2025高考數(shù)學(xué)壓軸專(zhuān)項(xiàng)題型專(zhuān)題3圓錐曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度問(wèn)題含答案及解析

專(zhuān)題3圓錐曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度問(wèn)題一、考情分析圓錐曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度問(wèn)題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中最基本的問(wèn)題,一般出現(xiàn)在解答題第2問(wèn),常見(jiàn)的有焦半徑、弦長(zhǎng)、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線(xiàn)距離、三角形周長(zhǎng)等,求解方法可以用兩點(diǎn)間距離公式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、函數(shù)求最值等.二、解題秘籍(一)利用兩點(diǎn)間距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度若直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)已知或可求,可直線(xiàn)利用兩點(diǎn)間距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度.【例1】（2022屆山西省呂梁市高三上學(xué)期12月月考）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)為（定義：橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為,其中）.點(diǎn)P是右準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線(xiàn),分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)P在x軸上時(shí),.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值.【解析】（1）由題意可知,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),,不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N上方,則,所以直線(xiàn)與橢圓C相切,將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得,則,整理得,又,解得或（舍去）,所以,即橢圓C的方程為；（2）設(shè),切線(xiàn)方程為,將切線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立,消去y,整理得,則,整理得,設(shè)切線(xiàn)斜率為,直線(xiàn)斜率為,則,,且,,所以,將,代入上式,整理得,當(dāng)時(shí),上述等號(hào)成立,即的最小值為4.(二)利用求距離設(shè)斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|.其中求|x2－x1|通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形：|x2－x1|＝,【例2】(2022屆陜西省安康市高三下學(xué)期聯(lián)考)已知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線(xiàn)實(shí)軸的頂點(diǎn)相同,且的右焦點(diǎn)到的漸近線(xiàn)的距離為．(1)求與的方程；(2)若直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的倍,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),與交于、兩點(diǎn),與交于、兩點(diǎn),求．【解析】（1）由題意可得,則．因?yàn)榈臐u近線(xiàn)方程為,即,橢圓的右焦點(diǎn)為,由題意可得,,解得,故橢圓的方程為,雙曲線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,所以,直線(xiàn)的斜率為,所以直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立得,則,設(shè)、,則,,所以,聯(lián)立可得,,設(shè)點(diǎn)、,則,,所以,,故．(三)利用求距離設(shè)斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.當(dāng)消去x整理方程為關(guān)于y的一元二次方程常用此結(jié)論.其中求|y2－y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形：|y2－y1|＝.【例3】（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率；上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為,直線(xiàn)與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)與圓相切的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).求的取值范圍.【解析】（1）由知,原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,故,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）時(shí)：,或,故；直線(xiàn)斜率不存在時(shí),,或．故；直線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)：設(shè)直線(xiàn)的方程為（）,由直線(xiàn)與圓相切,所以,即,聯(lián)立得,設(shè),由韋達(dá)定理：,,,所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,故,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,綜上：的取值范圍是.(四)利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求垂線(xiàn)段的長(zhǎng)1.若已知定點(diǎn)P,點(diǎn)Q在動(dòng)直線(xiàn)上,求最小值,常利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式；2.若點(diǎn)P在定直線(xiàn)上,點(diǎn)Q為曲線(xiàn)上,求最小值,有時(shí)可轉(zhuǎn)換為與定直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離.【例4】（2023屆上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)有橢圓方程,直線(xiàn),下端點(diǎn)為,左?右焦點(diǎn)分別為在上.(1)若中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)與軸交于,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn),且,求；(3)在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為,使,當(dāng)變化時(shí),求的最小值.【解析】（1）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn),所以,由題知,所以,,又因?yàn)橹悬c(diǎn)在軸上,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入中的,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）如圖,設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為,因?yàn)橹本€(xiàn)為,所以直線(xiàn)的傾斜角為,①,由題意知,,,,所以在中,,,所以,整理可得,解得或,又因?yàn)?所以,舍去,.（3）設(shè)直線(xiàn)平移后與橢圓相切的直線(xiàn)方程為,聯(lián)立,得,,所以,因?yàn)闄E圓上存在點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,,即所以①,同時(shí),又因?yàn)?所以①式右側(cè)肯定成立,左側(cè)可以整理為,解得,因?yàn)?所以當(dāng)取得最小值時(shí),有最大值,最大值為.(五)利用函數(shù)思想求距離最值求圓錐曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)距離的最值,有時(shí)可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用距離公式把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.【例5】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）設(shè)的上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,直線(xiàn)與平行,且與交于,兩點(diǎn),,點(diǎn)為的右焦點(diǎn),求的最小值.【解析】（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為,所以,即.又點(diǎn)在上,所以,代入,解得,故的方程為.（2）由（1）可知,A,B的坐標(biāo)分別為,,直線(xiàn)的方程為,設(shè),聯(lián)立得,由,得,設(shè),,,因?yàn)?所以D為MN的中點(diǎn),則,因?yàn)?所以,又的坐標(biāo)為,所以,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.(六)利用圓錐曲線(xiàn)定義求長(zhǎng)度與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦或焦半徑有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算可利用圓錐曲線(xiàn)定義求解.【例6】（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高三下學(xué)期5月模擬）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù),使為定值？