2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何壓軸沖刺 專題練習(xí)題匯編（含答案）

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何壓軸沖刺專題練習(xí)題匯編1．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在射線CB上，且BE=CD，EP∥AC交直線CD于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)F，∠ADP=∠ACB．（1）圖1中是否存在與AC相等的線段？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）若將“點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在射線CB上”改為“點(diǎn)D在線段BA延長線上，點(diǎn)E在線段BC延長線上”，其他條件不變（如圖2）.當(dāng)∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2時，求線段PE的長．圖1圖2圖1圖22.如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OB=OD，BD=CD，∠BAC=∠BDC=90°．（1）填空：∠ABD=∠；（2）求的值；（3）點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為N，連接AN，請補(bǔ)全圖形，探究線段AN，AD有怎樣的關(guān)系，并加以證明．備用圖備用圖3．如圖1，在銳角△ABC中，∠ABC＝45°，高線AD、BE相交于點(diǎn)F．（1）判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，將△ACD沿線段AD對折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)M，AM與BE相交于點(diǎn)N．當(dāng)DE∥AM時，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．AABCDFEMMNEFDCBA （圖（圖2）（圖1）（圖1）4．如圖1，對的邊分別為，用4個這樣的直角三角形拼成如圖2所示的正方形.圖2CBA圖2CBA圖1（2）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決下面問題①如圖3，中，求AC的長②如圖4，中，AB=AC，，ADADCB圖4圖3圖3CBA5．（1）如圖1，中，∠ABC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，把BD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到BE，把CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°到CF，連接EF交AC于點(diǎn)M，求證：ME=MF（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在內(nèi)部，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。圖1A圖1ABCEDMFBADCFE圖2M6．閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形．小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則BD=CE．（1）在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；圖1借助小胖同學(xué)總結(jié)的規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來解答下面的問題：（2）如圖2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD；圖2如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD．求∠EAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）．圖37.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°(0<m<60)，將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.(1)如圖①，直接寫出∠ABD的度數(shù)(用含m的式子表示)；(2)如圖②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；(3)在(2)的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求m的值．8.