專題01預備知識（考點串講集合與常用邏輯用語不等式）高一數(shù)學上學期期末考點大串講（北師大版2019）

高一數(shù)學上學期·期末復習大串講串講01預備知識北師大版（2019）010203目

錄押題預測題型剖析考點透視20大?？键c：知識梳理

22個題型典例剖析+技巧點撥精選14道期末真題對應考點練考點透視01考點透視01考點透視研究對象元素集一樣確定性考點透視01考點透視屬于∈不屬于?[提醒]

符號“∈”“?”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關系，且二者必居其一，注意開口方向．考點透視01考點透視NN*或N＋ZQR考點透視01考點透視一

一列舉花括號“{

}”考點透視01考點透視共同特征P(x){x∈A|P(x)}考點透視01考點透視Venn考點透視01考點透視任意一個都是??A包含于BB包含A?x?A

A真包含于BB真包含A考點透視01考點透視任何一個都是任何一個都是考點透視01考點透視不含任何元素子集子集

考點透視01考點透視屬于集合A或屬于集合BA∪B{x|x∈A,或x∈B}考點透視01考點透視屬于集合A且屬于集合BA∩B{x|x∈A,且x∈B}考點透視01考點透視AAA?考點透視01考點透視全集U考點透視01考點透視集合A全集U?UA知識點13補集?UA集合A考點透視01考點透視命題真命題假命題pq真命題p?q充分條件必要條件充分條件必要條件考點透視01考點透視p?qq?pp?q充要條件充要條件充要條件p?q充要條件考點透視01考點透視所有的任意一個?全稱量詞?x∈M，p(x)考點透視01考點透視存在一個至少有一個?存在量詞?x∈M，p(x)考點透視01考點透視?x∈M，非p(x)存在量詞考點透視01考點透視?x∈M，非p(x)全稱量詞題型剖析02題型剖析02題型剖析題型1對集合的理解1．下列各組對象可以構成集合的是(

)A．數(shù)學必修第一冊課本中所有的難題B．小于8的所有素數(shù)C．直角坐標平面內第一象限的一些點D．所有小的正數(shù)解析：A中“難題”的標準不確定，不能構成集合；B能構成集合；C中“一些點”無明確的標準，因此不能構成集合；D中“小”的標準不確定，所以不能構成集合．故選B.答案解析題型剖析02題型剖析題型2元素與集合的關系【例題2】已知集合A含有三個元素2，4，6，且當a∈A時，有6－a∈A，那么a為(

)A．2 B．2或4C．4 D．0解析：由題意得，當a＝2時，2∈A，6－2＝4∈A；當a＝4時，4∈A，6－4＝2∈A；當a＝6時，6∈A，6－6＝0?A，所以a＝2或4.故選B.答案解析題型剖析02題型剖析題型3集合中元素的特性及應用【例題3】已知集合A中含有三個元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．解題型剖析02題型剖析題型4集合間關系的判斷【例題4】已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}與Q的關系是(

)A．M

Q B.M，Q互不包含C．Q

M D.Q＝M解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴M

Q.故選A.答案解析題型剖析02題型剖析題型5求子集、真子集(的個數(shù))【例題5】已知a為給定的實數(shù)，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的個數(shù)為________．解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判別式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以集合M有2個元素，所以集合M有22＝4個子集．4答案解析題型剖析02題型剖析題型三由集合間的關系求參數(shù)解析因為A?B，若a－2＝0，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.答案解析題型剖析02題型剖析題型6并集的概念及簡單應用【例題6】(2024·遼寧六校協(xié)作體高一上期中)設集合A＝{1，2}，則滿足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個數(shù)是(

)A．1 B．3C．4 D．8解析：因為A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故選C.答案解析題型剖析02題型剖析解析在數(shù)軸上表示出集合A和B，如圖所示．由交集的定義知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．題型7交集的概念及簡單應用【例題7】設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B＝(

)A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案解析題型剖析02題型剖析題型8已知集合的交集、并集求參數(shù)解

∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.當a＝－1時，集合N中的元素不滿足互異性，舍去；當a＝4時，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合題意．∴a＝4.【例題8】(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求實數(shù)a的值．解題型剖析02題型剖析題型9補集的簡單運算【例題9】設全集U＝{x|x是小于5的非負整數(shù)}，A＝{2，4}，則?UA＝__________．{0，1，3}解析：由題意，知U＝{0，1，2，3，4}，又A＝{2，4}，所以?UA＝{0，1，3}．答案解析題型剖析02題型剖析題型10交集、并集、補集的混合運算

【例題10】

設全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求?RB，?R(A∪B)及(?RA)∩B.解把集合A，B在數(shù)軸上表示如下：由圖知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因為?RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解題型剖析02題型剖析題型11與補集相關的參數(shù)的求解