若存在,求出的值；若不存在,說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為,所以,又,則,故橢圓的方程為：；（2）設(shè)???,設(shè)直線(xiàn)的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立,得,∴,,∴,設(shè)直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)G的方程聯(lián)立,得,∴,,∴,∴,要使為常數(shù),則,解得,故存在,使得為定值．【例7】（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期測(cè)試）已知點(diǎn)B是圓C:上的任意一點(diǎn),點(diǎn)F（,0）,線(xiàn)段BF的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡E的方程;(2)設(shè)曲線(xiàn)E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1,A2,Q為直線(xiàn)x=4上的動(dòng)點(diǎn),且Q不在x軸上,QA1與E的另一個(gè)交點(diǎn)為M,QA2與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N,證明:△FMN的周長(zhǎng)為定值.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在BF垂直平分線(xiàn)上,所以有,所以：,即PF+PC為定值4,所以軌跡E為橢圓,且,所以,所以軌跡E的方程為：.（2）由題知：,設(shè)則,,所以QA1方程為：,QA2方程為：,聯(lián)立方程：,可以得出M：同理可以計(jì)算出點(diǎn)N坐標(biāo)：,當(dāng)存在,即,即時(shí),所以直線(xiàn)MN的方程為：即：,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),即過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),所以△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.當(dāng)不存在,即,即時(shí),可以計(jì)算出,周長(zhǎng)也等于8.所以△FMN的周長(zhǎng)為定值8.三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試）已知橢圓C：（其中）的離心率為,左右焦點(diǎn)分別為,.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作AB的垂線(xiàn),垂足為D.若點(diǎn)D恰好是與A的中點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.2．（2023屆福建省部分名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)在軸的投影為,且,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).(1)求的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)在軸右側(cè)相交于,兩點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸相交于點(diǎn),試問(wèn)是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2023屆四川省巴中市高三上學(xué)期考試）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓的切線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn),求的最大值及此時(shí)直線(xiàn)的斜率．4．（2023屆安徽省部分校高三上學(xué)期摸底考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓過(guò)點(diǎn),記線(xiàn)段的中點(diǎn)為．(1)若直線(xiàn)的斜率為3,求直線(xiàn)的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形,求的取值范圍．5.（2023屆遼寧省朝陽(yáng)市高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線(xiàn)的離心率為,點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)點(diǎn),在雙曲線(xiàn)上,直線(xiàn),與軸分別相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上,若坐標(biāo)原點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn),,證明：存在定點(diǎn),使得為定值.6.（2023屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期考試）已知橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C上除A,B外任意一點(diǎn),直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)N,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)記為l,直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)P,交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q,求證：為定值．7．（2022屆浙江省“數(shù)海漫游”高三上學(xué)期模擬）已知斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=4x交于A(yíng)?B兩點(diǎn),y軸上的點(diǎn)P使得△ABP是等邊三角形.（1）若k>0,證明：點(diǎn)P在y軸正半軸上；（2）當(dāng)取到最大值時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.8．（2022屆上海市建平中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)實(shí)數(shù),橢圓D：的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k的直線(xiàn)交D于P、Q兩點(diǎn),若線(xiàn)段PQ的中為N,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)ON交直線(xiàn)于點(diǎn)M．（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；（2）求證：；（3）求的最大值．9．（2022屆江蘇省南京高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知橢圓C：0)的離心率為,右頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)B(a,1)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,其中點(diǎn)M在第一象限當(dāng)點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線(xiàn),與直線(xiàn)AM交于點(diǎn)P,Q為線(xiàn)段NP的中點(diǎn),求直線(xiàn)AQ的斜率,并求線(xiàn)段AQ長(zhǎng)度的最大值．10．（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期綜合測(cè)試）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),求的最大值.11．（2022屆百校聯(lián)盟高三上學(xué)期11月質(zhì)監(jiān)）在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足,記點(diǎn)的軌跡為．（1）請(qǐng)說(shuō)明是什么曲線(xiàn),并寫(xiě)出它的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn),,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,直線(xiàn)與交于兩點(diǎn),,請(qǐng)判斷與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論．12．（2022屆河南省縣級(jí)示范性高中高三上學(xué)期11月尖子生對(duì)抗賽）已知橢圓：（）與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),上頂點(diǎn)滿(mǎn)足（其中表示直線(xiàn)的概率）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若與直線(xiàn)平行且過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),證明：為定值．13．（2022屆江蘇省泰州市高三上學(xué)期12月階段性測(cè)試）已知橢圓,短軸長(zhǎng)為,離心率為.過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于?兩點(diǎn),的中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn),交直線(xiàn)于點(diǎn).（1）求的方程；（2）求的大小；（3）證明：???四點(diǎn)共圓.14．（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設(shè)常數(shù)且,橢圓：,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè),若定點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最大值與最小值；（3）設(shè),若上的另一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求證：到直線(xiàn)PQ的距離是定值．15．（2022屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知圓：,,為圓上的動(dòng)點(diǎn),若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為上一點(diǎn),過(guò)作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線(xiàn),分別交曲線(xiàn)于,,求的取值范圍.

