2023版人教版初中數(shù)學同步講義練習8年級下冊第十八章 平行四邊形 專題18.1 平行四邊形（學生版）

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專題18.1平行四邊形（教師版）1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質定理；2．掌握平行四邊形的判定定理；3．會應用平行四邊形的性質與判定定理解決相關的幾何證明和計算問題；4.掌握三角形中位線的概念與其性質定理，并能用其進行計算和證明。知識點01平行四邊形的性質【知識點】1）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形。平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”注：只要滿足對邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形2）平行四邊形的高：一條邊上任取一點作另一邊的垂線，該垂線的長度稱作平行四邊形在該邊上的高。3）平行四邊形的性質：考慮邊、角、對角線，有時還會涉及對稱性。如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：（1）性質1（邊）：=1\*GB3①對邊相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性質2（角）：對角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性質3（對角線）：對角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD（4）性質4（對稱性）：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形。【知識拓展1】平行四邊形的性質例1．（2022·四川樂山·八年級期末）已知是平行四邊形，以下說法不正確的是（）A．其對邊相等B．其對角線相互平分C．其對角相等D．其對角線互相垂直【即學即練】1．（2021·四川宜賓·中考真題）下列說法正確的是（）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等C．平行四邊形的對角線互相垂直 D．平行四邊形的對角線互相平分【知識拓展2】利用平行四邊形的性質求角度、長度、面積例2．（2022·陜西碑林·九年級期中）如圖，平行四邊形ABCD的周長為16，AC、BD相交于點O，OE⊥AC交AD于E，則△DCE的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【即學即練】1．（2022·常熟市八年級月考）如圖，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F(xiàn)是DB上兩點且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，則∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°2．（2022·浙江八年級期中）如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長為40，則S為______．【知識拓展3】利用平行四邊形的性質求坐標例3．（2022·廣東·深圳八年級期中）平行四邊形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，則點B的坐標為（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【即學即練】1．（2022·廣西·八年級期中）在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別是(0，0)，(5，0)，(2，3)，則頂點C的坐標是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【知識拓展4】平行四邊形中的翻折問題例4．（2022·綿陽市·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點，將沿AE折疊至處，與CE交于點F，若，，則的度數(shù)為（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【即學即練4】1．（2022·安徽阜陽市·九年級期末）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點E、F分別是邊AB、CD上的動點，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點A落在邊BC的三等分點處，則AE的長為．【知識拓展5】平行四邊形性質的綜合（多結論問題）例5．（2022·山東濟南市·八年級期末）如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點，連接，、的延長線交于點，則下列結論：①；②：③；④.其中，正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練】1．（2022·山東泰安市·九年級期末）如圖，的對角線交于點平分交于點，連接．下列結論：①；②平分；③；④垂直平分．其中正確的個數(shù)有（）A．個B．個C．個D．個【知識拓展6】平行線間距離的應用例6．（2022·廣東廣州市·九年級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，則兩平行線AD與BC間的距離是_____．【即學即練】1．（2022·廣西桂林市·七年級期末）如圖，若表示三角形的面積，表示三角形的面積，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．知識點02平行四邊形的判定【知識點】平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質進行，如下圖，有四邊形ABCD：1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（邊的性質）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（邊的性質）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性質）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（對角線的性質）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關的2個條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的?！局R拓展1】平行四邊形的判定例1．（2022·山東·八年級期末）下面關于平行四邊形的說法中，不正確的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形C．有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形D．有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形【即學即練1】1．（2022·廣東·八年級課時練習）下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行，另一組對邊相等C．對角線互相平分 D．一組對邊平行，一組對角相等2．（2022·湖北遠安·八年級期末）如圖四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO【知識拓展2】添加一個條件成為平行四邊形例2．（2022·綿陽市八年級專題練習）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是，上的點，且．點E是射線上一點，若再添加下列其中一個條件后，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【即學即練2】2．（2022·山東·寧津縣八年級期末）如圖，在中，點，分別在邊，上．若從下列條件中只選擇一個添加到圖中的條件中．那么不能使四邊形是平行四邊形的條件是（）A． B． C． D．【知識拓展3】證明四邊形是平行四邊形例3．（2022·山西八年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【即學即練3】1．（2021·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．【知識拓展4】利用平行四邊形的性質與判定求解例4．（2022·吉林長春市·八年級月考）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，F(xiàn)C=2，求AB的長．【即學即練4】1．（2022·廣東·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長交BE于點P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長為（）A．5 B．2 C．2 D．3【知識拓展5】利用平行四邊形的性質與判定證明例5．（2022·上海九年級專題練習）已知：平行四邊形中，點為邊的中點，點為邊的中點，聯(lián)結、．（1）求證：∥；（2）過點作，垂足為，聯(lián)結．求證：△是等腰三角形．【即學即練】1．