如圖1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF.（1）若兩個三角形按圖2方式放置。AC、DF交于點(diǎn)O，連接AD、BO，則AF與CD的數(shù)量關(guān)系為；BO與AD的位置關(guān)系為；（2）若兩個三角形按圖3方式放置，其中C，B(D)，F(xiàn)在一條直線上，連接AE，M為AE中點(diǎn)，連接FM，CM.探究線段FM與CM之間的關(guān)系，并證明；（3）若兩個三角形按圖4方式放置，其中B，C(D)，F(xiàn)在一條直線上，點(diǎn)G，H分別為FC，AC的中點(diǎn)，連接GH，BE交于點(diǎn)K，求證：BK=EK. 9．如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過觀察分析，形成了如下解題思路：在BA邊上取點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE．經(jīng)過推理能使問題得到解決．（圖1）（圖2）（圖3）請回答：（1）有一個角是0的等腰三角形是等邊三角形參考小明思考問題的方法，解決問題：（2）如圖2，四邊形ABDE中，C是BD邊中點(diǎn)，AC平分∠BAE，∠ACE=900.找出線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，四邊形ABDE中，C是BD邊中點(diǎn)，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=1200，找出線段AE、AB、DE、BD的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。10．已知Rt△ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC延長線上，DC=AC．點(diǎn)P在AC上，PC=CB．（1）判斷線段DP與AB的關(guān)系；（2）若AC=nPC(n>1)，過點(diǎn)A作DC的平行線交BP的延長線于點(diǎn)E，連接DE，設(shè)△EDP的面積為，△APB的面積為，求的值（用含n的代數(shù)式表示）11．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，以CD為一邊作等邊△DCE，BD交AE于點(diǎn)F，連接FC．（1）求∠AFB的度數(shù)；（2）求證：∠BFC=∠EFC；（3）試寫出線段BF、CF、AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．備用圖備用圖12.等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AM=CN.如圖，若點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，判斷OM與ON的關(guān)系，并說明理由.如圖，若點(diǎn)M、N分別在CA、BC延長線上，判斷OM與ON的關(guān)系，并說明理由.13.（1）如圖1，等邊△ABC中，AD=CE，AE交BD于點(diǎn)F.①求證：∠BFE=60°；②若BF=2AF，連接CF，求證BD⊥CF.（2）如圖2，正方形ABCD中，BG=CE，CG=CH，BE=GH.GH交BE于點(diǎn)F.求∠HFE的度數(shù).14.已知：△ABC中BE和AD分別為高線，交與點(diǎn)F，若BF=AC。如圖一求證：BD=AD。如圖二在（1）問的基礎(chǔ)上，過D作DG∥AC交AB于G，BE于H，連結(jié)FG，若AFG=C，試判斷圖中那條線段與AF相等，并說明理由。15.閱讀下面材料：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為邊AC上一點(diǎn)，DA=DB，E為BD延長線上一點(diǎn)，∠AEB=120°，猜想AC、BE、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明。小明的思路是：根據(jù)等腰△ADB的軸對稱性，將整個圖形沿著AB邊的垂直平分線翻折，得到點(diǎn)C的對稱點(diǎn)F，如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BE，交BE的延長線于F，請補(bǔ)充完成此問題參考小明思考問題的方法，解答下列問題：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D、F在直線BC上，DE=BF，連接AD，過點(diǎn)E作EG//AC交FH的延長線于點(diǎn)G，∠DFG+∠D=∠BAC探究∠BAD與∠CHG的數(shù)量關(guān)系請?jiān)趫D中找出一條和線段AD相等的線段，并證明16．如圖，AD是△ABC的角平分線，AD又是△ABC的中線．求證：AB=AC．17．已知：△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）任意一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，∠AEF＝60°，EF交等邊三角形外角平分線CH于點(diǎn)F．