2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級(jí)下冊(cè)第十七章 勾股定理 專題17.1 勾股定理 （學(xué)生版）

2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)八年級(jí)下冊(cè)

專題17.1勾股定理1、掌握勾股定理的用途：已知直角三角形的兩邊求第三邊及已知直角三角形的一邊，求另外兩邊的關(guān)系；2、能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；3、掌握勾股定理的證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理解決弦圖等相關(guān)問(wèn)題；4、熟練掌握重要的數(shù)學(xué)思想：方程思想。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2。注意：1）僅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理則需要有直角三角形或通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形）；2）由于直角三角形的斜邊最長(zhǎng)，故運(yùn)用勾股定理時(shí)，一定要抓住直角三角形最長(zhǎng)邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，只有c是斜邊時(shí)才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。3）利用勾股定理，若無(wú)法直接找出其中的兩條邊，則可設(shè)定一條邊長(zhǎng)為未知數(shù)，根據(jù)題目已知的條件能表示其他的邊（可以是設(shè)定的未知數(shù)表示，也可以是具體的數(shù)字），再建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.【知識(shí)拓展1】勾股定理中的面積問(wèn)題例1．（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【即學(xué)即練】1．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為_(kāi)__________．2．（2022·廣東珠海·八年級(jí)期末）如圖為直角三角形，斜邊，以兩條直角邊為直徑構(gòu)成兩個(gè)半圓，則兩個(gè)半圓的面積之和為（

）A． B． C． D．【知識(shí)拓展2】勾股樹(shù)例2．（2022·河南八年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2022·云南九年級(jí)一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長(zhǎng)”的“勾股樹(shù)”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……，照此規(guī)律“生長(zhǎng)”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個(gè)數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．1282．（2022·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長(zhǎng)為4．若按照?qǐng)D①至圖③的規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，則在第個(gè)圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．32【知識(shí)拓展3】勾股定理的方程思想與分類討論思想例3．（2022·陜西·西安八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，高速公路上有、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長(zhǎng)是（）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】1.（2022·江蘇八年級(jí)期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．2.（2022·山東八年級(jí)期中）中，，高，則BC的長(zhǎng)為（）A．14 B．14或4 C．4 D．無(wú)法確定【知識(shí)拓展4】勾股定理中的折疊（翻折）問(wèn)題解題步驟：（1）找：找痕，折痕前后的圖形；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，盡可能表達(dá)所需線段；（3）列：根據(jù)勾股定理列方程。例4．（2022·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長(zhǎng)為_(kāi)___．【即學(xué)即練】1．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．42．（2022·安徽·合肥市八年級(jí)期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上．與點(diǎn)重合，AE為折痕，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【知識(shí)拓展5】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用例5．（2022·成都市棕北中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長(zhǎng)是多少？（2）求小巷的寬．【即學(xué)即練】1．（2021·江西八年級(jí)期末）如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)，繩長(zhǎng)CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA方向行駛到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)CD＝12米．（1）試判定△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度．2．（2022·河南八年級(jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗）有一道“蕩秋干”的問(wèn)題，“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離PA的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離就和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，則秋千的繩索長(zhǎng)為_(kāi)_______尺．3．（2022·云南廣南·八年級(jí)期末）如圖，一棵豎直生長(zhǎng)的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．4．（2022·貴州六盤水·八年級(jí)期中）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖所示，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線上的兩點(diǎn)A，B的距離分別為：，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的驗(yàn)證【知識(shí)點(diǎn)】據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。由于篇幅有限，我們就重點(diǎn)介紹最具代表性的“勾股圓方圖”（即趙爽弦圖）的證法。方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.（趙爽的證法）圖（1）中，所以.圖（1）圖（2）方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.（畢達(dá)哥拉斯的證法）圖（2）中，所以.注意：趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。【知識(shí)拓展1】勾股定理的證明與應(yīng)用例1．（2022·河南初二期中）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．【即學(xué)即練1】1．（2022·行唐縣八年級(jí)月考）勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一．中國(guó)古代最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長(zhǎng)所得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的，其中，．（1）請(qǐng)利用面積相等證明勾股定理；（2）在圖1中，若大正方形的面積是13，，求小正方形的面積；（3）圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形由八個(gè)全等的直角三角形和正方形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，求邊的長(zhǎng)度．【知識(shí)拓展2】例2．（2022·河北初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．給出四個(gè)結(jié)論：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【即學(xué)即練2】1．（2022·福建·廈門一中八年級(jí)期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022.成都市八年級(jí)期中）如圖，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連結(jié)，交于點(diǎn)P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022·山西九年級(jí)期中）在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想2．（2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5m，則小巷的寬為（）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m3．（2022·浙江·樂(lè)清八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來(lái)表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．4．（2022·吉林琿春·八年級(jí)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a、b（b>a），則（a+b）2的值為（）．A．24 B．25 C．49 D．135．（2022·廣東清新·八年級(jí)期中）如圖，大正方形是由4個(gè)小正方形組成，小正方形的邊長(zhǎng)為2，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到△ABC，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022·江蘇泗陽(yáng)·八年級(jí)期中）勾股定理與黃金分割并稱為幾何學(xué)中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學(xué)史上的里程碑，2000多年來(lái)，人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個(gè)圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2022·湖南·武岡市第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，則a2+b2+c2＝_____．8．（2022·湖南八年級(jí)期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝13cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的面積．9．（2022·江蘇南通·八年級(jí)階段練習(xí)）學(xué)過(guò)《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB的高度．小華測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)1米（如圖1），小明拉著繩子的下端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時(shí)，小凡測(cè)得此時(shí)小明拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為8米（如圖2）．(1)設(shè)AB長(zhǎng)為x米，繩子為米，AE為米（用x的代數(shù)式表示）；(2)請(qǐng)你求出旗桿的高度AB．題組B能力提升練1．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）如圖是數(shù)學(xué)史上著名的“希波克拉底月牙問(wèn)題”：在中，，，，，分別以的各邊為直徑向外作半圓，則圖中兩個(gè)“月牙”，即陰影部分的面積為_(kāi)_______．（用含，，的式子表示）2．（2022·浙江·杭州八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點(diǎn)J．三個(gè)正方形沒(méi)有重疊的部分為陰影部分，設(shè)四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．223．（2022·杭州市建蘭中學(xué)初三月考）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關(guān)于S1、S2、S3的說(shuō)法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝84．（2023·廣西八年級(jí)期末）如圖，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，則CD的長(zhǎng)是______．5．（2022·沭陽(yáng)縣八年級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．6．（2022·廣州市八年級(jí)期中）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點(diǎn)160米處有一所學(xué)校A，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時(shí)，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時(shí)，則對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離是___米；重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間是____秒．7．（2022·四川八年級(jí)期末）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．8．（2022·甘肅慶陽(yáng)八年級(jí)期末）交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試汽車速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路旁選取一點(diǎn)，在公路上確定點(diǎn)，使得米，．這時(shí)，一輛轎車在公路上由向勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從處行駛到處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得．此路段限速每秒22米，試判斷此車是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．9．（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·廣東福田·八年級(jí)期末）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2 C．2.3 D．2．（2022·浙江·溫州市第十二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，我國(guó)漢代趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時(shí)給出四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”如圖2，連結(jié)，，，，記陰影部分面積為，空白部分面積為，若，則