初中數(shù)學(xué)課程- 第五章 初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)課程_第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

本章內(nèi)容涉及初中數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)基礎(chǔ)，這些內(nèi)容對多數(shù)人來說雖不是陌生的，但

是，也不是系統(tǒng)學(xué)習(xí)過的，尤其是，數(shù)理邏輯初步是多數(shù)人陌生的。因而，相對系

統(tǒng)地學(xué)習(xí)本章內(nèi)容就變得十分重要。不僅如此，還需要結(jié)合初中數(shù)學(xué)中的概念、命

題、推理、證明等具體內(nèi)容加以學(xué)習(xí)、體會。

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)的重要工具和思維形式，分析初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)科內(nèi)涵，需要

依據(jù)初中數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)。因此，理解與掌握本章的內(nèi)容就顯得十分重要。通過學(xué)

習(xí)，領(lǐng)會概念、命題、推理、證明的基本概念和有關(guān)理論，領(lǐng)會邏輯思維的基本規(guī)

律。識記概念的含義、內(nèi)涵與外延、概念間的關(guān)系、概念的定義、概念的劃分及

概念的功能；識記數(shù)學(xué)判斷、命題、簡單命題、公理和定理的含義；識記復(fù)合命題

的真值，領(lǐng)會數(shù)學(xué)命題的四種形式：識記邏輯思維的基本規(guī)律；初步識記數(shù)學(xué)推

理的意義和結(jié)構(gòu)；領(lǐng)會演繹推理、歸納推理、類比推理的意義和方法；初步識記證

明的意義、結(jié)構(gòu)和規(guī)則；領(lǐng)會數(shù)學(xué)證明的常用方法，能夠應(yīng)用邏輯學(xué)知識分析初中

數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯問題。

邏輯學(xué)是由亞里士多德創(chuàng)立，是一門研究思維、思維的規(guī)定和規(guī)律的科學(xué)。自歐幾

里得將邏輯學(xué)引入數(shù)學(xué)以來，邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要基礎(chǔ)。本章包含初中數(shù)學(xué)

概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)理邏輯初步的基本介紹，旨在明晰數(shù)學(xué)概念的定義類型、定義

方法、類型：數(shù)學(xué)命題的教育功能、類型：公理與定理的教學(xué)：證明的教學(xué)，在此

理論基礎(chǔ)上，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高與教師數(shù)學(xué)專業(yè)理論的提升。

第一節(jié)理解數(shù)學(xué)概念

（一）如何理解數(shù)學(xué)概念？

客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。人們在實踐活動中，逐漸認(rèn)識了所

接觸對象的各種屬性。在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象

出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映

事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)

量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。

例如，一組對邊平行“是平行四邊形的屬性，但不是本質(zhì)屬性；“對角線相等”是

正方形的屬性，但不是本質(zhì)屬性。

（二）數(shù)學(xué)概念的特點都有什么？

數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。

1.抽象化

數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客

觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，

抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程

才產(chǎn)生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體

系。

2.形式化

使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。特定的數(shù)學(xué)符號既反映數(shù)學(xué)

概念的本質(zhì)屬性，又使數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)形式簡化、準(zhǔn)確，而且使數(shù)學(xué)概念可以在符號

體系這種純形式化中得以抽象和發(fā)展。

3.邏輯化

在一個特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種

關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏

輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。

4.簡明化

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，再借助數(shù)學(xué)符號語言，使得?定事物的本質(zhì)可以用某

種簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時間內(nèi)領(lǐng)會數(shù)學(xué)概念成為可能。