求證：AE＝EF；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上或線段BC的反向延長線上時，∠AEF＝60°，EF交等邊三角形外角平分線CH所在的直線于點(diǎn)F，（1）的結(jié)論是否還成立？請分別在圖2、3中畫出圖形，并選其中一種情況證明；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，∠AEF的一邊EF交等邊三角形外角平分線CH于點(diǎn)F，且EF＝AE．求證：∠AEF＝60°．ABECFABECF圖4HABC圖3ABECF圖1HABC圖2答案1.（1）存在，AC=FB………………1分證明：以B為圓心BE為半徑畫弧，交PF于點(diǎn)M，連接BM，則BM=BE．∴∠BEM=∠BME………2分∵EP∥AC∴∠ACB+∠BEM=180°，∠A=∠F又∵∠ADP+∠ADC=180°∠ADP=∠ACB∴∠ADC=∠BME………3分∵BE=CD，BM=BE∴CD=BM∴△ACD≌△FBM，……4分∴AC=FB．（2）在FE上截取FM=FB，連接BM∵∠BAC=60°，∴△BMF為等邊三角形∵∠ABC=90°∴∠ACB=∠ABC-∠BAC=30°，∴∠ADP=∠ACB=30°∵EP∥AC∴∠ACB=∠E.∴∠ADP=∠E=30°等邊△BMF中，∠BMF=60°∴∠BME=180°-∠BMF=120°∵∠CAD=180°-∠BAC=120°∴∠CAD=∠BME∵BE=CD，∴△ACD≌△MBE，∴AC=BM．…………………7分Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=2∴BM=AC=4．∴BF=BM=4．∴AF=BF-AB=4-2=2．……8分∵∠ACD=∠BAC-∠D=30°∴∠ACD=∠D=30°∴AD=AC=4．………………9分∴FD=AD-AF=4-2=2．∵EP∥AC∴∠FPD=∠D=30°∴FD=PF=2．………………10分Rt△EBF中，∠E=30°，∴EF=2BF=8．……………11分∴PE=EF-PF=8-2=6．………12分2.（1）∠ACD……………1分（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AD，交AC于點(diǎn)E圖1∴∠ADB+∠BOE=90°圖1又∵∠CDE+∠BOE=90°∴∠ADB=∠CDE又∵BD=CD，∠ABD=∠ACD∴△ABD≌△CDE∴AB=CE，AD=DE……………2分∴△ADE為等腰直角三角形過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F∴∠DFO=∠BAO=90°，AF=EF∵∠AOB=∠DOF，OB=OD∴△AOB≌△DOF∴AO=FO……………………3分∵CO=CE+EF+OF∴CO=AB+2AO+AO，∴OC=5AO∵AB=2AO，∴…………………4分（3）AN⊥AD，AN=2AD…………………5分如圖2，過點(diǎn)B作BM∥AC，交DA的延長線于點(diǎn)M，連接BN圖2由（2）可知，∠DAC圖2∴∠M=45°…………………6分∵∠BAC=90°∴∠MAB=45°∴AB=BM，∠ABM=90°∵點(diǎn)D，N關(guān)于BC對稱∴BN=BD∠BDN=∠BND=45°∴∠DBN=90°∴∠DBM=∠ABN∴△MBD≌△ABN∴AN=DM，AB=MB，∠BAN=∠M=45°………………8分△ABM中，∠MAB=∠M=45°∴∠MAN=90°∴∠NAD=180°-∠MAN=90°∴AN⊥AD………………9分過點(diǎn)D作DF⊥AC∴∠AFD=90°由（2）可知，AB=DF=AF∴BM=AF∴△ABM≌△AFD∴AD=AM……………11分∴DM=2AD∴AN=2AD……………12分3．（1）BF=AC．∵AD、BE是高，∴∠ADB=∠AEB=90°．∵∠ABD=45°，∴∠DAB=45°=∠ABD．∴AD=BD．································1分∵∠AFE=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD．·······································2分在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC（ASA）．····················································3分∴BF=AC·．·······························································4分（2）過點(diǎn)D作DG⊥DE交AC的延長線于點(diǎn)G．·······························5分GNMABCDFE由（1）可得，∠ADB=∠ADC=∠EDG，∠GNMABCDFE∴∠BDE=∠ADG．在△BDE和△ADG中，∴△BDE≌△ADG（ASA）．∴DE=DG．∴∠DEG=∠G．∵∠EDG=90°，∴∠G=45°．∴∠BED=45°．