專(zhuān)題3圓錐曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度問(wèn)題一、考情分析圓錐曲線(xiàn)中的長(zhǎng)度問(wèn)題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中最基本的問(wèn)題,一般出現(xiàn)在解答題第2問(wèn),常見(jiàn)的有焦半徑、弦長(zhǎng)、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線(xiàn)距離、三角形周長(zhǎng)等,求解方法可以用兩點(diǎn)間距離公式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、函數(shù)求最值等.二、解題秘籍(一)利用兩點(diǎn)間距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度若直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)已知或可求,可直線(xiàn)利用兩點(diǎn)間距離公式求線(xiàn)段長(zhǎng)度.【例1】（2022屆山西省呂梁市高三上學(xué)期12月月考）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)為（定義：橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為,其中）.點(diǎn)P是右準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線(xiàn),分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)P在x軸上時(shí),.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值.【解析】（1）由題意可知,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),,不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N上方,則,所以直線(xiàn)與橢圓C相切,將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得,則,整理得,又,解得或（舍去）,所以,即橢圓C的方程為；（2）設(shè),切線(xiàn)方程為,將切線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立,消去y,整理得,則,整理得,設(shè)切線(xiàn)斜率為,直線(xiàn)斜率為,則,,且,,所以,將,代入上式,整理得,當(dāng)時(shí),上述等號(hào)成立,即的最小值為4.(二)利用求距離設(shè)斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|.其中求|x2－x1|通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形：|x2－x1|＝,【例2】(2022屆陜西省安康市高三下學(xué)期聯(lián)考)已知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線(xiàn)實(shí)軸的頂點(diǎn)相同,且的右焦點(diǎn)到的漸近線(xiàn)的距離為．(1)求與的方程；(2)若直線(xiàn)的傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的倍,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),與交于、兩點(diǎn),與交于、兩點(diǎn),求．【解析】（1）由題意可得,則．因?yàn)榈臐u近線(xiàn)方程為,即,橢圓的右焦點(diǎn)為,由題意可得,,解得,故橢圓的方程為,雙曲線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,所以,直線(xiàn)的斜率為,所以直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立得,則,設(shè)、,則,,所以,聯(lián)立可得,,設(shè)點(diǎn)、,則,,所以,,故．(三)利用求距離設(shè)斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.當(dāng)消去x整理方程為關(guān)于y的一元二次方程常用此結(jié)論.其中求|y2－y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形：|y2－y1|＝.【例3】（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率；上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為,直線(xiàn)與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)與圓相切的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).求的取值范圍.【解析】（1）由知,原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,故,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）時(shí)：,或,故；直線(xiàn)斜率不存在時(shí),,或．故；直線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)：設(shè)直線(xiàn)的方程為（）,由直線(xiàn)與圓相切,所以,即,聯(lián)立得,設(shè),由韋達(dá)定理：,,,所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,故,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,綜上：的取值范圍是.(四)利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求垂線(xiàn)段的長(zhǎng)1.若已知定點(diǎn)P,點(diǎn)Q在動(dòng)直線(xiàn)上,求最小值,常利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式；2.若點(diǎn)P在定直線(xiàn)上,點(diǎn)Q為曲線(xiàn)上,求最小值,有時(shí)可轉(zhuǎn)換為與定直線(xiàn)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離.