專題02承上啟下篇-勾股定理（原卷版）

專題02承上啟下篇勾股定理題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【題型2折疊問題】【題型3勾股定理與全等三角形】【題型4網(wǎng)格問題】【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理與全等三角形題型歸納【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如圖，在中，(1)，，求AB的長(zhǎng)；(2)，，求的長(zhǎng)．2．如圖，在直角三角形中，，于點(diǎn)，已知，．(1)求斜邊的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．3．如圖，在四邊形中，，且，求AB的長(zhǎng)．4．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【題型2折疊問題】5．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為．(1)求的周長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．6．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，若，，求的長(zhǎng)．7．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．(1)如圖1，如果點(diǎn)和頂點(diǎn)A重合，求CE的長(zhǎng)．(2)如圖2，如果點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，求CE的長(zhǎng)．【題型3勾股定理與全等三角形】8．在中，，D是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，．(1)求證：．(2)當(dāng)，求的長(zhǎng)．9．如圖，，，E是上的一點(diǎn)，且，．(1)求證：．(2)若，，求的面積．10．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作，并且始終保持，連接．(1)求證：；(2)若平分交于．求的值．11．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．12．如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點(diǎn)，連接，且，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．13．如圖，在和中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．14．如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接，作，，垂足分別為點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長(zhǎng)．15．如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；(3)若，求線段的長(zhǎng)．【題型4網(wǎng)格問題】16．已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中，格點(diǎn)（即的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊，，的長(zhǎng)分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．17．在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

(1)的面積為：．(2)若三邊的長(zhǎng)分別為、、，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的18．正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以下畫圖要求所畫圖形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)．(1)在圖①中畫一個(gè)面積為5的正方形；(2)在圖②中畫一個(gè)直角三角形，使它的兩邊長(zhǎng)是無理數(shù)，另一邊長(zhǎng)是有理數(shù)；(3)在圖③中畫一個(gè)等腰三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù)；(4)在圖④中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是，，．19．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)四邊形的面積________；(2)四邊形的周長(zhǎng)________；(3)與有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】20．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞，翻譯為：如圖秋千細(xì)索懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為1米（米）．將它往前推進(jìn)一些（于點(diǎn)E，且米），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地2米（米），求秋千繩（或）的長(zhǎng)度．21．一架云梯長(zhǎng)，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，求它的底部B在水平方向移動(dòng)的距離的長(zhǎng)．22．在“歡樂周末·非遺市集”活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，諸多非遺項(xiàng)目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個(gè)年畫風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問題，他設(shè)計(jì)了如下的方案：先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離為15m；根據(jù)手中余線長(zhǎng)度，計(jì)算出的長(zhǎng)度為17m；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5m．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升12m，請(qǐng)問能否成功？請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)說明．23．某游樂場(chǎng)部分平面圖如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上，，測(cè)得．(1)求入口到大擺錘的距離；(2)現(xiàn)要在距離大擺錘的處修建游樂項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)木馬（即），點(diǎn)在同一直線上，且使旋轉(zhuǎn)木馬到過山車的距離最近．求過山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離．24．現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達(dá)點(diǎn)的位置后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時(shí)繩子的長(zhǎng)為．（假設(shè)繩子一直處于繃直狀態(tài)，結(jié)果保留根號(hào)）(1)若工作人員以的速度收繩，后快艇移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問此時(shí)快艇距離岸邊還有多少？(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，保持的速度勻速靠岸，后快艇由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的位置，工作人員手中的繩子被收上來多少？25．葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭(zhēng)奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹干周長(zhǎng)為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】26．用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來探究下列三個(gè)問題：(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)驗(yàn)證勾股定理：；(2)如圖2，在中，，CD是AB邊上的高，，，求CD的長(zhǎng)度．27．在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上老師提供了若干張直角邊分別為、的直角三角形紙板，如圖所示．經(jīng)過同學(xué)們探究后得出如下結(jié)論：選用若下張這樣的紙片可以互不重疊的拼成一個(gè)大正方形，并且內(nèi)部留下一個(gè)“空隙”是一個(gè)較小的正方形，圖是同學(xué)們的一種拼法．(1)若圖中大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，求的值；(2)請(qǐng)你選擇若干張紙片拼出一個(gè)符合探究結(jié)論的圖形（與圖不同），畫出示意圖并直接用含的代數(shù)式表示大正方形、小正方形的面積．28．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”（邊長(zhǎng)為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）．(1)如圖1，請(qǐng)用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積．方法1：______；方法2：______；根據(jù)以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮將“弦圖”中的4個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；(3)如圖3，將圖2的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，若，，求陰影部分的面積．29．閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則該兩點(diǎn)間距離公式為，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可分別化簡(jiǎn)成和．(1)若已知兩點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)M，N在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，試求M，N兩點(diǎn)間的距離．【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】30．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，1331．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為．32．木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，1733．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長(zhǎng)為4+23，斜邊AB的長(zhǎng)為23，則Rt△ABC的面積為．34．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為(

)A．米 B．米 C．2米 D．米35．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．36．在中，，，則．37．已知三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，則此三角形是三角形．38．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米39．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．18【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】40．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接CE，則的面積為．41．在中，，，點(diǎn)是直線AB上一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在線段AB上，BH交AC于點(diǎn)，若為MB的中點(diǎn)，，則______；(2)如圖2，取AC中點(diǎn)，連接DH．①若點(diǎn)在線段AB上，求證：②若點(diǎn)在直線AB上，，，求AB的長(zhǎng)．42．【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，在中，，D為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．43．已知：在中，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，連接，在的右側(cè)作，．①線段和線段存在何種數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．②請(qǐng)直接寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系_________．(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上，連接，在的右側(cè)作，，則線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________．(3)如圖3，若點(diǎn)D在直線上，連接，在的左側(cè)作，當(dāng)，時(shí)，的面積為_________．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，2．在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個(gè)角是直角二、填空題3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．4．如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm，A點(diǎn)在