如“l(fā)im”、“y=f(x)”是極限概念和函數(shù)概念的簡明形式。

(三)概念的外延與內(nèi)涵應(yīng)該如何理解？

概念反映了事物的木質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。例如，“平行四邊形”這一概

念的外延是“所有平行四邊形的集合”，“偶素數(shù)”這一概念的外延是“2”。

一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。

概念的內(nèi)涵是說明一個概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。

例如：等腰三角形的內(nèi)涵是:三角形、兩邊相等；

平行四邊形的內(nèi)涵是：四邊形、兩組對邊互相平行；

無理數(shù)的內(nèi)涵是:無限小數(shù)并且這些小數(shù)是不循環(huán)的，即無限不循環(huán)小數(shù)。

許多數(shù)學(xué)概念都是在相應(yīng)的公理體系卜孕育而生的，其中，一些概念就具有公理性

的特征。在初中數(shù)學(xué)中，考慮到學(xué)生認(rèn)知因素等原因，一般不過分強(qiáng)調(diào)公理化思想

方法，這就使得一些初中數(shù)學(xué)概念是不定義概念，如“直線”的概念，它的教學(xué)就不

必非給出定義不可。此外，象“點”、“線”、“面”、“介于”等概念都不是通過定義給

出的。

2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性

數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。這種層次性使得一些數(shù)學(xué)概念之間具有較明顯的體系特

征。如實數(shù)系統(tǒng)根據(jù)定義比較有關(guān)概念的內(nèi)涵。再由外延出發(fā)，一般就能夠較容易

地得到類似實數(shù)體系的有關(guān)體系結(jié)構(gòu)。

3.數(shù)學(xué)概念是理想概念

從理論上講，數(shù)學(xué)科學(xué)是以數(shù)學(xué)模型為研究對象的，但數(shù)學(xué)模型是從大量具體存在

中抽象概括成的理想存在。數(shù)學(xué)概念是一類數(shù)學(xué)模型，為此具有理想性特征。存在

不等于被感知，一些數(shù)學(xué)概念不存在能被感知的自然界原型，比如直線、平面等。

4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體

國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究者在20世紀(jì)80年代提出，數(shù)學(xué)內(nèi)容可以區(qū)分為過程和

對象兩個側(cè)面。過程就是具備了可操作性的法則、公式、定理等，對象就是數(shù)學(xué)中

定義的結(jié)構(gòu)關(guān)系。數(shù)學(xué)概念往往既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu)，即所謂

的概念的二重性。例如，函數(shù)y=f(x),既表示定義域中元素、r按照對應(yīng)法則、f

與值域中元素y對應(yīng)的過程，又表示特定對應(yīng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

（五）如何理解數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系?

1.同一關(guān)系

兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同?關(guān)系。同?關(guān)系，敘述上常用連接

詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相

代替。

例如，等邊三角形與正三角形，等腰三角形底邊上的高與頂角的平分線、底邊的中

線都是同一概念，它們在判斷中可以互相代替，相互為用。

2.交叉關(guān)系

兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有

些”等表示。

例如，等腰三角形與直角三角形，自然數(shù)與正整數(shù)等都是交叉關(guān)系，一個方程組是

否有解就是判別各個方程的解集是否有交叉關(guān)系。

3.從屬關(guān)系

兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念

A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。

4.矛盾關(guān)系

兩個概念的外延互相排示，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個

概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。例如，有理數(shù)與無理數(shù)，直角三角形與非直角三

角形。平面上的相交線與平行線等都是矛盾關(guān)系。

公

H6.1-5

5.對立關(guān)系

兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個

概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

例如，正數(shù)與負(fù)數(shù)，銳角三角形與直角三角形，空間中的相交線與平行線等都是對

立關(guān)系。

AB

（六）數(shù)學(xué)概念的定義與要求是什么？

定義是建立概念的邏輯方法。人們在認(rèn)識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就

要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。這就是說，

定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，

運(yùn)用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。

常用的定義方法：

1.0種+類差”定義法

一般地，屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的

概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進(jìn)行定義的方法。種

差揭示了被定義概念相對于這個屬概念來說特有的屬性，它連同這個屬概念的基本

內(nèi)涵一起，就構(gòu)成了被定義概念的基本內(nèi)涵。注意到被定義概念的屬概念常常不止

一個，顯然，選擇最鄰近的屬概念可使種差簡單一些。

例如，上述平行四邊形定義中，四邊形就是它最鄰近的種概念；類差是“兩組對邊

分別平行''這個本質(zhì)屬性。由于類差不唯一，因此，這種方法所作出的定義一般也

不唯一。例如，平行四邊形還可用“兩組對邊分別相等”、“一組對邊平行且相

等”、“對角線互相平分”等作類差給出定義，且它們都是彼此等價的。

這種定義方法，使概念間的關(guān)系很明了，既準(zhǔn)確又明了地揭示了概念的內(nèi)涵，有

助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，因此，在初中數(shù)學(xué)概念的定義中應(yīng)用較

