2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列152 分式的運(yùn)算【十大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題15.2分式的運(yùn)算

【十大題型】

【人教版】

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】...........................................................2

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】................................................................2

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】............................................................3

【題型4分式加減的實(shí)際應(yīng)用】................................................................3

【題型5比較分式的大小】.....................................................................4

【題型6分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】...........................................................5

【題型7分式中的新定義問(wèn)題】................................................................5

【題型8分式運(yùn)算的規(guī)律探究】................................................................6

【題型9整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算】..................................................................8

【題型10科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小數(shù)】................................................................8

舉一見(jiàn)三

【知識(shí)點(diǎn)1分式的乘除法法則】

分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：：'5=色

0dba

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：：+?=三'色=3

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（：）

DDn

4）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級(jí)從左至右依次計(jì)算。有括號(hào)的，先算括號(hào)中的，在算括號(hào)

外的。

注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

【知識(shí)點(diǎn)2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減;±?=手

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減：±2=工±削=*

bcbebebe

注：①計(jì)算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘

除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】

22

【例I】（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（公）+（合）X合的結(jié)果是（）

.a-b_a+b_fa+b\2_?

A.--B.--C.（—-）D.1

a+ba-b\a-b/

【變式1/】（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）-二駕=；

2m5n3-------------

⑵《齊名聲《”--------；

（3）（-3ab3c2）2+（一等）3=；

⑷（-舒.（-就+（-募）2=-------------:

（5）鼎）2?（磊）2+曲=---------

【變式1?2】（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）[-焉卜寫(xiě)生+隹用?

【變式1-3]（2022?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)階段練習(xí)）已知小b,c,d,x,y,z,卬是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且

22222

a2bzbcc2d2abedmiia,b,c.d21vlM

a2y2+bh2x2=b八22z22+，c22y22=c22w22+4d2z22=x-y-z-w--，則x2y2z2-w-2的值為-----------.

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】

【例2】（2022?浙江杭州?九年級(jí)專題練工）對(duì)于任意的X值都有會(huì)三二三+白，貝IJM,N值為（）

x2+x-2x+2x-1

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.Af=l,N=4

【變式2-1】（2022?上海市久隆模范中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：2y2+3：+2_匕了_3y2一？—s+2產(chǎn)？+s

y+ly+2y-2y-3

【變式2-2]（2022?全國(guó)?中考模擬）計(jì)算下列各式：

（1）J-+J-+^_+上.

a-ba+ba2+b2a4+b4'

（2）/+'區(qū)?]z2+ry

x2+（y-z）x-yzy2+（z+x）y+zxz2-（x-y）z-xy'

（）爐-1爐+i2（產(chǎn)+1）

）r3+2x2+2x+l+x3-2x2+2x-lx2-l

（4）（yr）（ZT）+-x-y）+（x-z）（y-z）

[x-2y+z）（x+y-2z）（x+y-2z）（y+z-2x）（y+z-2x）（x-2y+z）"

【變式2?3】（2022?河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足且，-+三+工

x+yy+zz+x6x+yy+zz+x

=11,則x+y+z的值為（)

72

A.12B.14C.D.9

7

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】

【例3】（2022?貴州銅仁?八年級(jí)期末）計(jì)算：1-一1一%的結(jié)果是

【變式3-1］（2022?山東臨沂?中考模擬）化簡(jiǎn)：（a+2Q）?鋁=_______.

2-aa+3

【變式3-2］（2022?福建福州?八年級(jí)期末）已知：P=v+1,Q=三.

⑴當(dāng)4>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)7若x是整數(shù)，求y的整數(shù)值.