【例4】（2023屆上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)有橢圓方程,直線(xiàn),下端點(diǎn)為,左?右焦點(diǎn)分別為在上.(1)若中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)與軸交于,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn),且,求；(3)在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為,使,當(dāng)變化時(shí),求的最小值.【解析】（1）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn),所以,由題知,所以,,又因?yàn)橹悬c(diǎn)在軸上,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入中的,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）如圖,設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為,因?yàn)橹本€(xiàn)為,所以直線(xiàn)的傾斜角為,①,由題意知,,,,所以在中,,,所以,整理可得,解得或,又因?yàn)?所以,舍去,.（3）設(shè)直線(xiàn)平移后與橢圓相切的直線(xiàn)方程為,聯(lián)立,得,,所以,因?yàn)闄E圓上存在點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,,即所以①,同時(shí),又因?yàn)?所以①式右側(cè)肯定成立,左側(cè)可以整理為,解得,因?yàn)?所以當(dāng)取得最小值時(shí),有最大值,最大值為.(五)利用函數(shù)思想求距離最值求圓錐曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)距離的最值,有時(shí)可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用距離公式把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.【例5】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）設(shè)的上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,直線(xiàn)與平行,且與交于,兩點(diǎn),,點(diǎn)為的右焦點(diǎn),求的最小值.【解析】（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為,所以,即.又點(diǎn)在上,所以,代入,解得,故的方程為.（2）由（1）可知,A,B的坐標(biāo)分別為,,直線(xiàn)的方程為,設(shè),聯(lián)立得,由,得,設(shè),,,因?yàn)?所以D為MN的中點(diǎn),則,因?yàn)?所以,又的坐標(biāo)為,所以,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.(六)利用圓錐曲線(xiàn)定義求長(zhǎng)度與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦或焦半徑有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算可利用圓錐曲線(xiàn)定義求解.【例6】（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高三下學(xué)期5月模擬）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù),使為定值？若存在,求出的值；若不存在,說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為,所以,又,則,故橢圓的方程為：；（2）設(shè)???,設(shè)直線(xiàn)的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立,得,∴,,∴,設(shè)直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)G的方程聯(lián)立,得,∴,,∴,∴,要使為常數(shù),則,解得,故存在,使得為定值．【例7】（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期測(cè)試）已知點(diǎn)B是圓C:上的任意一點(diǎn),點(diǎn)F（,0）,線(xiàn)段BF的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡E的方程;(2)設(shè)曲線(xiàn)E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1,A2,Q為直線(xiàn)x=4上的動(dòng)點(diǎn),且Q不在x軸上,QA1與E的另一個(gè)交點(diǎn)為M,QA2與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N,證明:△FMN的周長(zhǎng)為定值.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在BF垂直平分線(xiàn)上,所以有,所以：,即PF+PC為定值4,所以軌跡E為橢圓,且,所以,所以軌跡E的方程為：.（2）由題知：,設(shè)則,,所以QA1方程為：,QA2方程為：,聯(lián)立方程：,可以得出M：同理可以計(jì)算出點(diǎn)N坐標(biāo)：,當(dāng)存在,即,即時(shí),所以直線(xiàn)MN的方程為：即：,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),即過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),所以△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.當(dāng)不存在,即,即時(shí),可以計(jì)算出,周長(zhǎng)也等于8.所以△FMN的周長(zhǎng)為定值8.三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試）已知橢圓C：（其中）的離心率為,左右焦點(diǎn)分別為,.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作AB的垂線(xiàn),垂足為D.若點(diǎn)D恰好是與A的中點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.【解析】（1）由題設(shè),得.

