高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《兩直線的位置關(guān)系》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《兩直線的位置關(guān)系》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．一兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0，其中l(wèi)1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)，它們的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1與v2不共線k1≠k2A1B2－A2B1≠0二三種距離公式點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))常/用/結(jié)/論1．與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直線方程可設(shè)為(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.2．與對(duì)稱問題相關(guān)的四個(gè)結(jié)論(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)；(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)；(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．思考：P(x，y)關(guān)于l：y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)Q如何求呢？分析：設(shè)Q(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kPQ·kl＝－1，,PQ的中點(diǎn)M在l上.))1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，反之，亦然．()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，那么它們的斜率之積一定等于－1.()(3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2不同時(shí)為0)，若A1B2－A2B1＝0，則直線l1∥l2.()(4)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(√)2．(2024·吉林長(zhǎng)春模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0解析：∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，∵直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直線l的方程為x＋2y＋1＝0.故選C.答案：C3．已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(1,2)關(guān)于直線x＋y＋3＝0對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．(3,4) B．(4,5)C．(－4，－3) D．(－5，－4)解析：設(shè)點(diǎn)A(a，b)，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B(1,2)關(guān)于直線x＋y＋3＝0對(duì)稱，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)＋3＝0，,\f(b－2,a－1)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－4，))則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－5，－4)．故選D.答案：D4．已知直線l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，則a＝________，此時(shí)l1與l2之間的距離為________．解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又當(dāng)a＝1時(shí)，l1與l2重合，不符合題意．所以a＝－1，此時(shí)l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1與l2的距離d＝eq\f(|－1－1|,\r(,12＋－12))＝eq\r(,2).答案：－1eq\r(,2)題型兩條直線的平行與垂直典例1(1)已知經(jīng)過點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(方法一：向量：\o(AB,\s\up16(→))·\o(PQ,\s\up16(→))＝0.,方法二：斜率\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2斜率存在時(shí)，即a≠0，,l2斜率不存在時(shí)，即a＝0.))))值為________．(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，求m的值．先由A1B2－A2B1＝0求出m，再回代驗(yàn)證(排除重合)．(1)解析：方法一：l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－－2)＝a.當(dāng)a≠0時(shí)，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.當(dāng)a＝0時(shí)，得P(0，－1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.方法二：eq\o(AB,\s\up16(→))＝(3,3a)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(a,1－2a)，由eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(PQ,\s\up16(→))可知eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(PQ,\s\up16(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.故答案為1或0.(2)解：若l1∥l2，易知m≠0，則－eq\f(1,m)＝－eq\f(m－2,3)且－eq\f(6,m)≠－eq\f(2m,3)，∴m＝－1.兩直線位置關(guān)系的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等；②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合．(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.(4)巧用直線的方向向量或法向量判斷兩直線的位置關(guān)系可以避免討論多種情況．對(duì)點(diǎn)練1(1)(多選)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)已知直線l1：xsinα＋y＝0與直線l2：x＋3y＋c＝0，則直線l1與直線l2的位置關(guān)系可能是()A．相交 B．重合C．平行 D．垂直(2)(2024·貴州遵義聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析：(1)直線l1的斜率為k1＝－sinα，過定點(diǎn)(0,0)，直線l2的斜率為k2＝－eq\f(1,3)，過點(diǎn)(－c,0)．若直線l1與l2相交，則sinα≠eq\f(1,3)，又－1≤sinα≤1，故sinα≠eq\f(1,3)可以成立，A正確；若直線l1與l2重合，則c＝0，且sinα＝eq\f(1,3)，又－1≤sinα≤1，故可以有sinα＝eq\f(1,3)，B正確；若直線l1與l2平行，則sinα＝eq\f(1,3)且c≠0，又－1≤sinα≤1，故可以有sinα＝eq\f(1,3)，C正確；若直線l1與l2垂直，則k1k2＝eq\f(1,3)sinα＝－1，則sinα＝－3，與－1≤sinα≤1矛盾，所以直線l1與l2不可能垂直，D錯(cuò)誤．故選ABC.(2)由題意，知線段AB的中點(diǎn)為M(1,2)，kAB＝－2，∴線段AB的垂直平分線為y－2＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.∵AC＝BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線的方程為x－2y＋3＝0.故選D.