中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題10倍長中線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

倍長中線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖，△ABC為等邊三角形，BD＝DE，∠BDE＝120o，連接CE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接DF并倍長，連接AD、CG、AG.下列結(jié)論：①CG＝DE；②若DE∥BC，則△ABH∽△GBD；③在②的條件下，若CE⊥BC，則.其中正確的有（）A.①②③都正確 B.只有①②正確 C.只有②③正確 D.只有①③正確2. 小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請(qǐng)回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示），（2）AD的取值范圍是；（3）小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90o，求GF的長.3. 如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，可以得到△ABD＝△GCD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接ED，小明由圖1中作輔助線的方法想到：延長ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG.（1）請(qǐng)直接寫出線段BE和CG的關(guān)系：；（2）如圖3，若∠A＝90o，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，已知BE＝3，，其它條件不變，求EF的長.4. 自主學(xué)習(xí)，學(xué)以致用先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線。延長AD至E，使DE＝AD.在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進(jìn)一步可得到AB＝CE，AB∥CE等結(jié)論.在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題。解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF＝AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE＝EF.5. 定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0o＜＜180o）并延長一倍得到AB'，把AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到AC’，連接B’C’.當(dāng)時(shí)，稱△AB’C’是△ABC的“倍旋三角形”，△AB’C’邊B’C’上的中線AD叫做△ABC的“倍旋中線”.特例感知：（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90o，BC＝4時(shí)，則“倍旋中線”AD長為；如圖2，當(dāng)△AB’C’為等邊三角形時(shí)，“倍旋中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系為；猜想論證：（2）在圖3中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想“倍旋中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.6. 已知拋物線經(jīng)過A（，0），B（1，0），，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)D.（1）求此拋物線解析式；（2）如圖1，連結(jié)OP并倍長至Q，試說明在直線上有且僅有一點(diǎn)M，使∠OMQ＝90o;（3）如圖2，連結(jié)PO并延長交拋物線于另一點(diǎn)T，求證：y軸平分∠PDT.倍長中線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖，△ABC為等邊三角形，BD＝DE，∠BDE＝120o，連接CE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接DF并倍長，連接AD、CG、AG.下列結(jié)論：①CG＝DE；②若DE∥BC，則△ABH∽△GBD；③在②的條件下，若CE⊥BC，則.其中正確的有（）A.①②③都正確 B.只有①②正確 C.只有②③正確 D.只有①③正確【解答】A【解析】①∵點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，∴CF＝EF，在△CFG和△EFD中，，∴△CFG≌△EFD（SAS），∴CG＝DE，故本選項(xiàng)正確；②∵DE∥BC，∠BDE＝120o，∴∠GBD＝60o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60o，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ABC＋∠GBD＝120o，∠ACG＝180o-∠ACB＝120o，∴∠ABD＝∠ACG又∵CG＝DE，DB＝DE，∴BD＝CG，在△ABD與△ACG中，，∴△ABD＝△ACG（SAS），∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，∴∠DAG＝60o，∴△ADG是等邊三角形，∴∠ADG＝60o，∴∠BDG＝∠BDH＋∠ADG＝∠BDH＋60o，又∵∠AHB＝∠BDH＋∠GBD＝∠BDH＋60o，∴∠AHB＝∠GDB（等量代換），∴∠ABH＝∠GBD，∴△ABH△GBD，故本選項(xiàng)正確；③如圖所示，過點(diǎn)D作DQ⊥BC于點(diǎn)Q，∵EC⊥BC，∴D//CE.又∵DE∥BC，∴四邊形DECQ是矩形，∴CQ＝DE.∵BD＝DE，DE＝CG，∴CQ＝CG，設(shè)，則在Rt△BDQ中，由特殊角的三角函數(shù)值求得，在Rt△GQD中，由勾股定理求得，由②知△ADG是等邊三角形，則AD＝GD，，即，故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.2. 