····························································7分∵AM∥DE，AC=AM，∴=45°．∴EA=EN．·······································8分∵，∴=22.5°．∴=67.5°．∵=180°，∴=67.5°．∴．∵，∴．····························10分∴．···································11分4．證明：（1）2分（2）∵∠C=90°圖3CBA，∠圖3CBA∴BC=23分4分5分（3）在BD上截取BE，使得BE=CD∵∠BAC=∠BDCADADCB圖4EOH∴∠ABO=∠DCO6分∵AB=ACBE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD7分∠BAE=∠CAD∴∠EAD=∠BAC=120°8分∴∠ADE=∠AED=30°9分做AH⊥ED于H則，10分11分12分5．（1）∵AB=BC，BE=BD∴AE=CD1分∵CD=CF∴AE=CF2分又∠ABC=∠BCF=90°∴∠A=∠BCA=∠ACF=45°3分∵∠AME=∠CMF∴△AME≌△CMF4分∴ME=MF5分BABADCFE圖2M∵∠EBD=∠ABC=90°∴∠EBA=∠DBC6分∵AB=BC，EB=BD∴△ABE≌△DBC∴AE=DC=CF7分∠EAB=∠DCB8分∴∠MCF=90°—（45°—∠DCB）=45°+∠DCB9分∵∠EAM=45°+∠EAB∴∠EAM=∠FCM∵∠AME=∠CMF10分∴△AME≌△CMF11分∴ME=MF12分6．（1）證明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE∴∠BAD=∠CAE..………1分又∵AB=AC，AD=AE，∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)...………2分∴BD=CE．...………3分（2）證明：連接AC，作∠BAM=∠CAD，交BD于點(diǎn)M.則∠DAM=∠BAC=60°∵AB=BC，∠ABC=60°∴ΔABC為等邊三角形...………4分∴AB=AC，∠BAC=∠BDC=60°∴∠ABM=∠ACD∴ΔBAM≌ΔCAD(ASA)∴BM=CD，AM=AD...………5分∴ΔADM為等邊三角形∴AD=MD...………6分∵M(jìn)D+BM=BD∴AD+CD=BD...………7分（3）證明:延長ED至M，使得MD=ED，連接FE、FM、CM，作∠CAN=∠BAE，∠ACN=∠ABE，角的邊交于點(diǎn)N.∴∠EAN=∠BAC=m°又∵AB=AC∴ΔABE≌ΔACN(ASA)………8分∴BE=CN，∠ABE=∠ACN=α，AE=AN∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)∴BD=CD，又∵M(jìn)D=ED，∠BDE=∠CDM∴ΔBDE≌ΔCDM(SAS)………9分∴BE=CM，∠MCD=∠EBD=β∴CN=CM，∠ABC=∠EBD-∠ABE=β-α∵∠EBC=∠ACF∴∠MCD=∠ACF∴∠MCD-∠FCD=∠ACF-∠FCD即∠ACB=∠FCM=∠ABC=β-α∴∠FCN=β-α=∠FCM∵FC=FC∴ΔFCN≌ΔFCM(SAS)...………10分∴FN=FM∵ED=DM，ED⊥DF∴FE=FM∴FE=FN∵AF=AF，AE=AN∴ΔAEF≌ΔANF(SSS)...………11分∴∠EAF=∠NAF=∠EAN=m°答：∠EAF的度數(shù)為m°………12分7．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝m，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)m1分∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°，∴∠ABD＝30°－eq\f(1,2)m2分(2)△ABE是等邊三角形．證明：連接AD，CD，ED，∵線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，則BC＝BD，∠DBC＝60°.∴△BCD為等邊三角形．3分∴BD＝CD.∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－eq\f(1,2)m4分在△ABD與△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))∴△ABD≌△ACD，5分∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)m∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－(30°－eq\f(1,2)m)－150°＝eq\f(1,2)m＝∠BAD6分在△ABD和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠BAD，,∠EBC＝∠ABD，,BC＝BD，))∴△ABD≌△EBC，7分∴AB＝BE.又∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．