【變式3-3］（2022?河北?中考真題）由（親-；）值的正負(fù)可以比較力=親與的勺大小，下列正確的是（）

A.當(dāng)c=-2時(shí)，A=\B.當(dāng)c=0時(shí)，Awg

C.當(dāng)cV-2時(shí)，A>\D.當(dāng)CV0時(shí)，AV：

【題型4分式加減的實(shí)際應(yīng)用】

【例4】（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）某飛行器在相距為小的甲、乙兩站間往返飛行.在沒(méi)有風(fēng)時(shí)，飛行

器的速度為也往返所需時(shí)間為0;如果風(fēng)速度為p（0Vp<u）,則飛行器順風(fēng)飛行速度為3+p）,逆風(fēng)飛

行速度為Q-P），往返所需時(shí)間為亡2.則G、亡2的大小關(guān)系為（）

A.口<t2B.<t2C.q>t2D.無(wú)法確定

【變式4-1］（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）課本中有一探究活動(dòng)如下：“商店通常用以下方法來(lái)確定兩種糖

混合而成的什錦糖的價(jià)格：設(shè)4種糖的單價(jià)為a元/千克，8種糖的單價(jià)為b元/千克，則m千克A種糖和n千克8

種糖混合而成的什錦糖的單價(jià)為吧絲（平均價(jià)）.現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由A,8兩種糖混合而成.其中

m+n

甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克8和糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元8種糖混合而

成.你認(rèn)為哪一種什錦糖的單價(jià)較高？為什么？"請(qǐng)你完成下面小明同學(xué)的探究：

⑴小明同學(xué)根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)分別記為元/底乙（用a、b的代數(shù)式表示）；

⑵為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)，小明想到了將沏與工/進(jìn)行作差比較，即計(jì)算時(shí)-七的差與。比較

來(lái)確定大小；

⑶經(jīng)過(guò)此探究活動(dòng)，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價(jià)格經(jīng)常波動(dòng).方

式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）.選擇哪種方式？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【變式4-2］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)到5地，距離為100千米.

（1）若甲從4地出發(fā)，先以20千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以2s千米/小時(shí)的速度到達(dá)N地，求走完全

程所用的時(shí)間.

（2）若甲從A地出發(fā)，先以/千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以21/千米/小時(shí)的速度到達(dá)8地.乙從4地出

發(fā)到6地的速度始終保持V千米/小時(shí)不變，請(qǐng)問(wèn)甲、乙誰(shuí)先到達(dá)B地？

（3）若甲以a千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，乙以b千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，此時(shí)甲距離終點(diǎn)為（100-?；?/p>

千米，乙距離終點(diǎn)為（100-bx）千米.分式黑？對(duì)一切有意義的X值都有相同的值，請(qǐng)?zhí)剿餍應(yīng)滿足的

100—DX

條件.

【變式4?3】（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)自然數(shù)能分解成AXB,其中A,8均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比5

的十位數(shù)字大1,且4,8的個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱這個(gè)自然數(shù)為“分解數(shù)”.

例如：04819=79x61,7比6大1,1+9=10,04819是"分解數(shù)”；

又如：01496=44X34,4比3大1,4+4。10,團(tuán)1496不是“分解數(shù)".

⑴判斷325,851是否是“分解數(shù)”,并說(shuō)明理由;

⑵自然數(shù)M=4x8為"分解數(shù)"，若A的十位數(shù)字與B的個(gè)位數(shù)字的和為P（M）,A的個(gè)位數(shù)字與B的十位

數(shù)字的和F（M）,令G（M）=盥，當(dāng)G（M）為整數(shù)時(shí)，則稱M為“整分解數(shù)若3的十位數(shù)字能被2整除，

求所有滿足條件的“整分解數(shù)〃M.

【題型5比較分式的大小】

【例5】（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)“二空，N=上,當(dāng)％>y>0時(shí)，M和N的大小關(guān)系是（）

X+1X,

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【變式5-1］（2022?河北秦皇島?八年級(jí)期末）已知n>l,M=」），N=—,2=-三，則M、N、P的大

n-lnn+1

小關(guān)系為?