又,所以.

所以,

所以橢圓的方程為,（2）設(shè),.

由題意可知直線(xiàn)有斜率且不為0,故設(shè)直線(xiàn)的方程為,

所以直線(xiàn)的方程為,

所以

得

所以

因?yàn)辄c(diǎn)恰好是與的中點(diǎn),所以,

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以

解得,

當(dāng)時(shí),由,得

所以,所以

同理時(shí),2．（2023屆福建省部分名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)在軸的投影為,且,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).(1)求的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)在軸右側(cè)相交于,兩點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸相交于點(diǎn),試問(wèn)是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè),則,,,.因?yàn)?所以,故的方程為.（2）由題可知直線(xiàn)的斜率一定存在,且不為0,不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為,,.聯(lián)立方程組,消去整理得,則,整理得.,,則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為,令,得,則,.則.故是定值,該定值為.3．（2023屆四川省巴中市高三上學(xué)期考試）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓的切線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn),求的最大值及此時(shí)直線(xiàn)的斜率．【解析】（1）由橢圓可得,所以,解得,因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),故得到,解得,所以橢圓的方程為（2）當(dāng)切線(xiàn)垂直軸時(shí),的橫坐標(biāo)為1或-1,由于橢圓的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)的橫坐標(biāo)為1,代入橢圓得解得,所以；當(dāng)切線(xiàn)不垂直軸時(shí),設(shè)切線(xiàn)方程為即,所以圓心到切線(xiàn)的距離,得,把代入橢圓方程,整理得設(shè),則,設(shè),則,則,所以,綜上所述,,此時(shí),因?yàn)?所以直線(xiàn)的斜率為4．（2023屆安徽省部分校高三上學(xué)期摸底考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓過(guò)點(diǎn),記線(xiàn)段的中點(diǎn)為．(1)若直線(xiàn)的斜率為3,求直線(xiàn)的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形,求的取值范圍．【解析】（1）設(shè),則,兩式相減可得,,而,則有,又直線(xiàn)斜率,因此所以直線(xiàn)的斜率.（2）當(dāng)直線(xiàn)不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn),,由消去y并整理得：,,,,因四邊形為平行四邊形,即,則點(diǎn),而,即,又點(diǎn)P在橢圓上,則,化簡(jiǎn)得,滿(mǎn)足,于是得,,,則,當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸時(shí),得點(diǎn)或,若點(diǎn),點(diǎn)M,N必在直線(xiàn)上,由得,則,若點(diǎn),同理可得,綜上,的取值范圍為．5.（2023屆遼寧省朝陽(yáng)市高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線(xiàn)的離心率為,點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)點(diǎn),在雙曲線(xiàn)上,直線(xiàn),與軸分別相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上,若坐標(biāo)原點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn),,證明：存在定點(diǎn),使得為定值.【解析】（1）由題意,雙曲線(xiàn)的離心率為,且在雙曲線(xiàn)上,可得,解得,所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）由題意知,直線(xiàn)的的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,則且,設(shè),則,直線(xiàn)的方程為,令,可得,即,同理可得,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,即,可得,即,所以或,若,則直線(xiàn)方程為,即,此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),不合題意；若時(shí),則直線(xiàn)方程為,恒過(guò)定點(diǎn),所以為定值,又由為直角三角形,且為斜邊,所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),.6.（2023屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期考試）已知橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C上除A,B外任意一點(diǎn),直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)N,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)記為l,直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)P,交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q,求證：為定值．