淺談攝動理論及其工程應(yīng)用

淺談攝動理論及其工程應(yīng)用《淺談攝動理論及其工程應(yīng)用》摘要奇異攝動方法是求含有小參數(shù)的微分方程在整個區(qū)域上一致有效漸近解的一類近似方法的總稱。它是1892年由Poincaré倡導(dǎo)創(chuàng)立的。奇異攝動方法自誕生之日起，便被廣泛應(yīng)用于力學(xué)、天文學(xué)等諸多科學(xué)領(lǐng)域之中。實(shí)用性是奇異攝動方法最突出的品質(zhì)。在柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的控制研究中，實(shí)現(xiàn)定位目標(biāo)的同時(shí)必須快速消除柔性振動。根據(jù)奇異攝動方法，提出了基于慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)和快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的混合控制方法。本文分為四個部分。其中，第一部分為引言，對應(yīng)用數(shù)學(xué)的產(chǎn)生做了簡要介紹；第二部分對攝動理論的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)，闡述了攝動理論與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系及其在工程應(yīng)用問題中的經(jīng)典方法；第三部分以柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人控制系統(tǒng)為工程背景，對奇異攝動方法的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。通過奇異攝動方法實(shí)現(xiàn)了對具有魯棒性的雙時(shí)標(biāo)混合控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)；第四部分是總結(jié)部分。關(guān)鍵詞：奇異攝動；一致有效；柔性關(guān)節(jié)；混合控制；一、引言數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形成的一門學(xué)科，起源于人類社會生產(chǎn)實(shí)踐的需要，并隨著社會的進(jìn)步和數(shù)學(xué)自身矛盾的解決而發(fā)展，以自身矛盾為研究對象的數(shù)學(xué)，人們稱之為純粹數(shù)學(xué)，其突出的特點(diǎn)是高度的抽象和理論的嚴(yán)謹(jǐn)。而以現(xiàn)實(shí)世界的物質(zhì)運(yùn)動和人類社會的實(shí)際活動為背景的數(shù)學(xué)，則稱之為應(yīng)用數(shù)學(xué)，其突出的特點(diǎn)是實(shí)際的背景和具體的應(yīng)用。作為應(yīng)用數(shù)學(xué)一部分的攝動法是最重要的一種求解非線性問題的近似方法，它正受到國內(nèi)外學(xué)者越來越普遍的重視，已被公認(rèn)為數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)以及各種工程技術(shù)科學(xué)中研究非線性問題的基本工具之一，也是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和力學(xué)工作者所必須掌握的基礎(chǔ)知識。二、攝動理論的現(xiàn)狀與發(fā)展2.1應(yīng)用數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及其特征在19世紀(jì)末，當(dāng)時(shí)的工業(yè)落后，無論是引進(jìn)技術(shù)還是自己動手搞大工業(yè)實(shí)驗(yàn)都力不從心，只好求助于數(shù)學(xué)，崇尚應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究蔚然成風(fēng)，形成了著名的哥廷根應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)派。最早使用“應(yīng)用數(shù)學(xué)”這一名稱是本世紀(jì)四十年代的美國數(shù)學(xué)家。第二次世界大戰(zhàn)期間，許多軍事問題如“密碼破譯、潛艇的系統(tǒng)搜索、原子彈”都與數(shù)學(xué)有密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)家為戰(zhàn)爭的勝利作了重大的貢獻(xiàn)，這也促使美國政府和軍界在戰(zhàn)后對應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究繼續(xù)提供有力的支持和資助，使得應(yīng)用數(shù)學(xué)在當(dāng)今的美國充滿生機(jī)、最優(yōu)活力的學(xué)科之一。應(yīng)用數(shù)學(xué)側(cè)重解決實(shí)際問題，來源于數(shù)學(xué)學(xué)科以外的其他學(xué)科提出的數(shù)學(xué)問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)容許用不完全嚴(yán)格的推理和運(yùn)算去求解數(shù)學(xué)模型。這是因?yàn)閷?shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型時(shí)，人們必訓(xùn)抓住主要矛盾而省略次要因素。使用的參數(shù)和數(shù)據(jù)難免不完全或有測量誤差，計(jì)算時(shí)也往往會有舍入誤差、截?cái)嗾`差和誤差的積累。而實(shí)際問題也往往容許一定程度的誤差，有時(shí)一些問題雖然有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)不方便，因此人們寧可要那些雖然不夠嚴(yán)格但是簡單實(shí)用的解。2.2攝動法的產(chǎn)生及其與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系隨著經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代的工程技術(shù)人員、物理學(xué)和數(shù)學(xué)工作者面臨的許多實(shí)際問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)從這些實(shí)際問題中歸結(jié)出來的數(shù)學(xué)模型，常常是非線性、變系數(shù)的微分方程，附以非線性的邊界條件或初始條件，有些問題的邊界形狀相當(dāng)復(fù)雜，有些邊界本身是不確定的[1]。這些問題絕大多數(shù)求不出精確解，或者雖可求出精確解但對于物理上或數(shù)學(xué)上不便使用。為了解決這些問題，人們不得不求助于近似解、數(shù)值解或兩者相結(jié)合的形式，從而逐步形成和發(fā)展了奇異攝動理論和各種漸近方法，亦稱攝動方法?！皵z動”一詞源于天體力學(xué)，而攝動方法則是近百年來由許多數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和物理學(xué)家共同建立并發(fā)展起來的具有廣泛應(yīng)用的一類重要方法。從近半個世紀(jì)來看，其發(fā)展十分迅速，攝動方法是求現(xiàn)代技術(shù)和科學(xué)問題分析的最有力的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用領(lǐng)域尤為廣泛。現(xiàn)在已被公認(rèn)為數(shù)學(xué)、力學(xué)、理論物理、化學(xué)、生物學(xué)及各種工程技術(shù)科學(xué)中研究非線性微分方程的基本工具之一，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要學(xué)科之一。攝動方法是尋求代數(shù)方程、超越方程、微分方程、積分方程等方程近似解的一大類方法的總稱，是方程近似求解中最主要的方法。按照這些方法，解是用一個漸近展開式的開頭幾項(xiàng)（一般不多于兩項(xiàng)）表示。在實(shí)際問題中，人們經(jīng)常會遇到兼具快、慢變化的統(tǒng)一過程。描述它們的方程多是變系數(shù)的、非線性的，定解條件可能是不確定的、非線性的，用一般參數(shù)展開得不到一致有效的近似解，而使用通常的數(shù)值解法又會出現(xiàn)病態(tài)矩陣，因而吸引了許多數(shù)學(xué)和其他各門科學(xué)技術(shù)工作者，他們在正則攝動理論的基礎(chǔ)上，發(fā)展了奇異攝動理論。應(yīng)該指出，攝動方法在數(shù)學(xué)上并非十分嚴(yán)謹(jǐn)。其處理技巧和適用性有時(shí)沒有一定規(guī)律可循，需要對實(shí)際背景有相當(dāng)?shù)牧私?，并借助?jīng)驗(yàn)和直覺才能順利地運(yùn)動這種數(shù)學(xué)工具來解決實(shí)際問題。盡管如此，人們還是在實(shí)踐中不斷豐富發(fā)展著這一理論。究其原因，就在于它的實(shí)用性。攝動方法的產(chǎn)生可溯源到十九世紀(jì)末期天文學(xué)家Lindstedt(1882),Bohlin(1889),Gylden(1893)等人的工作。它們利用小參數(shù)的冪級數(shù)來研究行星的運(yùn)行問題，這些冪級數(shù)雖然是發(fā)散的，卻正確地描述了