蘇科版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

蘇科版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題一、單選題1．下列方程中，關(guān)于的一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．順次連接圓內(nèi)兩條相交直徑的4個(gè)端點(diǎn),圍成的四邊形一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是30πcm2，母線長(zhǎng)是10cm，則圓錐的底面圓的半徑為A．3cmB．6cmC．2cmD．4cm4．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝155．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P為（點(diǎn)P與點(diǎn)D，點(diǎn)E不重合），連接，DG⊥PC，垂足為G，則等于（

）A．B．C．D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)度的最大值為（

）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.57．某種藥品經(jīng)過(guò)了兩次降價(jià)，從每盒54元降到每盒42元若平均每次降低的百分率都為x，則根據(jù)題意，可得方程A．B．C．D．8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝110°，則∠BCD的度數(shù)為A．55°B．70°C．110°D．125°二、填空題9．方程的解為_(kāi)____．10．若方程的一個(gè)根為1，則＝____．11．已知⊙O的半徑為5cm,圓心O到直線l的距離為5cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是___12．勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過(guò)程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種農(nóng)作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克，則平均每年增產(chǎn)的百分率為_(kāi)___．13．如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝58°，則∠ACB＝____．14．如圖，點(diǎn)A、B在半徑為3的⊙O上，劣弧長(zhǎng)為，則∠AOB＝____．15．如圖所示，O為△ABC的外心，若∠BAC＝70°，則∠OBC＝____．16．如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P＝26°，則∠CAB＝____．17．上體育課時(shí)，老師在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上教同學(xué)們學(xué)習(xí)擲鉛球，訓(xùn)練時(shí)，小遠(yuǎn)同學(xué)擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出了一個(gè)坑口直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球直徑約為_(kāi)___cm．18．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，將沿BC翻折，交AC與點(diǎn)D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．19．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，則BC＝____．20．如圖，已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BAE，其中BE＝BA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，連接CP，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則CP的最小值為_(kāi)___．三、解答題21．解下列方程：(1)(2)(3)(4)22．已知關(guān)于x的一元二次方程求證：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若a和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，求的最小值．23．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB=4，AC=3，求DE的長(zhǎng)．24．如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)26米），用總長(zhǎng)度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門(mén)，設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為米．(1)AB＝米（用含的代數(shù)式表示）；(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長(zhǎng)；(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形的周長(zhǎng)是，求面積．26．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．（1）點(diǎn)E在BC邊上，且△ACE的周長(zhǎng)為AC＋BC，以線段AE上一點(diǎn)O為圓心的⊙O恰與AB、BC邊都相切．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)E、O的位置；（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半徑．27．平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑作⊙P．(1)當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AP＝；(2)當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；(3)請(qǐng)根據(jù)AP的取值范圍探索⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以原點(diǎn)O為圓心，半徑為3的⊙O上，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C，O，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接AB．(1)當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為；(2)連接AC，BC，點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC面積的最大值是．(3)連接AD，當(dāng)OC∥AD，點(diǎn)C位于第二象限時(shí)，①直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？并說(shuō)明理由．參考答案1．C2．C3．A4．A5．B6．B7．A8．D9．【分析】利用直接開(kāi)平方法解答即可．【詳解】解：方程的解為．故答案為：．10．4【分析】把代入方程，即可求解．【詳解】解：∵方程的一個(gè)根為1，∴，解得：．故答案為：411．相切【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出答案.【詳解】∵圓心到直線的距離等于半徑∴直線l與⊙O相切故答案為相切【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解題的關(guān)鍵.12．10%【分析】可設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，先表示出第一年的產(chǎn)量，那么第二年的產(chǎn)量×(1+增長(zhǎng)率)=363，然后列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則第一年的產(chǎn)量為300×(1+x)，第二年的產(chǎn)量為300×(1+x)×(1+x)，根據(jù)題意可得300(1+x)2=363，解得x1=0.1=10％，x2=?2.1(不符合題意，舍去)，即平均每年增產(chǎn)的百分率為10％，故答案為：10％．13．32°【解析】【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理，利用，求出，再利用，求出，再利用圓周角定理可求出．【詳解】解：連接OB，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解圓周角定理，求出．14．30°##30度【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：，解得：n=30°，∴∠AOB=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】題目主要考查弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．15．20°##20度【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，等弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍得出，∠BOC=2∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBC.【詳解】連接OC∵∠BAC=70°∴∠BOC=140°∵OB=OC∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2∴∠OBC=20°16．32°【分析】連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=90°，則利用互余計(jì)算出∠POC=64°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算即可求解．【詳解】解：連接OC，如圖因?yàn)镻C為切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠POC=90°-∠P=90°-26°=64°OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠POC=∠A+∠OCA，∠A=°=32°故答案為：32°【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，若出現(xiàn)圓的切線，一般要連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．17．【解析】【分析】設(shè)該鉛球的直徑約為xcm，由題意得AB=10cm，CD=2cm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得到AD2+OD2=OA2，即52+（x-2）2=（x）2，解方程即可．【詳解】解：如圖，由題意得AB=10cm，CD=2cm，設(shè)該鉛球的直徑約為xcm，在Rt△AOD中，AD=AB=5cm，OD=(x-2)cm，AD2+OD2=OA2，∴52+（x-2）2=（x）2，解得x=，故答案為：．18．