【變式5-2］（2022?全國(guó)?九年級(jí)競(jìng)賽）已知x,y,z是三個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，設(shè)。=/+丫2+22,b=

xy+yz+zx,c=33g=—+—+則a與b的大小關(guān)系是_______；c與d的大小關(guān)系是______.

z，xyyzzx

【變式5-3］（2022?內(nèi)蒙古?呼和浩特市國(guó)飛中學(xué)八年級(jí)期末）若a>0,M=器，X/

a+2a+3

（1）當(dāng)a=3時(shí)，計(jì)算M與N的值；

（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

【題型6分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】

【例6】（2022?天津東麗?八年級(jí)期末）計(jì)算

【變式6-1］（2022?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：1-弩勺等，其中x=-2,y甘

【變式6?2】（2022?江蘇?南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）已知分式A=（a+1-」；）+土竽

a-la-1

（1）化簡(jiǎn)這個(gè)分式；

（2）當(dāng)a>2時(shí)，把分式A化簡(jiǎn)結(jié)果的分子與分母同時(shí)加上4后得到分式B,問(wèn)：分式B的值較原來(lái)

分式A的值是變大了還是變小了？試說(shuō)明理由；

（3）若A的值是整數(shù)，且a也為整數(shù)，求出符合條件的所有a值的和.

【變式6-3］（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）已知x.y為整數(shù)，且滿足Q+；）&+或）=一式土一點(diǎn)），

求x+y的值.

【題型7分式中的新定義問(wèn)題】

【例7】（2022?北京昌平?八年級(jí)期中）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和

的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式如：==*=三4+二7=1+二，則二是"和諧分式。

x-lx-1x-1x-1x-1X-1

⑴下列分式中，屬于“和諧分式〃的是（填序號(hào)）；

①乎②？③出④詈

（2）請(qǐng)將“和諧分式〃身管化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程；

⑶應(yīng)月：先化簡(jiǎn)［-W）+君?品，并求X取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

【變式7-1］（2022?江蘇?八年級(jí)）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為”階分

式”，洌如分式三與髭互為“3階分式

X+l1+X

（1）分式提與互為“5階分式〃；

（2）設(shè)正數(shù)%,y互為倒數(shù)，求證：分式券與券互為“2階分式〃；

（3）若分式』與居:互為“1階分式”（其中a,b為正數(shù)），求好的值?

a+4bza2+2b

【變式7-2］（2022?江蘇?灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）定義：若分式M與分式N的差等于它們的

積，即M-N=MN,則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式〃.如吃與之，因?yàn)槎?吃=一工八，吃X2二

x+lx+2x+1x+2（x+l）（x+2）x+1x+2

,，一,所以會(huì)是士的“關(guān)聯(lián)分式〃.

（X+l）（X+2）X+2X+1

⑴已知分式島，則島念的"關(guān)聯(lián)分式"（填"是〃或"不是〃）；

⑵小明在求分式壽的“關(guān)聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法:

設(shè)壽的，，關(guān)聯(lián)分式"為N，則奇—N=/￡XN,

團(tuán)（奇+1）N=壽,

回N=-

請(qǐng)你仿照小明的方法求分式舄的“關(guān)聯(lián)分式〃.

⑶①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫(xiě)出分式（的“關(guān)聯(lián)分式J:

②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：

若妥是絲學(xué)的“關(guān)聯(lián)分式“，求實(shí)數(shù)血，n的值.

mx+mmx+n

【變式7-3］（2022?江西南昌?八年級(jí)期末）定義：若兩個(gè)分式的和為〃（〃為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互

為“〃和分式〃.例如：三+鳥(niǎo)=5,我們稱兩個(gè)分式三與笠互為"5和分式”.解答下列問(wèn)題：

x+1x+1x+1X+1

（1）分式名與分式________互為"4和分式〃；

（2）分式學(xué)與分式之互為"和分式〃；

x+yx+y----------

（3）已知xy-l,兩個(gè)分式會(huì)與士是否是‘和分式"？如果是，請(qǐng)求出〃的值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）若分式品與篇互為“3和分式”（其中x,y為正數(shù)），求xy的值?

【題型8分式運(yùn)算的規(guī)律探究】

【例8】（2022?江蘇?蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)八年級(jí)期中）對(duì)于正數(shù)x,規(guī)定/（*）=士，例如：八3）=*=5

/（1）=A=1-p計(jì)算：/（白）+廣熹）+/（焉）+/（；）+/（1）+/（1）+/（2）+/O）

JJJJJJ

J31+i4J2006J200520043J2

3

+...+/（2004）+f（2005）+/（2006）=.