多。

2.發(fā)生式定義法

這是不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的

過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

這是一種特殊的“種+類差”定義法，是把只屬于被定義的事物，而不屬于其他事

物的發(fā)生形成的特征作類差的定義。因而，發(fā)生式定義法是屬概念加種差定義法

的一個變異，這里的屬概念不一定是被定義概念最鄰近的屬概念，種差也不是揭示

被定義概念相對于屬概念來說特有的屬性，而是給出被定義概念所反映對象發(fā)生的

過程。

例如，平面（空間）上與定點等距離的點的軌跡叫做圓（球）。此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中對

圓柱、圓錐、圓臺、微分、積分、坐標(biāo)系等概念也都是采用的發(fā)生式定義法。

3.外延定義法

這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。例如，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理

數(shù)；正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐

曲線；邏輯的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等等，都是這種定義法。

4.約定式定義法

這是一種特殊的逆式定義法。由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。例

如，a0=l（a^O）,0!=1,d=1,形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)等等，都是約定式

定義法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)明確這種定義法的必要性與合理性。

5.關(guān)系定義法

這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何

其他事物所不具有的特有屬性。

例如，偶數(shù)的定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)。這是一個關(guān)于偶數(shù)的關(guān)系定義，

它的種差是偶數(shù)與2的一種關(guān)系。

此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法（如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定

義）、遞推式定義法（如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義），借助另一對

象來進(jìn)行定義（如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念）等等。

定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

為了正確地給概念下定義，定義要符合下列基本要求：

1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能

擴(kuò)大也不能縮小。即應(yīng)當(dāng)恰如其分，既不寬也不窄。例如，無限不循環(huán)小數(shù)，叫做

無理數(shù)。而以無限小數(shù)來定義無理數(shù)（過寬），或以不盡方根的數(shù)來定義無理數(shù)（過

窄），顯然，都是錯誤的。

2.定義不能循環(huán)。即在同一個科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時

又以B概念來定義A概念。例如，90。的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做I

度，這就發(fā)生循環(huán)了。

3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來

說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其

它屬性推出。凡是可由列舉的其它屬性推出的，對于定義來說都是多余的條件，應(yīng)

刪去。

定義要揭示概念所反映時象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點。例如，

不能把“不是有埋數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù)”當(dāng)作無埋數(shù)的定義，因為這既沒有揭示出無埋

數(shù)的基本內(nèi)涵，也沒有確定無理數(shù)的外延。當(dāng)然也有例外的情形，如平行線的定

義。不過，這個定義表面上看，是否定形式，但它揭示出了平行線“在同一平面

內(nèi)，沒有公共點”的本質(zhì)屬性。

例如，筆直筆直的線，叫做直線（不清楚）；兩組對邊互相平行的平面平行四邊形

（不簡明）；不是有理數(shù)的數(shù)，叫做無理數(shù)（否定形式）：對初中生來說，在復(fù)數(shù)以

a+bi中，虛部b=0的數(shù)，叫做實數(shù)（應(yīng)用未知概念）等，這些都是不妥的。

（七）如何理解數(shù)學(xué)概念的形成？

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本

質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗與修正，最后通過概括得到

定義并用符號表達(dá)出來。

數(shù)學(xué)概念形成的過程有以卜.幾個階段:

1.觀察實例。觀察概念的各種不同的正面實例，可以是日常生活中的經(jīng)驗或事

物，也可以是教師提供的典型事物。例如，要形成平行線的概念，可以觀察黑板相

對的兩條邊，立在路邊的兩根電線桿，橫格練習(xí)本中的兩條橫線等。

2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。

3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。

例如，提出平行線的本質(zhì)屬性的假設(shè)是：在同一個平面內(nèi)，兩條直線間的距離處處

相等，兩條直線不相交。

4.確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)。確認(rèn)本質(zhì)屬性。例如，舉出平

行直線、相交直線和異面直線的例子確認(rèn)平行線的本質(zhì)屬性。

5.概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同

類事物，概括出概念的定義。例如，可以概括出“在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條

直線叫做平行線

6.符號表示。用習(xí)慣的形式符號表示概念。例如，平行線用符號TI”表示。

7.具體運(yùn)用。通過舉出概念的實例。在一類事物中辨認(rèn)出概念。或運(yùn)用概念解答

數(shù)學(xué)問題，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系。把所

學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

第二節(jié)數(shù)學(xué)命題

（八）如何理解判斷?

