第二十七章 相似 檢測(cè)題

第二十七章相似(時(shí)間：120分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(2024·安陽期末)下面幾對(duì)圖形中，相似的是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2．下列四條線段為成比例線段的是(B)A．a(chǎn)＝10，b＝5，c＝4，d＝7B．a(chǎn)＝1，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(6)，d＝eq\r(2)C．a(chǎn)＝8，b＝5，c＝4，d＝3D．a(chǎn)＝9，b＝eq\r(3)，c＝3，d＝eq\r(6)3．(沙市區(qū)模擬)如圖，已知a∥b∥c，如果AB∶BC＝2∶3，DE＝6，則DF的長為(C)A．9B．12C．15D．18eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))4．(2024·黃岡開學(xué))如圖，△ABC與△A1B1C1位似，位似中心是點(diǎn)O，且OA∶OA1＝1∶2，若△ABC的面積為5，則△A1B1C1的面積為(C)A．10B．15C．20D．255．在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是(A)A．四邊形NPMQB．四邊形NPMRC．四邊形NHMQD．四邊形NHMR6．如圖，小強(qiáng)自制了一個(gè)小孔成像裝置，其中紙筒的長度為15cm，他準(zhǔn)備了一支長為20cm的蠟燭，想要得到高度為4cm的像，蠟燭與紙筒的距離應(yīng)該為(D)A．60cmB．65cmC．70cmD．75cm7．(利川模擬)如圖，△AOB中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)O是原點(diǎn)．以點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方作△AOB的位似圖形△A′OB′，且AB∶A′B′＝1∶2.若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)是(A)A．－2aB．2aC．－eq\f(1,2)aD．eq\f(1,2)aeq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))8．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB的延長線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，若BG∶CG＝1∶2，EF＝eq\r(7)，則菱形ABCD的邊長是(B)A．3B．4C．5D．eq\f(4,5)eq\r(7)9．(威海中考)如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為(C)A．eq\r(2)－1B．eq\r(5)－1C．eq\r(2)＋1D．eq\r(5)＋110．(2024·巴中)如圖是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若OA＝1，則OG＝(C)A.eq\f(125\r(5),64)B．eq\f(125,64)C．eq\f(64,27)D．eq\f(32\r(3),27)二、填空題(每小題3分，共15分)11．若eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)＝eq\f(1,2)(a≠0)，則eq\f(b－d,a－c)＝__eq\f(1,2)__．12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件__∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)(答案不唯一)__，使△ADE∽△ABC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是__(4，2)__．14．(廣東中考)邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為__15__．15．(2024·成都)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE.若BE＝BC，CD＝2，則BD＝__eq\f(1＋\r(17),2)__．三、解答題(共75分)16．(6分)如圖，判斷下面兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由．解：相似．理由如下：∵∠C＝180°－46°－40°＝94°，∴∠A＝∠D，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF17．(6分)如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的長．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC).∵DE＝8，AB＝18，AD＝6，∴eq\f(6,18)＝eq\f(8,BC)，∴BC＝2418．(6分)如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB邊上，且BD2＝BE·BC.求證：∠BDE＝∠C.證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(BC,BD)，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE＝∠C19．(8分)如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長是1個(gè)單位長度．(1)畫出△ABC向上平移6個(gè)單位長度得到的△A1B1C1；(2)以點(diǎn)C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2∶1，并直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．解：(1)圖略(2)圖略，A2(－2，－2)20．(8分)如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE.(1)求證：△ABC∽△AEB；(2)當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長．解：(1)∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB(2)∵△ABC∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AB)，∵AB＝6，AC＝4，∴eq\f(6,AE)＝eq\f(4,6)，∴AE＝921．(8分)王亮同學(xué)利用課余時(shí)間對(duì)學(xué)校旗桿的高度進(jìn)行測(cè)量，他是這樣測(cè)量的：把長為3m的標(biāo)桿垂直放置于旗桿一側(cè)的地面上，測(cè)得標(biāo)桿底端距旗桿底端的距離為15m，然后往后退，直到視線通過標(biāo)桿頂端正好看不到旗桿頂端時(shí)為止，測(cè)得此時(shí)人與標(biāo)桿的水平距離為2m，已知王亮的身高為1.6m，請(qǐng)幫他計(jì)算旗桿的高度．