【變式8/】（2022?安徽安慶?七年級(jí)期末）觀察以下等式：

第1個(gè)等式：含x（2一一）.

第2個(gè)等式：￡xQ-q3=*

第3個(gè)等式：品X（2-4）.

第4個(gè)等式：島x（2一鎧/

第5個(gè)等式：言、（2-話）=也…

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)白第6個(gè)等式：;

（2）寫(xiě)出你猜想的第九個(gè)等式：（用含幾的等式表示），并證明.

【變式8?2】（2022?江蘇泰州?八年級(jí)期中）【探究思考】

（1）探究一：

觀察分式巴的變形過(guò)程和結(jié)果，-=-+-=1--.

XXXXX

填空：若”為小于10的正整數(shù)，則當(dāng)％=時(shí)，分式?的值最大.

（2）探究二：

觀察分式吐竽的變形過(guò)程和結(jié)果，

a-1

a2+2a-2（a-l）2+4a-3（a-l）2+4（a-l）+l,,,1,.1

=一工—=a-l4+44--=a+o3+—.

模仿以上分式的變形過(guò)程和結(jié)果求出分式四w二的變形結(jié)果.

【問(wèn)題解決】

（3）當(dāng)一2VXW1時(shí)，求分式直漕二的最小值.

M-2

【變式8-3］（2022?安徽?合肥市第四十五中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑,

是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、結(jié)論的重要方法.閱讀材料：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常

規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代

入；：4）整體求和等.

例1：分解因式（3+2x）（/+2X+2）+1

解：將"7+2%"看成一個(gè)整體，令％2+2x=y

原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+l）2=（x2+2x+l）2=（x+l）4

例2：已知=1,求二-+二T的值.

Wf：---+----=-----+----=----n-----=1

1+a1+bab+a1+b1+b1+b

請(qǐng)根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問(wèn)題：

⑴根據(jù)材料，請(qǐng)你模仿例1嘗試對(duì)多項(xiàng)式（7-6%+8）（x2-6x+10）+1進(jìn)行因式分解；

（2）計(jì)算:（1—2—3—…—2021）x（2+3+…+2022）—（1—2—3——2022）x（2+3+…+

2021）=

（3）①已知ab=l,求A/+備的假

②若abc=l,直接寫(xiě)出得7+餡77+告7的值.

ab+a+lbc+b+lca+c+l

【知識(shí)點(diǎn)3整數(shù)指數(shù)霸的運(yùn)算】

1.整數(shù)負(fù)指數(shù)賽：

2.若且aKO,則m=n;反之，若a*0,且m=n,則據(jù)此，可解決某些條件求值問(wèn)題。

【題型9整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算】

【例9】（2022?湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）（1）計(jì)算：442y.（-町2）3-丫；

（2）化簡(jiǎn)：仔）2.6

\y/4x2

【變式9-1]（2022?甘肅隴南?八年級(jí)期末）計(jì)算：（-2a%）2“a8b3=.

【變式9-2]（2022?河北?唐山市第三十三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知M?（0與3=Q-4,則機(jī)的值為.

【變式9?3】（2022?貴州銅仁偉才學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列式子，使結(jié)果只含有正整數(shù)指數(shù)幕：（-2a

2b3）2（-2a4b3）=（a*0,b*0）.

