題型05 4類比較函數(shù)值大小關系解題技巧（構(gòu)造函數(shù)、兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）-高考數(shù)學必考模型歸納（解析版）

題型054類比較函數(shù)值大小關系解題技巧（構(gòu)造函數(shù)、兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）技法01技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關系解題技巧技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關系解題技巧技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關系解題技巧技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關系解題技巧技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用分析法找打構(gòu)造函數(shù)的本體是解決此類問題的突破口，需重點掌握.例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【法一】分析法假設待證法比較大小→構(gòu)造函數(shù)假設成立，即令，則等價證明：，即證：（原式得證，略）假設成立，即令，則等價證明：，證明略所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即：，所以假設不成立，即，綜上所述：，故選：C【法二】構(gòu)造法設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意，，，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷、，再令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷、，即可得解.【詳解】因為，，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，則，即，即，所以，綜上可得.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是根據(jù)式子的特征構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合臨界點的函數(shù)值，從而判斷函數(shù)值的正負，達到比較大小的目的.2．（2023·福建福州·模擬預測），則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到，即可判斷、的大小關系；構(gòu)造函數(shù)判斷與0.1的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大?。驹斀狻苛?，，則，所以當時，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：常用的不等式：，，，，，.3．（2023·福建·二模）設，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作差法判斷、的大小，構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)的單調(diào)性判斷、的大小.【詳解】，又，所以令，，則，令，則，當時,,，所以，故,故在上是增函數(shù)，又∵，∴當時,,故在上是增函數(shù)，故,即，故.故選:A.【點睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關系，在構(gòu)造函數(shù)時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，將視為變量可以構(gòu)造函數(shù).技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用兩類超越不等式是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移，，，例2．已知,則的大小關系為()A.B.C.D.【答案】1．（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考開學考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)討論其單調(diào)性和最值，可得，從而可得，，即可比較的大小關系，再利用作差法比較大小關系.【詳解】令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以，即，令，則有，所以，即，又由，可得，所以，即，又因為，所以，綜上可得，故選：D.2．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性可比較的大小關系.構(gòu)造，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性可比較的大小關系.【詳解】，，，設，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，即.設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，即.所以.故選:C.3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)分析這兩個函數(shù)的單調(diào)性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性質(zhì)可得出、的大小關系，由此可得出、、三個數(shù)的大小關系.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，則，所以，因為，則，當時，證明，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以當時，，則，所以，所以，因此.故選：D.技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展開是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．例3．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因為，所以，所以因為所以綜上所述：故選：C1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（

）A． B． C． D．[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關系.記，則，，由于所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.3．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造，，三個函數(shù)，將三個數(shù)與進行比較，得到，；再通過構(gòu)造，，通過二次求導的方法比較b和c的大小即可得到答案.【詳解】先比較和的大?。簶?gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞增，此時，當且僅當時取等，所以，則；構(gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；構(gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O，，，設，，，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，由，則，即，則.綜上，故選：B【點睛】方法點睛：本題考查通過導數(shù)的綜合運用.比大小問題要熟悉各類常見的放縮，找出結(jié)構(gòu)的相同之處，通過構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)這一工具，對數(shù)據(jù)進行大小的比較.技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用不等式來放縮是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移，，，，，，放縮程度綜合，例4-1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．放縮法因為，所以，即因為，所以，即綜上所述：，故選：C例4-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放縮一因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A【法二】不等式放縮二因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．1．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）設，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用導數(shù)證明當時，，再分別利用作商，作差比較法可判斷，，大小.【詳解】先來證明當時，.令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；所以當時，.因為，由，因為，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：D.2．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的大小關系.【詳解】令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以，即，令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞減，