2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.若平面α⊥平面β,直線n?α,直線m?β,且m⊥n,則()A.n⊥β B.n⊥β且m⊥αC.m⊥α D.n⊥β和m⊥α中至少有一個成立2.如圖,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,過C1作C1H⊥底面ABC,垂足為H,則點H在()A.直線AC上 B.直線AB上C.直線BC上 D.△ABC內(nèi)部3.如圖,在四面體DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.(多選題)如圖,在以下四個正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是()5.已知l,m,n是三條不同的直線,α,β是不同的平面,則下列條件中能推出α⊥β的是()A.l?α,m?β,且l⊥mB.l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥nC.m?α,n?β,m∥n,且l⊥mD.l?α,l∥m,且m⊥β6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,B1C的中點,則EF與平面ABCD所成角的正切值為.7.在四面體PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB中點,請從以下平面中選出兩個相互垂直的平面.(只填序號)①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.8.已知l是平面β外的一條直線.給出下列三個論斷:①α⊥β;②l⊥α;③l∥β.以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題:.9.如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,E為PB的中點.(1)求證:EO∥平面PDC;(2)求證:平面PAC⊥平面PBD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.已知三棱錐PABC中,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,作PO⊥平面ABC,垂足為O,則點O是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心11.(多選題)如圖,點P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對角線BC1上運動,則下列結(jié)論正確的是()A.三棱錐AD1PC的體積不變B.A1P⊥平面ACD1C.DP⊥BC1D.平面PDB1⊥平面ACD112.(多選題)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,將△ABD沿BD折起.設(shè)折起后點A的位置為A′,并且平面A′BD⊥平面BCD.下面四個命題正確的是()A.A′D⊥BC B.三棱錐A′BCD的體積為22C.CD⊥平面A′BD D.平面A′BC⊥平面A′DC13.如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點,求證:(1)PA⊥平面ABCD;(2)平面BEF∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.14.如圖,在三棱錐PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=22,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且PM與平面ABC所成角的正切值為6,求二面角MPAC的平面角的余弦值.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級應(yīng)用創(chuàng)新練】15.如圖,已知ABCDA1B1C1D1是底面為正方形的長方體,∠AD1A1=60°,AD1=4,點P是AD1上的動點,則PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值為.參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1.解析:(1)若m垂直兩個平面的交線,那么n,β的關(guān)系不確定;(2)若n垂直兩個平面的交線,那么m,α的關(guān)系不確定;(3)若m,n都不垂直于兩個平面的交線,過m上不在交線上一點O,做交線的垂線l,則l⊥α,所以l⊥n,因為l∩m=O,l?β,m?β,所以n⊥β,所以n垂直兩平面的交線,這與m,n都不垂直于兩個平面的交線相矛盾,故假設(shè)不成立,因此m,n至少有一個垂直兩平面的交線,所以n⊥β和m⊥α至少有一個成立.故選D.2.解析:連接AC1,如圖.因為∠BAC=90°,所以AC⊥AB,因為BC1⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1,由面面垂直的性質(zhì)知,過平面ABC1內(nèi)一點C1向平面ABC作垂線,垂足必落在交線AB上.故選B.3.解析:因為AB=CB,且E是AC的中點,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,且BE∩DE=E,于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故選C.4.解析:對于A,顯然AB與CE不垂直,則直線AB與平面CDE不垂直;對于B,因為AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;對于C,顯然AB與CE不垂直,所以直線AB與平面CDE不垂直;對于D,因為ED⊥平面ABC,則ED⊥AB,同理CE⊥AB,因為ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.故選BD.5.解析:對于A,l?α,m?β,且l⊥m,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,A不正確;對于B,l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n,當(dāng)m,n不相交時,l不一定與β垂直,則α不一定與β垂直,B不正確;對于C,m?α,n?β,m∥n,且l⊥m,顯然直線l與α,β無關(guān)系,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,C不正確;對于D,由l∥m,m⊥β,得l⊥β,又l?α,根據(jù)面面垂直的判定知α⊥β,D正確.故選D.6.解析:如圖,取BC的中點O,連接OE,OF,因為F是B1C的中點,所以O(shè)F∥B1B,所以FO⊥平面ABCD,所以∠FEO是EF與平面ABCD所成的角.設(shè)正方體的棱長為2,則FO=1,EO=2,所以EF與平面ABCD所成角的正切值為22答案:27.解析:因為在四面體PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB中點,所以CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O,所以AB⊥平面POC.