【題型10科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小數(shù)】

[?10]（2022?遼寧錦州?七年級(jí)期中）生活在海洋中的藍(lán)鯨，又叫長(zhǎng)須鯨或剃刀鯨，它的體重達(dá)到150噸,

它體重的萬(wàn)億分之一用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.1.5x10-10噸B.L5X10T1噸C.15x10—12噸D.1.5乂10一9噸

【變式10-1】（2022?江蘇鹽城?七年級(jí)階段練習(xí)）某種細(xì)菌直徑約為0.00000067mm,若將0.00000067mm

用科學(xué)記數(shù)法表示為6.7x10nmm（n為負(fù)整數(shù)），則n的值為（）

A.-5B.-6C.-7D.-8

【變式10-2]（2022?河北?盧龍縣教育和體育局教研室七年級(jí)期末）把0.00258寫(xiě)成ax10〃（l<a<10,n

為整數(shù)）的形式，則a+n為（）

A.2.58B.5.58C.-0.58D.-0.42

【變式10?3】（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）地球的體積的為IOS立方千米，太陽(yáng)的體積約為L(zhǎng)4xl018立方

千米，地球的體積約是太陽(yáng)體積的倍數(shù)是（用科學(xué)記數(shù)法表示，保留2位有效數(shù)字）

專題15.2分式的運(yùn)算【十大題型】

【人教版】

?方媽宮巾

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】...........................................................2

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】................................................................2

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】............................................................3

【題型4分式加減的實(shí)際應(yīng)用】................................................................3

【題型5比較分式的大小】.....................................................................4

【題型6分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】...........................................................5

【題型7分式中的新定義問(wèn)題】................................................................5

【題型8分式運(yùn)算的規(guī)律探究】................................................................6

【題型9整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算】...................................................................8

【題型10科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小數(shù)】................................................................8

聲一笈三

【知識(shí)點(diǎn)1分式的乘除法法則】

分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：=

bdbd

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：三+2=?x3=秒

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（，）、喧

4）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級(jí)從左至右依次計(jì)算。有括號(hào)的，先算括號(hào)中的，在算括號(hào)

外的。

注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

【知識(shí)點(diǎn)2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減3±1=世

CCC

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減：土&=￡±程=*

bcbebebe

注：①計(jì)算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘

除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】

22

【例I】（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（魯）+（公）X氏的結(jié)果是（）

*2

A.?而a-bB_.力a+bC.（fa—+b）\D.1.

【答案】B

【分析】先計(jì)算分式的乘方，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得解.

【詳解】解：笛），（合），合

（Q+bp（a-b）2a+b

（a-b）2（a+b）2a—b

a+b

a-b

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）⑴一手?誓=；

2m5n3-----------------

⑵告產(chǎn)（學(xué).（》=——;

（3）（-3協(xié)3c2產(chǎn)+（-等尸=;

⑷（一步（-粉、（-黑、-------；

C）晨）2+（W）2+C）4=-------.

,憑由12m1asc3ya2c2

L含茶J——7--7

5na338xa2

【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可；

（2）先算乘方，再算乘法即可;

（3）先算乘方,再算除法即可；

（4）先算乘方,再算乘除法即可;

（5）先算乘方，再算除法即可;

2m

【詳解】解:

⑴-今鬻5n

⑵/）5.弓）6舄）7=一腺累.忌=_/

(3)原式=9a2b6c44-(-=9a2Z>6c4-(-^j)=-字;

(4)y227爐、4a2y23ya2

原式二菖.(一票)+惡?IfI??

4x2,8y3，9x28x'

6846

ccaca6b2c4c2

(5)(方+(方+鈔涯+淳+苕=涯?年刀=布;

故答案為?T1asc3ya2c2

.，一丁，一飛7，靛

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

【變式1-2］(2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))［一魯白?至等?隹容絲］3

*■3(a+b)」a2L2*

［卷案］8(a+J)3』2(ab)

【分析】先計(jì)算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結(jié)果.

［詳解蕊］.與富M冷用

_a7b2(a+b)4(a-d)48

~~3(a+bja6(&-a)3*

_8(a+b)3b2(a-b)

-3a?

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-3］(2022?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)階段練習(xí))已知小b,c,d,x,y,z,卬是互不相等的非零實(shí)數(shù)，且

a2bzb2c2c2d2abed,ia2,b2,c2,d2^、心

a2y2+爐/=>z2+c2y2=Mw2+d2z2=訴,m則/+齊+我+正1的VlM值為------?

