEF=90°,/BEF+AEBF=90°,

AHED=ZEBF,

?：/DHE=/EFB=9G。,

：.ADHES^EFB,

,PHHEDE2

**EF~BF~BE~'

VBF=1,DH=-

2

k

：.HE=2,EF=一,

4

：.HF=2+-,

4

由圖知，HF=DC,

：.2+-=k-2,

4

(3)?..把矩形48co沿M)折疊，點。的對應點為E,當點￡,/重合，

AC1BD,

二?四邊形/BCD為矩形，

四邊形48CD為正方形，/4BP=/DBC=45。,

4PL1

AAB=BC=CD=DA=---------=<2AP,AP=PC=BP=-AC,BPVAC,

sin4502

???軸，

?,?直線V為一，三象限的夾角平分線，

第20頁共137頁

，y=x,

當。。過點2時，如圖所示，過點。作//〃X軸交〉軸于點〃,

/O〃x軸，

：.H,A,。三點共線，

:以點。為圓心，/C長為半徑作。。，。尸=3近，

OP=OB+BP=AC+BP=24P+AP=314P=3后，

AP=叵，

AB=AD=y[2AP=2,BD=2AP=26，BO=AC=2AP=26，

'：48〃y軸，

ADHOSADAB,

.HOPHDO

""AB~AD~BD'

.HODH2亞+2近

,,2—2-272'

：.HO=HD=4,

：.HA=HD-DA=4-2=2,

??.Z（2,4）,

.?"=2x4=8,

當。。過點/時，根據(jù)4c關于直線對軸知，。。必過點C,如圖所示，連/O,CO,過點。作"7〃x

軸交〉軸于點”，

第21頁共137頁

AO=OC=AC,

???力。。為等邊三角形，

u：OPLAC,

：.ZAOP=-x60°=30°,

2

:.AP=tan30。xOP=匚乂36=R=PD,AC=BD=2AP=2&,

3

AB=AD=42AP=273,OD=BP+PD=3亞+a,

軸，

...ADHOS^DAB,

.HOPHDO

"AB~AD~BD

.HO_DH3V2+V6

"2V3-2A/3-276

HO=HD=3+43,

：.HA=HD-DA=3+6-26=3-右,

/（3一百,3+百），

k=（3-#'卜（3+6）=6,

：.當。。與^ABC的邊有交點時，k的取值范圍為6<^<8.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，一次函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的性質,

矩形的性質，正方形的判定和性質，軸對稱的性質，圓的性質等知識點，熟練掌握其性質，合理作出輔助

線是解決此題的關鍵.

第22頁共137頁

9.(2024四川遂寧?中考真題)如圖，48是。。的直徑，/C是一條弦，點。是就的中點，DNLAB于

點、E,交/C于點尸，連結。8交/C于點G.

(1)求證：AF=DF；

⑵延長GD至點M,使DM=OG,連接

①求證：是。。的切線；

②若DG=6,DF=5,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

(2)①證明見解析，②。。的半徑為?20.

【分析】(1)如圖，連接4D,證明工B=應5,可得N4RD=NCAD,證明而=介，可得N4DN=Z.ABD,

進一步可得結論；

(2)①證明乙4。8=90。=乙4。"，可得4D是MG的垂直平分線，可得4M=ZG,

AM=NAGD=AGAB+NB,ZMAD=ZGAD,而ZGAD=ZB,可得NMZD=ZB,進一步可得結論;

②證明可得AGDFSAGM4,求解4W=10,=-JAM2-MD2=8?結合

八,AD8ABAB一始小山

tanZAf=——=-=——=—,可得答案.

MD6AM10

【詳解】(1)證明：如圖，連接4D,

:點。是就的中點,

AD=CD>

第23頁共137頁

???ZABD=/CAD,

■:DN1AB,為。。的直徑,

?*-AN=AD，

ZADN=NABD,

???ZADN=ACAD,

AF=DF.

(2)證明：①???/5為。。的直徑，

JZADB=90°=ZADM,

???ZB+ZBAD=90°,

???DM=DG,

???40是MG的垂直平分線，

AM=AG,

：.AM=NAGD=ZGAB+ZB,ZMAD=NGAD,

而NGAD=ZB,

：.ZMAD=NB,

ZMAD+ABAD=/B+ABAD=90°,

???/BAM=90。,

*/AB為OO的直徑，

???//是。。的切線；

②;DG=6,

：.DM=DG=6,

?；DN工AB,/跖18=90。，

???DE//AM,

：.AGDFS八GMA,

,DG_DF_6

"GM~AM~

'：DF=5f

：.AM=10,

?*-AD=4AM1-MD1=8，

tai*_ABAB

MD6~AM~10

第24頁共137頁

普=竺，

63

???。。的半徑為三20.

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，弧與圓心角之間的關系，切線的判定與性質，相似三角形的判

定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵.

10.（2024?四川德陽?中考真題）已知。。的半徑為5,B、C是。。上兩定點，點A是。。上一動點，且

NBAC=60°,ZBAC的平分線交。。于點D.

（1）證明：點。為前上一定點；

⑵過點D作BC的平行線交AB的延長線于點F.

①判斷。尸與OO的位置關系，并說明理由；

②若“BC為銳角三角形，求。尸的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）①。下與。。相切，理由見解析；②。尸的取值范圍為％尸＜5行.