44°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A+∠BDC=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將沿BC翻折，交AC與點(diǎn)D，∴∠A+∠BDC=180°，∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，故答案為：44°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．19．【解析】延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出△ABE和△CDE都是直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)分別求出BE和CE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠CDA＋∠B＝180°，∵∠CDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B＝90°，∵△ABE中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E=180°－∠B－∠A＝30°，∴△ABE與△CDE都是直角三角形，在Rt△ABE中，AB＝2，∠A＝60°，∴BE＝AB·tan∠A＝2×tan60°＝，在Rt△CDE中，CD＝1，∠E＝30°，∴，∴．故答案為：．20．【分析】利用已知條件以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為定角，進(jìn)而通過(guò)作的外接圓，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)找到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，CP的值最小，最后通過(guò)求解即可．【詳解】解：，點(diǎn)P是的內(nèi)心，分別是和的平分線，易證（SAS）點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)的圓周角為的圓上運(yùn)動(dòng)，作的外接圓，如圖所示：圓心記作點(diǎn)O，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，則，連接OC，交⊙O于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，CP的值最小，分別過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖所示：則四邊形OMBN是正方形，在中，即CP的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問(wèn)題，涉及到正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心、三角形外接圓以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知條件作出適當(dāng)?shù)妮o助線以及借助圓的相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．21．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）采用直接開(kāi)平方法求解即可；（2）采用配方法求解即可；（3），采用公式法求解可得到答案；（4）采用因式分解法求解即可得到答案．(1)∵，∴，或，∴；(2)∵，∴，∴，∴，或，∴；(3)∵，∴，∴，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，；(4)∵，∴，∴，∴．22．（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=m2+4＞0，從而證出無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，結(jié)合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【詳解】（1）在關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，無(wú)論m取何值，m2+4＞0，所以，無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）因?yàn)閍和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．無(wú)論m為何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值為3．23．（1）35°；（2）2﹣．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得.（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長(zhǎng)，則DE即可求得．【詳解】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.∵∠B=70°，∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°，∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在Rt△ABC中，BC=．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．24．(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能，最大面積為【分析】（1）設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為x米，根據(jù)柵欄的全長(zhǎng)結(jié)合中間共留2個(gè)1米的小門(mén)，即可用含x的代數(shù)式表示出AB的長(zhǎng)；（2）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函數(shù)最值即可求解．(1)解：設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為x米，∵柵欄的全長(zhǎng)為49米，且中間共留兩個(gè)1米的小門(mén)，∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），故答案為：（51﹣3x）；(2)解：依題意，得：（51﹣3x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．當(dāng)x＝7時(shí)，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合題意，舍去，當(dāng)x＝10時(shí)，AB＝51﹣3x＝21，符合題意，答：柵欄BC的長(zhǎng)為10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,∵-3<0，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即最大面積為，∵>210，∴能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD．25．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）4【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過(guò)判斷根的判別式△的正負(fù)來(lái)證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【詳解】解：（1）當(dāng)，，時(shí)勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得△即△，勾系一元二次方程必有實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，有，即，，即，，，，，，，．26．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)作圖即可；（2）先根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)S△ABE＝S△AOB＋S△BOE即可得出⊙O的半徑．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)E、O即為所求作點(diǎn)，（2）解：設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8－x在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2x＝5在Rt△ABC中，AB＝＝∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE∴×5×4＝×r＋×5r∴r＝．27．(1)2(2)1.5(3)當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ABAC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出AP；(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到PEBC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出AP；(3)根據(jù)勾股定理求出OP過(guò)點(diǎn)D時(shí)AP的長(zhǎng)，結(jié)合圖形得到OP與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(1)解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AC為⊙P的直徑，∴AP＝2．故答案為：2．(2)如圖2，當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，則PE⊥BC，∵AB⊥AC，點(diǎn)P在邊AC上，∴⊙P與AB相切，∵⊙P與BC相切于點(diǎn)E，∴BE＝AB＝3，EC＝2，設(shè)AP＝x，則PE＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得x2+4＝（4﹣x）2，解得，x＝1.5，即AP＝1.5．故答案為：1.5．(3)如圖3，當(dāng)⊙過(guò)點(diǎn)時(shí)，連接，設(shè)AP＝x，則PD＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，解得x＝3.125，即AP＝3.125，則⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況如下：當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)．28．(1)45°或135°(2)9+18(3)①；②是，見(jiàn)解析【解析】(1)易證△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由OC//AB，當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；(2)先由等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=6，再由三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最時(shí)，△ABC的面積最大，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交圓O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OE，計(jì)算△