判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于

主觀對客觀的認(rèn)識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數(shù)學(xué)中要進(jìn)

行證明。

其中，如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。

例如，”正數(shù)大于零”是真判斷，“兩個無理數(shù)之和是無理數(shù)”是假判斷。

1.簡單判斷

在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷

和關(guān)系判斷。簡單性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)可分為四種形式。

表6.2-1簡單性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)形式

種類—能結(jié)構(gòu)實例

全稱肯定判斷6M）所有S是P所有正三角形是等腰三角形

全稱否定判斷（SEP）所有壞是P所有長方形不是梯形

特稱肯定判斷（SIP）有些S是P有些偶數(shù)是質(zhì)數(shù)

特稱否定判斷（SOP）有些S不是P有些奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)

2.復(fù)合判斷

復(fù)合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。它有四種基本形

式。

1.負(fù)判斷。負(fù)判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為「P,讀作“非P”,

當(dāng)P真時，P假；當(dāng)P假時，P真。例如，設(shè)P表示“所有質(zhì)數(shù)都是奇

數(shù)”（假），則rP表示“并非所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”，即"有些質(zhì)數(shù)不是奇

數(shù)”（真）。

2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一

般記成AVB,讀作“A或B”。例如，一個大于1的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)或是合數(shù)；一

個三角形為直角三角形，或為銳兒三角形，或為鈍角三角形等。

3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個事物情況都存在，

一般記成AAB,讀作“A且B”。例如，6可被2整除，且可被3整除；正方形的

四條邊相等，且四個角也相等。

4.假言判斷。假言判斷又叫蘊(yùn)含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判

斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件（或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論），一

般用“若……，則……”，或"如果……，那么……”的形式表示，記成P-Q。

例如，若兩三角形相似，則對應(yīng)邊成比例。

（九）如何理解命題的涵義？

關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句

叫命題。在數(shù)學(xué)中，用來表示數(shù)學(xué)判斷的陳述句或符號的組合叫做數(shù)學(xué)命題。數(shù)

學(xué)中的定義、公理、定理、法則、性質(zhì)等都是命題。命題既可用語言敘述，也可用

符號進(jìn)行表示。常用的連接詞有“非”、"或”、”且”、“蘊(yùn)含“、“等值''等等。

它有真命題與假命題之分，結(jié)構(gòu)上可分為簡單命題與復(fù)合命題兩種類型。

（十）如何理解命題的分類？

所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。例如

（1）一切矩形矩形都是平等四邊形。

（2）自然數(shù)都是無理數(shù)。

（3）有些奇數(shù)是素數(shù)。

（4）有些一元二次方程沒有實數(shù)根。

性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。

2.關(guān)系命題

關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題.例加，

（1）一切正數(shù)都大于零.

（2）直線a平行于直線b.

關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.

主項又稱關(guān)系項，是指存在某種關(guān)系的對象.

謂項又稱關(guān)系，是指各個對象之間的某種關(guān)系.

量項表示主項的數(shù)量.同性質(zhì)命題一樣，關(guān)系命題的量項也有單稱、全稱與特稱三

種.

3.復(fù)合命題

為便于說明，在此，我們首先介紹命題真值的概念。

對于命題A、B,如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于L記成A二L

如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0,記成B=0。一個命題或真或

假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0,不能既為1,又為

0,或非I又非0。

（十一）復(fù)合命題的分類是怎么樣的？

復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

否定式°給定一個命題A,用連接詞“非”組成一個復(fù)合命題“非Z,記作力，

其真值可用下面的真值表來定義：

AA

1o

O1

7叫做命題A的否定式。這里表明，若命題A為真，則A為假；若命題又為

假，則A為真。

析取式。給定兩個命題A與B,用連接詞“或”組成一個復(fù)合命題"A或B”,記

作AvB,其真值可用下面的真值表來定義:

AvB叫做命題A、B的析取式。這里表明，若A、B中至少一個為真，則AvB

為真；只有A、B都假，才有AvB為假。

合取式。給定兩個命題A與B,用連接詞“且”組成一個復(fù)合命題“A且B”，記

作AAB,其真值可用下面的真值表來定義:

合取式蘊(yùn)含式等值式

AAB叫做命題A、B的合取式。這里表明，若A、B者［5真，則AAB為真，若

A、B中至少有一個為假，則AAB為假。

蘊(yùn)含式。給定兩個命題A與B,用連接詞“若……，則……”組成一個復(fù)合命題

“若A則B”，記作A-B,其真值可用下面的真值表來定義：

A-B叫做命題A、B的蘊(yùn)含式。這里表明，除去A真B假，則命題A-B為假

外，其余情況A-B都真。

等值式。給定兩個命題A與B,用連接詞“等值”組成一個復(fù)合命題-A等值

B”，記作“A-B”，其真值可用下面的真值表來定義:

A-B叫做命題A、B的等值式。這里表明，若A、B同真或同假時，則A-B

為真，其余皆假。

（十二）如何理解命題的四種基本形式及其關(guān)系？

原命題：若A則B,即A-B；

逆命題：若B則A,即B-A；

否命題：若又則無,即7T5.

逆否命題：若無則又，即豆一

它們之間的關(guān)系可用圖解表示如圖

（十三）公理與定理

在數(shù)學(xué)中，對于命題的真實性，一般都需要加以證明，即要從一些已知為真的命題

按邏輯規(guī)律推出。而這些為真的命題，其真實性又是通過另一些真命題證出的。如

此追溯上去，必定要有一些命題，它們的真實性不能再用別的命題來證明，而它們

卻是證明其他真命題的依據(jù)。這些不加證明而被承認(rèn)其真實性的命題叫做“公理”。

恩格斯稱‘'數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定?！?/p>

原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理

性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，在數(shù)學(xué)科學(xué)中，各專門分支研究各種特殊的結(jié)構(gòu)，每一種結(jié)

構(gòu)由相應(yīng)的公理體系確定。任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相

容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理

體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有

一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，起重要作用的有兩種思想，一種是源于西方的公理化思想，它偏

重于論證；一種是源于我國的程序化思想，偏重于計算。而現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)，則受

到了公理化思想與程序化思想的深刻影響。根據(jù)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相

結(jié)合的原則，不能要求各分支都從給定的公理體系出發(fā)。即使對于從公理體系出發(fā)

的初中平面幾何，其公理體系也只滿足相容性（這是必須滿足的）而不滿足獨立性

和完備性（為了符合由易到難的認(rèn)識規(guī)律，而適當(dāng)增加了公理的數(shù)目；另?方面又

缺少一些公理，而在一定程度上依賴于直觀）。

經(jīng)過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和

定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果

證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理

第三節(jié)數(shù)學(xué)推理及其基礎(chǔ)知識

(十四)如何理解形式邏輯的基本規(guī)律？

1.同一律

同i律的內(nèi)容是：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判

斷必須確定，且前后保持一致。

同一律的公式是：ATA,即A是A。

可見，根據(jù)同一律的內(nèi)容，它有兩點具體要求：

一是思維的對象應(yīng)保持同一。這就是說，在思維的過程中所考察的對象必須確定，

要始終如一，不能中途變更。

二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。這就是說，在思維的過程中，要以同一概念

表示同一思維對象，不能用不同的概念來表示同一事物，也不能把不同的事物混淆

起來用同一個概念來表示。

違反同一律的錯誤，在概念中主要表現(xiàn)為偷換概念或所使用的概念不明確等；在推

理中主要表現(xiàn)為論題不明確或偷換論題等。

例如，設(shè)x=3,a=2,n=2,則xn-an=5,an-l(x-a)=2,而2不能整除5。

其錯誤原因在于所引用的“整除”概念上。在推理的前一部分是關(guān)于多項式的，后

一部分是關(guān)于自然數(shù)的，這兩者并不相同。一個多項式被另一個多項式除盡而余式

為零，并不意味著商的系數(shù)全是整數(shù)。

2.矛盾律

矛盾律的內(nèi)容是：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什

么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必

有一假。

一矛盾律的公式是：AAA,即A不是A。

矛盾律實為“不矛盾律、'，它是同一律的引申，是用否定形式表達(dá)同一律內(nèi)容的。

矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛

盾性。這里所說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態(tài)或故意玩弄詭辯時所產(chǎn)生的

