第5章　第3講　平面向量的數(shù)量積

第五章平面向量與復(fù)數(shù)第三講平面向量的數(shù)量積知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[32]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角a與b的夾角為_(kāi)_____時(shí)，則a與b垂直，記作a⊥b.∠AOB[0，π]知識(shí)點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝___________________，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.|a||b|cosθ投影投影向量|a|cosθe知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示1．設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝______________.x1x2＋y1y2(5)已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?__________________；a∥b?a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．x1x2＋y1y2＝02．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．歸

納

拓

展1．兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．∴0·a＝0而0·a＝0.2．?dāng)?shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0，且a與b不共線．當(dāng)a、b為非零向量時(shí)a、b同向?a·b＝|a||b|；a、b反向?a·b＝－|a||b|.5．投影向量的表示：雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(2)a·b>0，則a與b的夾角為銳角；a·b<0，則a與b的夾角為鈍角．()(3)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()×××××題組二走進(jìn)教材2．(必修2P36T2改編)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－6[解析]

由題意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故選A.AA．45° B．135°C．－45° D．30°AC1題組三走向高考B故選B.解法二：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則E(1,2)，C(2,0)，D(0,0)，故選B.A．－2 B．－1C．1 D．2C8．(2021·全國(guó)乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________.[解析]

根據(jù)(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，得到關(guān)于λ的方程求解即可．解法一：由a＝(1,3)，b＝(3,4)，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，解法二：由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，a·b＝1×3＋3×4＝15，b2＝3×3＋4×4＝25，考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算——師生共研B2．(2022·全國(guó)新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6C－25＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．名師點(diǎn)撥：向量數(shù)量積的四種計(jì)算方法1．當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.2．當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.3．轉(zhuǎn)化法：當(dāng)模和夾角都沒(méi)給出時(shí)，即用已知?；驃A角的向量作基底來(lái)表示要求數(shù)量積的向量求解．4．坐標(biāo)法：結(jié)合圖形特征適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積(如本例3)．【變式訓(xùn)練】A．－3 B．－2C．2 D．3C2．已知a·b＝16，e是與b方向相同的單位向量．若向量a在向量b上的投影向量為4e，則|b|＝()A．4 B．2C．1 D．8[解析]

設(shè)a與b的夾角為θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cosθ＝16.又∵向量a在向量b上的投影向量為4e，∴|a|cosθ＝4，∴|b|＝4.故選A.AA向量的模、夾角——多維探究角度1向量的模2∵△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，名師點(diǎn)撥：平面向量的模的解題方法2．若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．即“模的問(wèn)題平方求解．”角度2向量的夾角1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()B[解析]

解法一：由題意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，D∴分別以a，b，c為邊構(gòu)造等腰直角三角形OAB，如圖所示，名師點(diǎn)撥：求兩向量夾角的方法及注意事項(xiàng)2．注意：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．角度3平面向量的垂直1.(2023·新課標(biāo)Ⅰ，3,5分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則()A．λ＋μ＝1

B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1[解析]

由題意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故選D.DA因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos120°＝0，名師點(diǎn)撥：平面向量垂直問(wèn)題的解題思路解決向量垂直問(wèn)題一般利用向量垂直的充要條件a·b＝0求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)設(shè)a，b為單位向量，且|a－b|＝1，則|a＋2b|＝()D2．(角度2)已知單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角為()D[解析]

方法一：設(shè)a與b－a的夾角為θ.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因?yàn)閍，b為單位向量，所以(b－a)2＝2，因?yàn)閍·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，3．(角度3)(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a(chǎn)＋2b B．2a＋bC．a(chǎn)－2b D．2a－bD名師講壇·素養(yǎng)提升有關(guān)數(shù)量積的最值問(wèn)題的四種解法一、目標(biāo)函數(shù)法二、換元法