2

【分析】（1）由/A4c的平分線交。。于點。，NB4c=60。,可得而=①，結合8、C是。。上兩定點,

可得結論；

（2）①如圖，連接OD,證明ODLBC,結合BC〃DF,可得ODLD萬，從而可得結論；

②分情況討論：如圖，當N48c=90。時，可得。尸=80=孚；如圖，連接AD,當44c8=90。，可得

DF=2BQ=573,從而可得答案.

【詳解】（1）證明：的平分線交。。于點。，ZBAC=60°,

：.ZBAD=ZCAD=30°,

工BD=CD，

'：B、C是。。上兩定點，

...點。為灰^的中點，是一定點;

第25頁共137頁

(2)解：①如圖，連接OD,

,:BD=CD，

：.OD1BC,

?：BC//DF,

：.ODLDF,

,：0。為半徑，

。尸是。。的切線；

②如圖，當N48C=90。時,

二/C為直徑，AC=10,

,/ABAC=60°,

：.44c8=30°,

,,AB—5，BC=>/102-52=5-\/3)

ZBQD=90°=ZFQD=NABC=ZFBQ,

四邊形BED。為矩形，

/.。尸=8Q=W；

如圖，連接AD,當N/1C3=9O。,

第26頁共137頁

A

VZACB=90%ODLBC,

：.0D//AC,

：./BOD=ABAC=60°,

OB=OD,

：.ABOD為等邊三角形,

OQ=QD,

同理可得：BQ二當,

??,BC//DT,

:.AOBQS^OFD,

,OQ=BQ_=]_

,,OD~DF~2’

：.DF=2BQ=573,

當AABC為銳角三角形，DF的取值范圍為速＜。尸＜56.

2

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性

質，做出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關鍵.

11.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，“BC是。。的內接三角形，A8是。。的直徑，過點3作。。的切

線與/C的延長線交于點D,點E在。。上，AC=CE,CE交AB于點、F.

(1)求證：ZCAE=ZD

⑵過點C作CGL/8于點G,若。4=3,8。=3后，求尸G的長.

【答案】（1）證明見解析

第27頁共137頁

【分析】(1)由直徑所對的圓周角是直角得到/SCO=90。，則/D+NCBO=90。，由切線的性質推出

DABC+^CBD=90°,則NNBC=N。，再由同弧所對的圓周角相等和等邊對等角得到/￡=ZABC,

ZCAE=ZE,據(jù)此即可證明/C4E=/D；

(2)由勾股定理得40=3&，利用等面積法求出3c=2百，則/C=2",同理可得CG=2近，則NG=4,

進而得到BG=2；如圖所示，過點C作_L4E于H,則AE=2AH,證明AACBsACHA,求出AH=242>

貝!]/￡=4亞；設戶G=x,則/尸=4+x,證明尸，推出0尸=生回土其，在Rt^CG尸中，

476+

由勾股定理得—=(2后『+/,解方程即可得到答案.

【詳解】（i）證明：???/5是。。的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZBCD=90°f

：.ZD+ZCBD=90°；

?：BD是。。的切線，

：?￡ABD=90°,

：.DABC+￡CBD=90°,

J/ABC=ZD,

?：AC=AC'

：.NE=/ABC,

???AC=CE,

：.ZCAE=ZE,

???ZCAE=ZD；

（2）解：04=3,

JAB=2OA=6,

在RtA^Z）中，由勾股定理得AD=yjAB2+BD2=亞+0亞丁=3c,

82加=-ABBD=-ADBC,

/\ADU22

第28頁共137頁

AC=S!AB2-BC2=J6y2國=276，

同理可得CG=2c，

AG=yjAC2-CG2=^（276）2-（272）2=4，

BG=2；

如圖所示，過點C作CH_L/E于〃，貝ijNE=2/H,

由（1）可得NZ3C=/G4〃，/ACB=NCH4=9Q°,

：.AACBsLCHA,

.AHACnnAH2c

BCAB2736

AH=2V2，

AE=4日

設尸G=x,貝lj/尸=4+x,

VZE=ZCBF,ZEAF=ZBCF,

/\AEFs/\CBF,

.CFBCanCF_2A/3

AFAE4+x4后

?4^/6+戈x

??CJT=-------------，

4

在RtaCGF中，由勾股定理得CT”=CG2+BG2,

4^/6+加x、

4

解得x=1或x=4（舍去）,

【點睛】本題主要考查了切線的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，直

徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質等等，正確作出輔助線構造直角三角形和相似三角形是解題的

關鍵.

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12.(2024?四川南充?中考真題)如圖，正方形48co邊長為6cm,點￡為對角線/C上一點，CE=2AE,

點、P在AB邊上以1cm/s的速度由點/向點2運動，同時點。在8C邊上以2cm/s的速度由點C向點3運

動，設運動時間為［秒(0<Z<3).

(1)求證："EPSACEQ.

⑵當尸。是直角三角形時，求/的值.

(3)連接當tanN/Q￡=；時，求△ZE。的面積.

【答案】(1)見解析

(2)6-26秒或2秒

(3)4cm2

【分析】(1)根據(jù)正方形性質，得到/尸4石=/。位=45。，再題意得到7m=/3,從而得到AZEPSACE。；

CECQ

(2)利用題目中的條件，分別用/表示EP二尸。2、EQ2,再分別討論當NE尸。=90。、/尸石。=90。和

NPQE=90。時，利用勾股定理構造方程求出t即可；

(3)過點/作交C8的延長線于點凡連接