高中數(shù)學(xué)-直線與圓相關(guān)的最值問題

PAGEPAGE2直線與圓相關(guān)的最值問題常用的處理方法圓的軌跡問題在江蘇高考中是?？嫉膬?nèi)容之一，常常與向量、直線相結(jié)合考查，有一定的難度，題型從填空題到解答題不固定?！灸割}】（2018年蘇州市第一中學(xué)高二上期中考試）平面直角坐標(biāo)系中，若直線上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作一條射線與圓依次交于，滿足，則的取值范圍為.一、與圓相關(guān)的最值問題的聯(lián)系點(diǎn)1.1與距離有關(guān)的最值問題在運(yùn)動(dòng)變化中，動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化，在變化過程中，就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關(guān)結(jié)論，解題時(shí)便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題.常見的結(jié)論有：（1）圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為，最遠(yuǎn)為；（2）過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑，最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；（3）直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離，最近為；（4）過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積.（5）直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離中，最短的是點(diǎn)到直線的距離；（6）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離.【例1】已知圓的方程為：，若直線上存在一點(diǎn)，在圓上總存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則圓的半徑的取值范圍為.【變式1】（2015屆淮安高三三模第14題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓．若圓上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作一條射線與圓依次交于點(diǎn)，，滿足，則半徑的取值范圍是_______.【變式2】過點(diǎn)的直線與圓：交于兩點(diǎn)，為圓心，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程是．【變式3】（2015江蘇高考第10題）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。1.2與面積相關(guān)的最值問題與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為．【變式1】設(shè)，若直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且與圓相交所得弦的長(zhǎng)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為．二、與圓相關(guān)的最值問題常用的處理方法2.1數(shù)形結(jié)合法處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.【例3】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【變式1】（2017江蘇高考第13題）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【變式2】（江蘇2012、12）在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是．2.2隱形圓1、有些題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題。2、常見解題策略（1）利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓；（2）動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的張角是（）確定隱形圓；（3）兩定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿足確定隱形圓；（4）兩定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿足確定隱形圓；（5）兩定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿足確定隱形圓；（6）由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓?！纠?】已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【變式1】已知圓和點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為.【變式2】若，則的最大值．【變式3】．【變式4】已知平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)和圓，動(dòng)點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)與的比等于，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【變式5】已知圓及．點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作兩圓，的切線，切線長(zhǎng)分別為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【變式6】已知圓和圓，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【變式7】已知圓，直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．【變式8】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為．【變式9】在平面直角坐標(biāo)系中，若與點(diǎn)的距離為且與點(diǎn)的距離為的直線恰有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式10】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，．在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．【變式11】（江蘇2013、17）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【變式12】方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．（1）（參考數(shù)據(jù)：，）領(lǐng)海AB北領(lǐng)海AB北公海l課后練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．2、已知圓嗎，則圓，若圓上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，其中實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，若點(diǎn)在直線上的射影為，則線段的取值范圍為．4、設(shè)圓，直線，點(diǎn)，使得圓上存在點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．5、已知圓,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),若圓上總存在不同的兩點(diǎn),使得,則的取值范圍為.6、已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，為圓上兩點(diǎn)，在中，，過圓心，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．已知圓，直線上存在點(diǎn)使得經(jīng)過直線與圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．8、在平面直角坐標(biāo)系xOy中