【答案】2

。2產(chǎn)2222JJ222Z

bc_cda2y2I2X2_I2Z22y2_cW(lZ

【分析】設(shè)*=g即有:c

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+dzz2xyzwk+即=即+即=7^+海

w2xyzw,'n.x2z2

并k,化簡(jiǎn)：3+m=1+《=詈+[=嗯=匕則有：4石'礪=匕設(shè)/=7=皿,

abedbzazczb"d，abedaz

^=^=n,即提=盤=3^=5=;.m+n=^+^=k,k=^=mn,則問(wèn)題即可得解.

【詳解】結(jié)合a,b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零實(shí)數(shù)進(jìn)行下述運(yùn)算,

z222

設(shè)MI---a--b---=----b-c----=----c-2-d-2--=-a-b-ed-=—1,

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwk

川右a2y2+.2彳2_匕2z2+c2y2_cZM+.ZzZ_x/W_,

：

人J刊~蓬—=~涼/-=一而-=abed=K

即有.把+些=空+怨=也+也=^^=%

1N,a2b2a2b2-b2c2丁b2c2-c2d2丁c2d2-abed-

化簡(jiǎn)小+彩》彩AA器。

則有44會(huì)繇器=匕

、幾*22y22

設(shè)我=/Z=后=w后="

a2c21b2dziz2,w2.

RnT=—z=-,-2=~2=Tn+n=--=k

x￡zzmpwznc￡azt

則有：與+與+烏+《=2+2=迎回=2=2，

x2y2z2w2mnmnk

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】

【例2】(2022?浙江杭州?九年級(jí)專題練無(wú))對(duì)于任意的x值都有要4=2；+』；，則M,N值為()

X2+X-2X+2X-1

A.M=l9N=3B.M=-1,N=3C.M=2，N=4D.M=l，N=4

【答案】B

【分析】先計(jì)算三+」;=絲絲等4絲)，根據(jù)已知可得關(guān)于乂、N的二元一次方程組［時(shí)+'=2,

x+2x-ix^x-21-M+2N=7

之可得.

【詳解】解：-三十白

x+2x-1

_M(X-l)+/V(x+2)

(x+2)(x-l)

_<M+N)X+(-M+2N)

X2+X-2

2X+；_(M+N)x+(-M+2N)

X2+X-2X2+X-2

(M+N=2

可，

(-M+2N=7

解得：［M=T,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于

M、N的方程組.

2y2+3y+2y2-y-S3y2-4y-52y2-8y+5

【變式2-1］(2022?上海市久隆模范中學(xué)七年級(jí)期中)計(jì)算:

y+iy+2y-2y-3

【答案】______-8y+4______

y4-2y3-7yz+8y+12

【分析】先對(duì)每?個(gè)分式進(jìn)行拆分化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行分式的加減計(jì)算即可.

2y2+3y+2(2y2+2y)+(y+l)+l_..,1

【詳解】解:-------==ZoV+14----,

y+1---------------------y+1-------------------Jy+1

22

y-y-5_(y+2y)-(3y+6)+l=y-3+衰

y+2~y+2

3y2紂5(3y2-6y)+(2y-4)-l

丫+竦

y-2y-2=32-

2y2一a+5=(2y2-6y)-(2y-6)-l_22_1

y-3y-3yy-3,

團(tuán)原式=2y+l+★一(、-3+衰)-(37+2-六)+何-2-±)

=2、+1+*7+3-衰-3'-2+竭+2”2一青

11.11

:-T-

y+1y+2y-2y-3

島-W)+(表-W)

=------1------

(y+l)?y-3)(y-2)(y+2)

_________-8y+4________

"(y+i)>-3)(y-2)(y+2)

_-8y+4

-y4-2y3-7y2+8y+12，

【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減計(jì)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2?2】（2022?全國(guó)?中考模擬）計(jì)算下列各式:

4a3

+4；

(1)a-ba4-ba24b2a+M

y2-zx

(2)H------------1-；

x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy'

x3+l2(爐+1)

X3+2X2+2X+1X3-2X2+2X-1

(zy)(x-y)(xz)Cyz)

(4)[x-2y+z)(x+y-2z)+(x+y-2z)(y+z-2x)+(y+z-2x)(x-2y+z)