（2022·遼寧旅順口·八年級期中）如圖，四邊形中，，，過點作，垂足為，且．連接，交于點．（1）探究與的數(shù)量關系，并證明；（2）探究線段，，的數(shù)量關系，并證明你的結論．【知識拓展6】平行四邊形中的動態(tài)問題例6．（2022·陜西榆林市·八年級期末）如圖，的對角線相交于點，點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動，連接，并延長交于點．設點的運動時間為秒．（1）求的長（用含的代數(shù)式表示）；（2）當四邊形是平行四邊形時，求的值；（3）當時，點是否在線段的垂直平分線上？請說明理由．【即學即練】1．（2022·湖南邵陽市·九年級期末）如圖，在?ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，點P沿AB邊從點A開始以2cm/秒的速度向點B移動，同時點Q沿DA邊從點D開始以1cm/秒的速度向點A移動，用t表示移動的時間（0≤t≤6）．（1）當t為何值時，△PAQ是等邊三角形？（2）當t為何值時，△PAQ為直角三角形？2．（2022·廣東惠城·八年級期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，點D從點C出發(fā)沿CA方向以cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts（0＜t≤60）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．知識點03三角形的中位線定理【知識點】三角形的中位線定理：1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，則DE//BC且DE=BC?！局R拓展1】與中位線相關的計算問題例1．（2022·福建·九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，點P是對角線BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，若∠EPF＝130°，則∠PEF的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．50°【即學即練】1．（2022·山東濰坊市·八年級期末）如圖，在中，是上一點，于點，點是的中點，若，則的長為（）A． B． C． D．【知識拓展2】三角形的中位線與面積例2．（2022·長春市格致中學九年級期末）如圖，有一塊形狀為△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一個形狀為□的工件，使在邊BC上,、兩點分別在邊、上，若點是邊的中點，則的面積為_________．【即學即練】1．（2021·四川內江·中考真題）如圖，在邊長為的等邊中，分別取三邊的中點，，，得△；再分別取△三邊的中點，，，得△；這樣依次下去，經(jīng)過第2021次操作后得△，則△的面積為（）A． B． C． D．【知識拓展3】與中位線相關的證明問題例3．（2022·山東煙臺市·八年級期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點，連接并延長交于點．求證：．【即學即練3】1．（2022·山東東平八年級階段練習）如圖，在中，AE平分，于點E，點F是BC的中點（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：；（2）如圖2，中，，求線段EF的長．題組A基礎過關練1．（2022·貴州銅仁市·八年級期末）如圖，點在直線上移動，是直線上的兩個定點，且直線.對于下列各值：①點到直線的距離；②的周長；③的面積；④的大?。渲胁粫S點的移動而變化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2022·黑龍江·大慶市北湖學校八年級期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，則m的取值范圍是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<123．（2022·上海九年級專題練習）四邊形中，對角線交于點．給出下列四組條件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件共有（）A．1組； B．2組； C．3組； D．4組．4．（2022·重慶江北區(qū)·字水中學九年級月考）下列命題是假命題的是（）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別互補的四邊形是平行四邊形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5.（2022·河南·淅川縣九年級期中）如圖，△ABC中，點M為BC的中點，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于點D．延長BD交AC于點N．若AB＝4，DM＝1，則AC的長為（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BC，的面積為48，OA＝3，則BC的長為（）A．6 B．8 C．12 D．137．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A，B兩點，“九曲橋”的每一段與AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，則此“九曲橋”的總長度為_____．8．（2022·渝中區(qū)·重慶九年級期末）已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD和BC上，點G、H在對角線AC上，且BF=DE，AH=CG，連接FH、HE、BG、FG．（1）求證：FG=EH．（2）若EG平分∠AEH，F(xiàn)H平分∠CFG，F(xiàn)G//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度數(shù)．9．（2022·江蘇鹽城市·八年級期末）如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）①作的平分線交于點D；②作邊的中點E，連接；（2）在（1）所作的圖中，若，則的長為__________．10．（2022·黑龍江肇源·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，AB的中點，點F是CB延長線上的一點，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長．題組B能力提升練1．（2022·山東青島市·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，為上一點，，且，，則下列選項正確的為（）A．B．C．D．2．（2022·山東濰坊市·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，平分，則平行四邊形的周長是（）A． B． C． D．3．（2022·廣東梅州市·九年級期末）點是平行四邊形的對稱中心，，、分別是邊上的點，且；、分別是邊上的點，且；若，分別表示和的面積，則，之間的等量關系是__________．4．（2022·北京·人大附中八年級階段練習）已知點A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點D的坐標是_____．5．（2022·山東東營市·八年級期末）如圖，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接的三邊中點，得到，再依次連接的三邊中點，得到，，按這樣的規(guī)律下去，的周長為____．6．（2022·江西撫州市·九年級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在DC的延長線上取一點E，使CE＝CD，連接OE交BC于點F，若BC＝4，則CF＝_____．7．（2022·江蘇射陽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD長．8．（2022·河南衛(wèi)輝·九年級期中）（教材呈現(xiàn)）如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內容．（定理證明）（1）請根據(jù)教材內容，結合圖①，寫出證明過程．（定理應用）（2）如圖②，四邊形中，、、分別為、、的中點，邊、延長線交于點，，則的度數(shù)是_______．（3）如圖③，矩形中，，，點在邊上，且．將線段繞點旋轉一定的角度，得到線段，是線段的中點，直接寫出旋轉過程中線段長的最大值和最小值．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，，．作于點E，于點F，記的度數(shù)為，，．則以下選項錯誤的是（）A．B．的度數(shù)為C．若，則四邊形的面積為平行四邊形面積的一半D．若，則平行四邊形的周長為2．（2022·浙江杭州市·八年級月考）如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點，將沿折疊至，與交于點F，若，則的大小為（）A． B． C． D．3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB于E，在線段AB上，連接EF、CF．則下列結論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CE