邏輯矛盾。它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同的。

兩個矛盾判斷不能同真，但可能同假。例如，4ABC是銳角三角形與aABC是鈍

角三角形是兩個矛盾的判斷，其中一個正確，另一個必錯誤；

3.排中律

排中律的內(nèi)容是：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須

作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷

不能同假，必有一真，而排除第三種可能。

排中律的公式是：Av即A或

排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的邏短基礎(chǔ)。例如，返是無理數(shù)

與Q是有理數(shù)，是兩個互相矛盾的判斷，但不能同時存在，其中必有且只能有一

個是正確的。

從上面的例子及分析，我們看到，必須把握住實質(zhì)，正確識記和運(yùn)用排中律。特別

要指出的是，對一個命題，要弄清表示思維對象數(shù)量的詞（稱為量詞），是全稱量

詞“所有的"（V）,還是存在量詞“有的”（3）o在數(shù)學(xué)中，為了表達(dá)的簡便，

全稱量詞常常省略，這時需要正確表達(dá)出命題4的矛盾命題

一般地，如果用X表示思維對象，用/片表示X具有性質(zhì)尸，對命題作否定，

有卜述關(guān)系：

」（Vx（P（x）））三3x（「尸（力）

「（玄（尸（x）））三Vx（「P（x））

排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的

判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進(jìn)一步確定

誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能正確地

予以回答。其區(qū)別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；

排中律則指出兩個互相矛盾的判斷,不能同假,必有一直c矛盾律只能由直推假.

不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷

的邏輯基磯L而排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。

4.充足理由律

充足理由律的內(nèi)容是：任何一個真判斷，必須有充足理由，即對于任何事物的肯定

或否定，都要有充分的理由和根據(jù)。

充足理由律可表示為：若有B,則必有A,使得由B可以推出A。

充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系。例如，在數(shù)

學(xué)命題中，充分條件、充要條件都可以作為結(jié)論的充足理由，原定理可作為它的逆

否命題的充足理由等等。

充足理由律和前面三個規(guī)律有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律和排中律是為了保持

同一判斷（或概念）本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持判斷之間

的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力。因此，在思維過程中，如果違反了同i律、矛盾律和

排中律，那么就必然導(dǎo)致違反充足理由律。

總之，數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對象確定（同一律），判斷不自相矛盾（矛盾律），

不模棱兩可（排中律），有充分根據(jù)（充足理由律）。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注意培

養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格遵守這些邏輯規(guī)律進(jìn)行思考的習(xí)慣，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

（十五）數(shù)學(xué)推理的類別有哪些？

1.歸納推理

歸納推理是一種由特殊到一般的推理，即從個別或特殊的事物所作判斷擴(kuò)大為同類

一般事物的判斷的思維過程，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，又分為

完全歸納法與不完全歸納法。

（1）完全歸納法

如果歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和等于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸

納推理叫做完全歸納法。其表示形式是:

例如，證明三角形三條高或其延長線共點，可分別證明銳角、直角、鈍角三角形三

條高或其延長線共點，從而推出任意三角形三條高或其延長線共點的結(jié)論。又如，

推導(dǎo)兩點間的距離公式，可分別就兩點在各個象限與坐標(biāo)軸上的情況逐一進(jìn)行討

論。以上推理的方法都是完全歸納法。

由于完全歸納法在前提判斷中已對結(jié)論的判斷范圍作出了判斷，如果皆是真實的，

則所得結(jié)論是完全可靠的，所以完全歸納法可作為數(shù)學(xué)上的一種嚴(yán)格推理方法。但

在應(yīng)用時，須注意前提的判斷范圍既不能重復(fù)，也不能遺漏，即前提判斷范圍的總

和不能小于結(jié)論判斷的范圍。

（2）不完全歸納法

如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，這種歸納推理叫做不完

全歸納法。例如，初中數(shù)學(xué)中從具體實數(shù)的運(yùn)算概括出實數(shù)的運(yùn)算律以及指數(shù)運(yùn)算

性質(zhì)等的推理都是不完全歸納法，??些氣象諺語、農(nóng)業(yè)諺語、人們的養(yǎng)生之道等也

是根據(jù)不完全歸納法得到的。

必須注意，根據(jù)不完全歸納法推出的結(jié)論可能直，也可能假。因此，不完全歸納法

不能作為數(shù)學(xué)上一種嚴(yán)格的推理方法使用，但是它在科學(xué)研究中可有助于提出假設(shè)

或猜想，在解題中便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，啟發(fā)思維。教學(xué)中，為了說明某些定理、公式、

性質(zhì)的正確性，也往往借助于個別特殊的例子來說明，其實質(zhì)就是用實例來進(jìn)行驗

證，也可以認(rèn)為是用不完全歸納法來進(jìn)行推理的。

2.類比推理

類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同或相

似的性質(zhì)，判斷它們在別的性質(zhì)上也可能相同或相似。

例如，代數(shù)中根據(jù)分式與分?jǐn)?shù)都具有分子、分母這個相同的形式，從而推測分式可

以如同分?jǐn)?shù)一樣進(jìn)行化簡與計算；由平面上直線與直線之間的關(guān)系可以推測空間中

平面與平面之間的關(guān)系等，這都是類比推理。

必須注意，類比推理所得出的結(jié)論未必真，它只有?定程度的可靠性。有些結(jié)論，

還有待于實踐和理論的證明。例如，不許用任何其他數(shù)學(xué)符號，將三個I,三個

2,三個3寫成盡可能大的數(shù)分別是UL222,333,而三個4寫成盡可能大的

數(shù)不能類比地寫成44%而是一般說來，如果兩類事物共有的性質(zhì)和推出的

性質(zhì)是密切相關(guān)的，那么結(jié)論就比較可靠。兩類事物共有的性質(zhì)愈多，推出的結(jié)論

的可靠程度就越大。

用類比推理所得結(jié)論，雖然不一定都真實，但在人們的認(rèn)識活動中仍有著它的積極

意義“例如，科學(xué)上有不少重要的假設(shè)，是通過類比推理提出來的；數(shù)學(xué)中有不少

重大發(fā)現(xiàn)乃至有關(guān)解題方法是由類比推理提供線索的；生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中的許

多發(fā)明創(chuàng)造，也受到了類比推理的啟發(fā)等。因此，類比推理仍不失為一種獲取新知

識的工具。

3,演繹推理

演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類

事物的個別、特殊事物判斷的思維形式。

演繹推理的前提與結(jié)論之間有必然的聯(lián)系，只要前提是真實的，推理是合乎邏輯

的，就一定能得到正確的結(jié)論。因此。演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中一種嚴(yán)格的推理方

法使用。

簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實現(xiàn)的。三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提——

反映一般原理的判斷，小前提——反映個別對象與一般原理聯(lián)系的判斷，以及結(jié)

論三個判斷。如果大前提、小前提都正確，則結(jié)論一定正確.

（十六）如何理解歸納推理及其在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用？

由特殊到一般的推理叫做歸納推理。即在研究事物的特殊情況所得到的結(jié)論的基礎(chǔ)

上，得出有關(guān)事物的一般結(jié)論的推理方法。歸納推理也簡稱為歸納法。

在歸納推理中，根據(jù)所研究的是否是事物的一切特殊情況，歸納推理一般又可分成

完全歸納推理和不完全歸納推理，也稱為完全歸納法和不完全歸納法。

1.完全歸納法

在研究事物的一切特殊情況所得的結(jié)論的基礎(chǔ)上，得出有關(guān)事物的一般性結(jié)論的推

理方法叫做完全歸納法。

例如，要證明定理：”一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半?！比鐖D，

在一個圓心為。的圓中，對于給定弧AC,用NABC和NAOC分別表示對應(yīng)的

圓周角和圓心角，那么，命題P就是：2z.ABC=z.AOCo

從圖5-4中可以看到，由于角的頂點B所在位置不同，圓周角NABC和圓心0

之間的位置關(guān)系可以分為三種情況，分別用P(l)、P(2)和P(3)表示對應(yīng)這三種情

況的命題，即

P(l)：圓心在圓周角的一條邊上時的命題P,如圖5-4(a)所示；

P(2)：圓心在圓周角的內(nèi)部時的命題的如圖5-4(b)所示;