小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍.小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請(qǐng)回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示），（2）AD的取值范圍是；（3）小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90o，求GF的長.【解答】（1）SAS；（2）1＜AD＜6；（3）GF＝6【解析】（1）在△BED與△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）；（2）∵△BED＝△CAD，∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6.（3）延長GE交CB的延長線于點(diǎn)M，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝2＋4＝6，∴GF＝FM＝6.3. 如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG，可以得到△ABD＝△GCD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接ED，小明由圖1中作輔助線的方法想到：延長ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接CG.（1）請(qǐng)直接寫出線段BE和CG的關(guān)系：；（2）如圖3，若∠A＝90o，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接EF，已知BE＝3，，其它條件不變，求EF的長.【解答】（1）BE＝CG；（2）EF＝【解析】（1）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△EBD和△GCD中，，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG；（2）連接GF，如圖所示：由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，又∵∠A＝90o，∴∠B＋∠BCA＝90o，∴∠GCD＋∠BCA＝90o，即∠GCF＝90o，∵CG＝3，，，∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝.4. 自主學(xué)習(xí)，學(xué)以致用先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線。延長AD至E，使DE＝AD.在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進(jìn)一步可得到AB＝CE，AB∥CE等結(jié)論.在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題。解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF＝AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE＝EF.【解答】見解析【解析】證明：延長AD至點(diǎn)G，使得DF＝DG，連接CG，如圖所示：∵AD是中線，∴BD＝DC，在△BDF和△CDG中，，∴△BDF＝△CDG，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF.5. 定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0o＜＜180o）并延長一倍得到AB'，把AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到AC’，連接B’C’.當(dāng)時(shí)，稱△AB’C’是△ABC的“倍旋三角形”，△AB’C’邊B’C’上的中線AD叫做△ABC的“倍旋中線”.特例感知：（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90o，BC＝4時(shí)，則“倍旋中線”AD長為；如圖2，當(dāng)△AB’C’為等邊三角形時(shí)，“倍旋中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系為；猜想論證：（2）在圖3中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想“倍旋中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.【解答】（1）AD＝4，AD＝BC；（2）AD＝BC，證明見解析【解析】（1）∵∠BAC＝90o，，∴∠B’AC’＝90o＝∠BAC，根據(jù)題意知，AB’＝2AB，AC’＝2AC，，∴△AB’C’∽△ABC，，∴B’C’＝2BC，在Rt△AB’C’中，AD是斜邊中線，∴B’C’＝2AD，∴AD＝BC＝4；如圖2，∵△AB’C’是等邊三角形，∴AB’＝AC’＝B’C’，∠B’AC’＝60o，∵AD是△AB’C’的中線，，∴∠ADB’＝90o，，由題意得AB’＝2AB，AC’＝2AC，∴AB＝AC，，由得，∴∠B＝∠C＝30o，如圖所示，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∴BC＝2BE，在Rt△ABE中，，；（2）AD＝BC，證明：由題意知，AB’＝2AB，AC’＝2AC，延長AD到M，使DM＝AM，連接B’M’，C’M’，∴AM＝2AD，∵AD是△AB’C’的中線，∴B’D＝C’D，∴四邊形AB’MC’是平行四邊形，∴AC’＝B’M＝2AC，∠B’AC’＋∠AB’M＝180o，∵∠BAB’＋∠CAC’＝180o，∴∠BAC＋∠B’AC’＝180o，∴∠BAC＝∠AB’M，∵AB’＝2AB，，∴△BAC∽△AB‘M，，∴AM＝2BC，∴AD＝BC.6. 已知拋物線經(jīng)過A（，0），B（1，0），，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)D.（1）求此拋物線解析式；（2）如圖1，連結(jié)OP并倍長至Q，試說明在直線上有且僅有一點(diǎn)M，使∠OMQ＝90o;（3）如圖2，連結(jié)PO并延長交拋物線于另一點(diǎn)T，求證：y軸平分∠PDT.【解答】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式