【解析】（1）由已知,又,,所以,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè),,則,,直線(xiàn)的方程為,令得,即,,,,直線(xiàn)的方程是,直線(xiàn)的方程為,令得,即,由,因?yàn)?故解得,即,所以7．（2022屆浙江省“數(shù)海漫游”高三上學(xué)期模擬）已知斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=4x交于A(yíng)?B兩點(diǎn),y軸上的點(diǎn)P使得△ABP是等邊三角形.（1）若k>0,證明：點(diǎn)P在y軸正半軸上；（2）當(dāng)取到最大值時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.【解析】（1）設(shè),的中點(diǎn)為,,因?yàn)?故直線(xiàn)的斜率存在,故,故,故直線(xiàn),故,因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為,故,故.所以點(diǎn)P在y軸正半軸上.（2）當(dāng)與軸垂直時(shí),；當(dāng)與軸不垂直時(shí),因?yàn)椤鰽BP是等邊三角形,故與軸不垂直,故.由（1）可得即,故,所以,又,由可得,所以即且,因?yàn)椤鰽BP是等邊三角形,故,故,整理得到,此時(shí)成立.由可得.因?yàn)?故,其中.設(shè),,則,當(dāng)時(shí),；時(shí),；所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),故當(dāng)時(shí),的最大值為,此時(shí),此時(shí)直線(xiàn)的斜率即.8．（2022屆上海市建平中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)實(shí)數(shù),橢圓D：的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k的直線(xiàn)交D于P、Q兩點(diǎn),若線(xiàn)段PQ的中為N,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)ON交直線(xiàn)于點(diǎn)M．（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；（2）求證：；（3）求的最大值．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,由,得P的坐標(biāo)為或．F的坐標(biāo)為．當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí),直線(xiàn)PQ：,即,代入橢圓方程,,即,得Q的橫坐標(biāo)為.當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí),同樣得Q的橫坐標(biāo)為.因此,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立方程組,其解為,．消去y,得,即．由,所以N的橫坐標(biāo)為,得N的縱坐標(biāo)為,得N的坐標(biāo)為．所以直線(xiàn)ON的斜率為,方程為,與直線(xiàn)交于點(diǎn)．故直線(xiàn)FM的斜率為,于是,因此；（3）．令,由,得,又,得．即,所以的取值范圍為,最大值為．9．（2022屆江蘇省南京高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知橢圓C：0)的離心率為,右頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)B(a,1)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,其中點(diǎn)M在第一象限當(dāng)點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線(xiàn),與直線(xiàn)AM交于點(diǎn)P,Q為線(xiàn)段NP的中點(diǎn),求直線(xiàn)AQ的斜率,并求線(xiàn)段AQ長(zhǎng)度的最大值．【解析】（1）因?yàn)?又,所以,所以橢圓．當(dāng)點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),此時(shí)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),直線(xiàn)的方程為,所以,代入橢圓的方程得,即,所以或（舍去）所以橢圓的方程為（2）,由題意直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為,,,由,得,可知,,且直線(xiàn)的方程為,令,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo),所以直線(xiàn)的斜率為,即直線(xiàn)的斜率為．設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,在中,,所以,,所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的最大值為．10．（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期綜合測(cè)試）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),求的最大值.【解析】（1）由已知得解得,因此橢圓C的方程為；（2）解：由整理得,設(shè),則,因?yàn)?所以MA⊥MB,三角形MAB為直角三角形,設(shè)d為點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離,故,又因?yàn)?,所以,設(shè),則,由于,所以,當(dāng),即k=0時(shí),等號(hào)成立.因此,的最大值為32.11．（2022屆百校聯(lián)盟高三上學(xué)期11月質(zhì)監(jiān)）在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足,記點(diǎn)的軌跡為．（1）請(qǐng)說(shuō)明是什么曲線(xiàn),并寫(xiě)出它的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn),,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,