【答案】（）(2)0(3)0(4)1

1a8-b6

【詳解】試題分析:（1）先根據(jù)異分母的分式的加減法，先把前兩個(gè)分式通分，再求和，依次計(jì)算下去即

可;

（2）先把分子添項(xiàng)，構(gòu)成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開(kāi)，然后把分母分子分解因式,

利用同分母的分式相加減的逆運(yùn)算約分化簡(jiǎn)即可；

（3）根據(jù)立方差和立方和公式進(jìn)行分子分母的因式分解，然后再約分化簡(jiǎn)即可;

(4)設(shè)x-y=a,y-z=b,z-x=c,利用換元法進(jìn)行約分化簡(jiǎn)即可.

J「2a+^

試題解析：(2244

1)aT>a+ba+ba+b

2a2a4a?

222244

=a-b+a+b+a+b

4a34a3

4,44.4

=a-b+a+kb

8d7

8,8

=a-b；

222

x+yzIy-zx?z+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x(x-z)+z(x+y)y(x+y)-x(y^z)z(y+z)-y(z-x)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xz_yx_z_y

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

x’Tx^+l______2(x2+l)

?9+一99

(3)xJ+2x+2x+lxJ-2x^+2x-lx'-l

(xT)(x2+x+l)(x+1)(x'r+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(X-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-l)

x-1x+12(X2+1)

=x+1+X-l-(x+1)(x-l)

(4)設(shè)x-y=a,y-z=b,z-x=c,則

(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)"(x+y-2z)(y+z-2x)"(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

="(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

=1.

【變式2-3](2022?河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級(jí)期末)已知實(shí)數(shù)工,y,z滿足泰卡自=3,且W+素+十

=11,則x+y+z的值為()

A.12B.14C.yD.9

【答案】A

【分析】把后+W+W=11兩邊加上3,變形可得管+$+*=14,兩邊除以(％+y+z)得

到京+*+W=￡?則從而得到％+y+z的值.

6

【詳解】解…忘+W+￡=IL

1+—+1+—+1+^-=14,

x+yy+zz+x

即也上+也上+也上=1%

x+yy+zz+x

--1-d,---1--.1-1--=---1-4-,

x+yy+zz+xx+y+z

O-1.1.17

血---1--------1------=一

x+yy+zz+x6

147

x+y-iz一

???%+y+z=12.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.經(jīng)

過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，同時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵也是從后面的式子變形出％+

y+z.

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】

【例3】(2022?貴州銅仁?八年級(jí)期末)計(jì)算：1--1一%的結(jié)果是

【答案】鳥(niǎo).

1-X

【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案.

【詳解】解：---1—X

=--1----1---x---x-(-l-x-)

1-x1-x1-x

1-1+x-x+x2

=~13^

X2

故答案為尹.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減.熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2022?山東臨沂?中考模擬)化簡(jiǎn)：(3+2+-^-)~=_______.

2-aa+3

【答案】2a-6

【分析】先計(jì)算括號(hào)，進(jìn)行通分，后按同分母加減計(jì)算，再計(jì)算乘除，約分即可.

【詳解】原式="一白)?”

、a-2a-2ya+3

_a2-92(a-2)

a-2a+3

_(a4-3)(a-3)2(a-2)

Q-2a+3

=2(a-3)

=2a-6.

故答案為2a-6.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有

括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

【變式3-2](2022?福建福州?八年級(jí)期末)已知：P=x+1,Q=三.

⑴當(dāng)%>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)丁號(hào)號(hào)，若X是整數(shù)，求y的整數(shù)值.

【答案】⑴P-80,理由見(jiàn)解析；

(2)y的整數(shù)值為：?7,?3,?1,3.

【分析】(1)先求差，再比較差與0的大小關(guān)系;

(2)先表示y,再求)，的整數(shù)值.

⑴

解：P-Q20,理由如下:

p-Q7+l*=*_*

=x+1x+1x+1

X2+2x4-1-4%

―x+1

_("1)2

―x+L，

(3x>0,

&r+l