解

由已知，得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，因為B＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，所以－m≤－2，即m≥2，所以實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥2}．【例題11】設集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．解題型剖析02題型剖析題型12充分條件的判斷【例題12】給出下列三組命題：(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：這個四邊形的對角線相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.試分別指出哪些命題中的p是q的充分條件？解題型剖析02題型剖析(2)因為矩形的對角線相等，所以p?q，所以p是q的充分條件．(3)因為由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p?q，所以p是q的充分條件．解題型剖析02題型剖析題型13必要條件的判斷解題型剖析02題型剖析題型14利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍【例題14】已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要條件，求a的取值范圍．解題型剖析02題型剖析解

(1)因為由x≠0推不出x＋|x|>0，如當x＝－1時，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(2)若關于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a≠0，所以pq，所以p不是q的充要條件．解題型剖析02題型剖析(3)當c＝0時，函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經過原點；當y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經過原點時，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p?q，所以p是q的充要條件．解題型剖析02題型剖析題型16充要條件的證明

證明假設p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.【例題16】(2024·江蘇連云港灌南高級中學高一上第二次月考)求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明題型剖析02題型剖析②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明題型剖析02題型剖析題型17探求充要條件

【例題17】求方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個公共實根的充要條件．解題型剖析02題型剖析反過來，當k＝－2時，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x3＝1，x4＝－2.因此兩個方程有公共實根1，所以方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個公共實根的充要條件是k＝－2.解題型剖析02題型剖析題型18全稱量詞命題與存在量詞命題的識別【例題18】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用符號“?”或“?”表示下列命題：(1)圓內接四邊形的對角互補；(2)存在實數(shù)x，滿足x2≥2；(3)有些平行四邊形的對角線不互相垂直；(4)存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．題型剖析02題型剖析解：(1)是全稱量詞命題，表示為?圓內接四邊形，其對角互補．(2)是存在量詞命題，表示為?x∈R，x2≥2.(3)是存在量詞命題，表示為?平行四邊形，其對角線不互相垂直．(4)是存在量詞命題，表示為?a∈R，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．解題型剖析02題型剖析題型19全稱量詞命題與存在量詞,命題的真假判斷)【例題19】判斷下列命題的真假：(1)任何實數(shù)都有平方根；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)?x∈R，x2－x＋1>0；(4)?x∈Z，3x＋4＝5.題型剖析02題型剖析解題型剖析02題型剖析題型20含有量詞的命題的應用【例題20】已知命題p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______________．答案解析題型剖析02題型剖析題型21全稱量詞命題的否定解題型剖析02題型剖析題型22存在量詞命題的否定解

(1)該命題的否定為“任意一個奇數(shù)都能被3整除”．(2)該命題的否定為“任意一個三角形的三個內角不都是60°”．(3)該命題的否定為“?x∈R，|x＋1|>1”．【例題22】寫出下列命題的否定．(1)有一個奇數(shù)不能被3整除；(2)有些三角形的三個內角都是60°；(3)?x∈R，|x＋1|≤1.解押題預測03題型剖析1.已知命題p：?n∈N，n2>2n，則命題p的否定為(

)A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n解析：因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.答案解析答案解析3．下列語言敘述中，能表示集合的是(

)A．數(shù)軸上離原點距離很近的所有點B．太陽系內的所有行星C．某高一年級全體視力差的學生 D．與△ABC大小相仿的所有三角形解析：對于A，數(shù)軸上離原點距離很近的所有點不滿足確定性，故A不符合題意；對于B，太陽系內的所有行星滿足集合的性質，故B符合題意；對于C，某高一年級全體視力差的學生不滿足確定性，故C不符合題意；對于D，與△ABC大小相仿的所有三角形不滿足確定性，故D不符合題意．故選B.答案解析4．已知a∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，則a的值為(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：因為a∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，所以a的值為0.故選A.答案解析5．將集合{x|x2－3x－4＝0}用列舉法表示為(

)A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4}C．{x2－3x－4＝0} D．{－1，4}解析：解方程x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列舉法可表示為{－1，4}．答案解析6．(2024·湖北武漢第一中學高一上第一次月考)已知集合A＝{x∈N|x－4≤－1}，則集合A的真子集的個數(shù)為(

)A．4 B．8C．15 D．16解析：A＝{x∈N|x－4≤－1}＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，即集合A中含有4個元素，其真子集有24－1＝15個．故選C.答案解析7．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，則p是q的(

)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案解析8．(2024·廣東珠海一中高一上月考)設x，y是兩個實數(shù)，命題“x，y中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件是(

)A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析：對于A，當x＝1，y＝1時，滿足x＋y＝2，但命題不成立；對于C，D，當x＝－2，y＝－3時，滿足x2＋y2>2，xy>1，但命題不成立．故選B.答案解析答案解析10．(2024·河南八地市高一上期中聯(lián)考)已知U為全集，集合A，B為U的兩個子集，則“A??UB”的充要條件是(

)A．B??UA B．A?BC．B?A D．?UA?B解析：因為A??UB，則A，B關系如圖，由圖可知A正確，B，C，D錯誤．故選A.答案解析11．(2024·廣東揭陽普寧二中高一上第一次月考)下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(

)①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；②有的菱形是正方