(王亮眼睛距地面的高度視為他的身高)解：根據(jù)題意知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6m，CD＝3m，F(xiàn)D＝2m，BD＝15m，過E點(diǎn)作EH⊥AB，交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，則EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD，CG＝CD－EF＝3－1.6＝1.4(m)，∴△ECG∽△EAH，∴eq\f(EG,EH)＝eq\f(CG,AH)，即eq\f(2,2＋15)＝eq\f(1.4,AH)，∴AH＝11.9m，∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗桿的高度為13.5m22．(10分)(東西湖區(qū)模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，且∠BEC＝∠BDE.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)連接OC交BE于點(diǎn)F，若eq\f(CE,AE)＝eq\f(4,9)，求eq\f(OF,CF)的值．解：(1)如圖，連接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE＋∠BEC＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＋∠BDE＝90°，∵∠BEC＝∠BDE，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，又∵OE是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線(2)∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∵eq\f(CE,AE)＝eq\f(4,9)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(9,13)，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(9,13)，∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴eq\f(OF,CF)＝eq\f(OE,BC)＝eq\f(9,13)23．(11分)(河南中考)在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長度的“連桿”，推動(dòng)“連桿”帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖①，兩個(gè)固定長度的“連桿”AP，BP的連接點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON.當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)B恰好落在⊙O上，如圖②.請(qǐng)僅就圖②的情形解答下列問題．(1)求證：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的長．解：(1)如圖②，連接OP，延長BO與⊙O交于點(diǎn)C，則OP＝OB＝OC，∵AP與⊙O相切于點(diǎn)P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵M(jìn)O⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵∠POC＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO(2)如圖②，連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥OC于點(diǎn)D，則AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽R(shí)t△OAP，∴eq\f(PD,PO)＝eq\f(PO,OA)＝eq\f(OD,AP)，即eq\f(PD,5)＝eq\f(5,\f(25,3))＝eq\f(OD,\f(20,3))，解得PD＝3，OD＝4，∴BD＝BO＋OD＝9，在Rt△PDB中，BP＝eq\r(BD2＋PD2)＝eq\r(81＋9)＝3eq\r(10)，故BP的長為3eq\r(10)24．(12分)(1)解決問題：如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC＝∠A＝∠B＝90°時(shí)，求證：AD·BC＝AP·BP；(2)拓展探究：若將90°角改為銳角(如圖②)或鈍角，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠B＝45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE.點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且∠EFD＝45°，若CE＝eq\r(5)，直接寫出線段CD的長為__5__．解：(1)∵∠DPC＝∠A＝90°，∴∠BPC＋∠APD＝90°，∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADP∽△BPC，∴eq\f(AD,BP)＝eq\f(AP,BC)，∴AD·BC＝AP·BP(2)成立，理由：如圖④，設(shè)∠DPC＝∠A＝∠B＝α(α＜90°)，∵∠ADP＝180°－∠A－∠APD＝180°－α－∠APD，∠BPC＝180°－∠DPC－∠APD＝180°－α－∠APD，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴eq\f(AD,BP)＝eq\f(AP,BC)，∴AD·BC＝AP·BP.如圖⑤，設(shè)∠DPC＝∠A＝∠B＝β(β＞90°)，∵∠ADP＝180°－∠A－∠APD＝180°－β－∠APD，∠BPC＝180°－∠DPC－∠APD＝180°－β－∠APD，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴eq\f(AD,BP)＝eq\f(AP,BC)，∴AD·BC＝AP·BP(3)∵∠B＝45°，∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝135°－∠ADB，∵△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠FDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝135°－∠ADB，DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝eq\r(2)AD，∴∠FDE＝∠BAD，∵∠EFD＝45°，AB＝2e