8分(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°9分∵∠DEC＝45°，∴△DEC為等腰直角三角形，10分∴DC＝CE＝BC.∵∠BCE＝150°.∴∠EBC＝eq\f(1,2)(180°－150°)＝15°11分∵∠EBC＝30°－eq\f(1,2)m＝15°，∴m＝30°12分8.（1）相等，垂直2分（2）FM=CM，F(xiàn)M⊥CM證明：延長FM、CA交于點(diǎn)Q.∵EF//AC，M為AE中點(diǎn)∴△EFM≌△AQM4分∴FM=QM，EF=AQ.∴AQ=BC∴FC=QC∴△FCQ為等腰Rt△∵M(jìn)為FQ中點(diǎn)∴FM⊥CM5分CM平分∠FCQ∴∠FCM=∠MFC=45°∴FM=CM6分(3)證明:連接BH，EG∵G，H分別為FC，AC的中點(diǎn).且FC=AC∴HC=GF，BC=EF∴△BCH≌△EFG8分∴BH=GE，∠BHC=∠EGF∵HC=GC∴△GCH是等腰直角三角形∴∠CHG=∠CGH=45°∴∠BHG=∠BCH+45°∠EGH=180°-∠CGH-∠EGF=135°-∠EGF∴∠BHG+∠EGH=180°9分過E作EP//BH交GH延長線于點(diǎn)P，則∠BHG=∠EPH∴∠EPG=∠EGP∴EG=EP∴BH=EP∴△BHK≌△EPK11分∴BK=EK12分9．解：（1）601分 （2）AE=AB+DE；2分 證明：在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB．3分 ∴△ACB≌△ACF（SAS），4分∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)．∴BC=CD，∴CF=CD．5分 ∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．6分∴△CEF≌△CED（SAS），7分∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE；（3）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連結(jié)CG．8分∴△ACB≌△ACF（SAS），9分∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：△CEG≌△CDE（SAS），10分CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．11分∴△FGC是等邊三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD12分10.(1)DP=AB，DP⊥AB證明：∵DC=AC，PC=BC，∠ACD=∠ACB=90°∴△PCD≌△ACB……2分∴DP=AB，∠PDC=∠BAC……3分延長DP交AB于F，在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，∴∠PDC+∠ABC=90°∴在△FDB中，∠DFB=180°-(∠PDC+∠ABC)=180°-90°=90°，∴DP⊥AB……4分(2)∵AC=nPC，設(shè)PC=x，則BC=PC=x，AC=DC=nx，AP=(n-1)x∵∠ACB=90°，∴∠CPB=∠CBP=45°，∴∠APE=45°∵AE∥BD，∴∠AEP=∠APE=45°∴AE=AP=(n-1)x……6分∴S1=S梯形AEDC-S△AEP-S△PDC=(AE+DC)AP-AE?AP-DC?PC=[(n-1)x+nx]?nx-(n-1)x?(n-1)x-x?nx=(nx-x+nx)?nx-(n-1)2x2-nx2=x2(2n2-n-n2-1+2n-n)=x2(n2-1)=x2(n+1)(n-1)……8分∴S2=S△ACB-S△PCB=BC?AC-BC?PC=BC(AC-PC)=x(nx-x)=x2(n-1)……10分∴==n+1……11分11.（1）∵△ABC與△DCE是等邊三角形∴AC=BC，EC=DC，∠BCD=∠ACE=60°∴△BCD≌△ACE……2分∴∠FBC=∠EAC∵∠ADF=∠BDC∴∠AFB=∠ACB=60°……3分（2）作CG⊥BF，CH⊥FE，垂足分別G，H∴∠CGB=∠CHA=90°∵∠CBF=∠CAE，BC=AC∴BGC≌AHC……5分∴CG=CH∴∠BFC=∠EFC（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）……7分（3）在BF上取一點(diǎn)K使FK=FA……8分∵∠AFK=60°∴△AFK是等邊三角形……9分∴AF=AG，∠KAF=60°∴∠BAC=∠KAF∴∠BAK+∠KAC=∠CAF+∠KAC∴∠BAK=∠CAF∵AB=AC∴△ABK≌△ACF……11分∴BK=CF∴BF=FC+AF……12分12.13.14.15.