因為AB?平面ABC,所以平面POC⊥平面ABC,所以兩個相互垂直的平面為②⑤.答案:②⑤(答案不唯一)8.解析:(1)①②?③.說明:因為α⊥β,l⊥α,所以l∥β或l?β,又因為l是平面β外的一條直線,所以l∥β,命題正確.(2)①③?②.說明:設(shè)α∩β=m,取直線l∥m,此時,l∥β,但直線l可能平行于平面α,也可能在平面α內(nèi),所以命題不正確.(3)②③?①.說明:因為l∥β,所以平面β內(nèi)必存在一條直線與直線l平行,設(shè)為n,即n∥l,又因為l⊥α,所以n⊥α,從而得α⊥β,所以命題正確.答案:①②?③或②③?①9.證明:(1)因為底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,所以O(shè)為BD中點,又E為PB的中點,所以EO∥PD,因為EO?平面PDC,PD?平面PDC,所以EO∥平面PDC.(2)因為底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC,因為PD∩BD=D,PD,BD?平面PBD,所以AC⊥平面PBD,又AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】10.解析:如圖,連接AO并延長,交BC于D,連接BO并延長,交AC于E.因為PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC,又BC?平面PBC,故PA⊥BC,因為PO⊥平面ABC,BC?平面ABC,故PO⊥BC,又PA∩PO=P,故BC⊥平面PAO,故AO⊥BC,即AD⊥BC.同理BE⊥AC,故O是△ABC的垂心.故選D.11.解析:在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB∥A1B1∥C1D1,AB=A1B1=C1D1,即四邊形ABC1D1為平行四邊形,如圖(1),則BC1∥AD1,而AD1?平面ACD1,BC1?平面ACD1,則有BC1∥平面ACD1,因此,點P到平面ACD1的距離為定值,而△ACD1面積是定值,則三棱錐AD1PC的體積不變,A正確;如圖(2),連接A1B,A1C1,由選項A知,BC1∥平面ACD1,同理BA1∥平面ACD1,而BC1∩BA1=B,BC1,BA1?平面A1BC1,則有平面A1BC1∥平面ACD1,又A1P?平面A1BC1,因此,A1P∥平面ACD1,B不正確;如圖(3),連接BD,C1D,顯然△BC1D是正三角形,當(dāng)點P與點B重合時,∠DPC1=60°,點P在運動過程中,不是總有DP⊥BC1成立,C不正確;如圖(4),在正方體ABCDA1B1C1D1中,BD⊥AC,而BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則BB1⊥AC,又BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D,有AC⊥平面BB1D,又B1D?平面BB1D,于是得AC⊥B1D,同理AD1⊥B1D,因為AD1∩AC=A,AD1,AC?平面ACD1,則B1D⊥平面ACD1,又B1D?平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,D正確.故選AD.12.解析:如圖所示,取BD的中點E,連接A′E,由AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°,又∠BCD=45°,故△BCD為等腰直角三角形.所以CD⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面A′BD,故C正確;因為E為BD的中點,A′D=A′B,所以A′E⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,則A′E⊥平面BCD,所以A′E⊥BC,如果A′D⊥BC,則可得到BC⊥平面A′BD,故BC⊥BD,與已知矛盾,故A錯誤;三棱錐A′BCD的體積為V=13×12×2×2×22=因為CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B,又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,所以A′B⊥平面A′DC,又A′B?平面A′BC,所以平面A′BC⊥平面A′DC,故D正確.故選CD.13.證明:(1)因為平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線AD,所以PA⊥平面ABCD.(2)因為AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中點,所以AB∥DE,且AB=DE,所以四邊形ABED是平行四邊形,所以AD∥BE,因為BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD,因為E和F分別是CD和PC的中點,所以EF∥PD,因為EF?平面PAD,PD?平面PAD,所以EF∥平面PAD,因為BE∩EF=E,BE,EF?平面BEF,所以平面BEF∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD,所以平行四邊形ABED是矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,因為PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,因為E和F分別是CD和PC的中點,所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又因為BE∩EF=E,所以CD⊥平面BEF,因為CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.14.(1)證明:法一如圖,連接OB.因為AB=BC=2,AC=22,所以AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,又O為AC的中點,所以O(shè)A=OB=OC,又因為PA=PB=PC,所以△POA≌△POB≌△POC,所以∠POA=∠POB=∠POC=90°.所以PO⊥AC,PO⊥OB,因為OB∩AC=O,OB,AC?平面ABC,所以PO⊥平面ABC.法二如圖,連接OB,因為PA=PC,O為AC的中點,PA=PB=PC=AC=22,所以PO⊥AC,PO=6,又因為AB=BC=2,所以AB⊥BC,BO=2,所以PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB,因為OB∩AC=O,OB,AC?平面ABC,所以PO⊥平面ABC.(2)解:由(1)知,PO⊥平面ABC,所以O(shè)M為PM在平面ABC上的射影,所以∠PMO為PM與平面ABC所成的角,因為tan∠PMO=POOM=6OM=所以△ABC∽△OMC,得MC=1,所以M為BC的中點.如圖,作ME⊥AC交AC于E,則E為OC的中點,作EF⊥PA交PA于F,連接MF,所以MF⊥PA,所以∠MFE即為所求二面角MPAC的平面角,ME=22,EF=32AE=32×34×22MF=ME2+所以cos∠MFE=EFMF=3故二面角MPAC的平面角的余弦值為39331.INCLUDEPIC