P(3)：圓心在圓周角的外部時的命題P,如圖5-4(。所示。

這樣，我們就把問題的類分清楚了，根據(jù)完全歸納法的原則，只要驗證了P(l)、

P(2)和P(3)這三個命題成立，就可以推斷命題P成立。

圖6-4

證明如下:

P(l)：當(dāng)圓心。在NABC的一條邊上時，連接A0,如圖a所示。這樣，Z

AOC是等腰三角形△ABO的一個外角，于是有/AOC=zABC+zBA0=2z

ABCo

P(2)：當(dāng)圓心。在NABC的內(nèi)部時，過B做直徑BE、并連接A0和CO,如圖

b所示。此時，NABE和NAOE分別是弧AE所對應(yīng)的圓周角和圓心角；ZEBC

和NEOC分別是弧EC所對應(yīng)的圓周角和圓心角。這都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況，

得到

2zABC=2zABE+2zEBC=zAOE+zEOC=zAOC。

其中第二個等號用到了命題PQ)的結(jié)論。

P(3)：當(dāng)圓心。在NABC的外內(nèi)部時，過B做直徑BE、并連接A0和CO,如

圖c所示，類似P(2)的情況可以得到

2zABC=2乙ABE-2zCBE=zAOE-zEOC=zAOC。

這樣，我們就完成了命題P的證明。

因為完全歸納法是在考察事物的各種情形之后得出有關(guān)事物的結(jié)論的，所以只要考

察各種情形得出的結(jié)論是真實的，則最后所得結(jié)論也必定是真實的。因此，完全歸

納法可以作為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格推理方法。用完全歸納法進(jìn)行推理時，要注意對考察事物

的各種特殊情形都要進(jìn)行討論，不要重復(fù)也不要遺漏。

容易看到，完全歸納法雖然簡單，卻是一種非常有力的推理方法，不僅僅在數(shù)學(xué)中

就是在日常生活中這種韭理方法也是有用的，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過

程中，應(yīng)當(dāng)有意思地讓學(xué)生感悟這種推理方法的核心和模式。利用完全歸納法最典

型的數(shù)學(xué)例子是對“四色定理''的證明，在證明過程中把平面中相鄰區(qū)域的可能的情

況分為1400多類，然后利用計算機(jī)逐類驗證，最終把“四色猜想”變?yōu)椤八纳?/p>

理”，參見本書第二輯第九講。在完全歸納法的實施過程中，分類是最為重要、往

往也是最為困難的，關(guān)于分類問題的詳細(xì)地討論可以在附錄中找到。

2.不完全歸納法

在研究事物的某些特殊情況所得到的結(jié)論的基礎(chǔ)上，得出有關(guān)事物的一般性結(jié)論的

推理方法叫做不完全歸納法。

例如，分別考察平行四邊形和矩形，得出它們的對角線互相平分的結(jié)論，從而得出

四邊形的對角線互相平分的一般結(jié)論即是不完全歸納推理，顯然這個結(jié)論是錯誤

的。

又如，簡單考察凸三邊形和凸四邊形，它們的內(nèi)角和均等于其邊數(shù)減去2所得的

差與180。的乘積，從而得出任意凸多邊形的內(nèi)角關(guān)口均等于其邊數(shù)減去2所得的差

與180。的乘積的一般性結(jié)論的推理也是不完全歸納推理。但這里所得結(jié)論是正確

的。

上述兩例說明，用不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴(yán)密的，因而在數(shù)學(xué)證明中并不

采用。但不完全歸納法在探索的過程中能幫助我們比較迅速地去發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律,

給我們提供研究方向和線索的作用是不容忽視的?？茖W(xué)上的很多發(fā)現(xiàn)，往往就是通

過觀察、分析、歸納、猜想得出，然后乂加以證明