（1）猜想的結(jié)論是：證明：∵在△DAF和△DBC中∴∴△DAF≌△DBC…………1分∴DF＝DC……………………2分∵DA＝DB∴DF+DB＝DC+DA∴BF＝AC……………………3分∵∠AEB=120°∴∠AEF=60°∴∠EAF=30°∴………………4分∴…………………5分（和猜想正確的分?jǐn)?shù)不兼得）(2)（1）證明：延長FG交AD于點(diǎn)M，∴∠1=∠DFG+∠D=∠2…………6分∴∠BAD=∠2+∠3∠CHG=∠1+∠3∴∠BAD=∠CHG…………7分（2）在EG的延長線上取點(diǎn)N，使FN=FG……8分∴∠5＝∠6∵EG∥AC∴∠CHG+∠4=180°∵∠5+∠4=180°∴∠CHG=∠5＝∠6=∠BAD…………9分∵AB=AC∴∠8＝∠9∵∠7＝∠8∴∠7＝∠9…………10分∵DE=BF∴DE+BE=BF+BE∴BD=EF…………11分∴△ABD≌△EFN∴FG=FN=AD.…………12分【其它方法題長負(fù)責(zé)評分標(biāo)準(zhǔn)】16．解：（1）1分2分3分（2）①∵與均為等腰直角三角形∴∵∴即∴∴2分∵為等腰直角三角形∴與均為等腰直角三角形∴5分∵∴6分②延長交于7分由①得：∴∴∴∴8分∴∴9分又∵∴∴10分∴11分∴12分圖7-117．證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．…………1分圖7-1∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．………2分∵AD是ΔABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，∴DE=DF．………4分∵AD是ΔABC的中線，圖8-2∴BD=CD．………5分圖8-2在RtΔBDE和RtΔCDF中，…………6分∴RtΔBDE≌RtΔCDF（HL）．……8分∴∠B＝∠C．………9分∴AB＝AC．………10分方法二：延長AD至E，使DE=AD，連接CE．……………1分在ΔABD和ΔECD中，……………………4分∴ΔABD≌ΔECD（SAS）．………6分∴∠E＝∠BAD．…………………7分∵AD是ΔABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD．………………8分∴∠E＝∠CAD．…………………9分∴AB＝AC．………10分ABECFGPH17．（1）方法一：在AB上截取ABECFGPH∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°．∴ABBG＝BCBE．即AG＝CE．……………1分∵BG＝BE，∴△GBE是等腰三角形．∵∠ABC＝60°，∴△GBE是等邊三角形．∴∠BEG＝60°．∴∠AGE＝∠ABC+∠BEG＝60°+60°＝120°．∵∠ACB＝60°，∴∠ACP＝180°∠ACB＝180°60°＝120°．∵CH是等邊△ABC的外角平分線，∴∠ACF＝∠ACP＝×120°＝60°．∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝60°+60°＝120°．∴∠AGE＝∠ECF．……………………2分∵∠ABC＝60°，∠AEF＝60°，∴∠ABC＝∠AEF．∵∠ABC＋∠GAE＝∠AEC＝∠AEF＋∠CEF．∵∠ABC＝∠AEF＝60°，∴∠GAE＝∠CEF．……………………3分∴△AGE≌△ECF．∴AE＝EF．……………4分ABABECFGHP方法二：在AC上截取CG=CE，連接GE．（以下步驟略）可證△ECG是等邊三角形，∠GEC＝60°＝∠AEF，GE=CE．可證∠AGE＝∠CEF＝120°，∠AEG＝∠FEC．可證△AGE≌△ECF．∴AE＝EF．（參照方法一評分）方法三：延長AC至G，使CG＝CF，連EG．可證△ECG≌△ECF．∴EG＝EF，∠EGC＝∠EFC．可證∠EAC＝∠EFC．∴∠EAC＝∠EGC．∴AE＝EG．∴AE＝EF．（參照方法一評分）方法四：延長FC至G，使CG＝AC，連EG．可證△ECG≌△ECA．∴EG＝AE，∠EGC＝∠EAC．可證∠EAC＝∠EFC．∴∠EFC＝∠EGC．∴EF＝EG．∴AE＝EF．（參照方法一評分）（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，如圖所示……5分方法一：在CF截取CG＝CE，連接EG．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝60°，∠ABC＝60°．∴∠ACP＝180°∠ACB＝180°60°＝120°．ABECGFABECGFPH∴∠ACF＝∠PCF＝∠ACP＝×120°＝60°．∵CG＝CE，∴△GCE是等腰三角形．∵∠PCF＝60°，∴△GCE是等邊三角形．∴∠CEG＝60°，∠CGE＝60°，CE＝GE．…6分∴∠FGE＝180°∠CGE＝180°60°＝120°．∴∠ACE＝∠FGE．∵∠AEF＝60°，∠CEG＝60°，∴∠AEF＝∠CEG．∴∠AEF∠AEG＝∠CEG∠AEG．ABECGFABECGFPH∴△ACE≌△FGE．∴AE＝EF．……………………8分（解答過程允許合理省略非關(guān)鍵性步驟）．方法二：延長BA至G，使BG＝BE．（以下步驟略寫）可證AG=CE．可證△BEG是等邊三角形，∠G＝∠GEB＝60°．可證GE∥AC．∠CAE＝∠GEA．∠GAE＝120°∠CAE，∠CEF＝∠AEF＋∠CEA＝60°＋∠CEG∠GEA＝60°＋60°∠GEA＝120°∠GEA，∠GAE＝∠CEF．可證∠PCF＝∠