答案：(1)ABC(2)D題型距離公式典例2(1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()即為兩平行線間的距離．A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)(2)已知點(diǎn)P(2，－1)．求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程以及最大距離．可知l⊥OP.(1)解析：因?yàn)閑q\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠－eq\f(12,5)，所以兩直線平行，由題意可知，|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(,62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).故選C.(2)解：依題意可得過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直線方程的點(diǎn)斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(,5))＝eq\r(,5).1．點(diǎn)到直線的距離可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解，注意直線方程應(yīng)為一般式．2．利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.3．使用兩平行線間的距離公式前需把兩平行線方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式.對(duì)點(diǎn)練2(1)(多選)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)為5，則直線l的方程為()A．y＝1 B．x＝3C．y＝0 D．x＝2(2)(2024·江西撫州模擬)已知m，n滿足m＋n＝1，則點(diǎn)(1,1)到直線mx－y＋2n＝0的距離的最大值為()A．0 B．1C.eq\r(,2) D．2eq\r(,2)解析：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3，此時(shí)l與直線l1，l2的交點(diǎn)分別為A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－3)，且設(shè)直線l與直線l1和l2的交點(diǎn)分別為A，B.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，\f(－4k＋1,k＋1)))；聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，\f(－9k＋1,k＋1))).由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k＋1,k＋1)－\f(－9k＋1,k＋1)))2＝52，解得k＝0，即所求直線l的方程為y＝1.綜上所述，所求直線l的方程為x＝3或y＝1.(2)將n＝1－m代入直線方程，得(x－2)m－y＋2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))所以直線mx－y＋2n＝0必過定點(diǎn)(2,2)，故點(diǎn)(1,1)到直線mx－y＋2n＝0的距離的最大值為eq\r(,2－12＋2－12)＝eq\r(,2).故選C.答案：(1)AB(2)C題型對(duì)稱問題典例3已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；設(shè)A′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kl·kAA′＝－1，,AA′的中點(diǎn)在l上.))(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；相關(guān)點(diǎn)法：設(shè)P(x，y)為m′上任一點(diǎn)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x＋x0,2)－3·\f(y＋y0,2)＋1＝0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(5,13)x＋\f(12,13)y－\f(4,13)，,y0＝\f(12,13)x－\f(5,13)y＋\f(6,13)，))代入m得m′：9x－46y＋102＝0.(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．解：(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)方法一：在直線l上任取兩點(diǎn)，如P(1,1)，借助特殊點(diǎn)．Q(4，3)，則P，Q關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)．再由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二：依題意可知l∥l′，設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．平行線系．∵點(diǎn)A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(,22＋－32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(,22＋－32))，解得C＝－9.∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.方法三：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，相關(guān)點(diǎn)法(代入法)．則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵點(diǎn)P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直線l′的方程為2x－3y－9＝0.解決對(duì)稱問題的方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得，如(a，b)關(guān)于(m，n)的對(duì)稱點(diǎn)為(2m－a，2n－b)．(2)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線的斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)(僅指已知直線斜率存在且不為0的情況，斜率不存在或斜率為0時(shí)較簡(jiǎn)單)．(3)線關(guān)于線的對(duì)稱線．一般要在線上取點(diǎn)，可在所求直線上任取一點(diǎn)，也可在已知直線上取特殊點(diǎn)對(duì)稱．(4)特別地，當(dāng)對(duì)稱軸的斜率為±1時(shí)，可類比關(guān)于y＝x的對(duì)稱問題采用代入法，如(1,3)關(guān)于y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為(3－1,1＋1)，即(2,2)．對(duì)點(diǎn)練3(1)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4)，若直線l上存在點(diǎn)P使得|PA|＋|PB|最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2，－3) B．(－2,3)C．(2,3) D．(－2,2)(2)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為____________．(3)如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1，0)，F(xiàn)(1，0)，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn))，則直線FD的斜率的取值范圍為________．解析：(1)根據(jù)題意畫出大致圖象，如圖．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x－2y＋8＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A1(m，n)．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)·\f(1,2)＝－1，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8.))故A1(－2,8)．此時(shí)直線A1B的方程為x＝－2.所以當(dāng)點(diǎn)P是直線A1B與直線l：x－2y＋8＝0的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PB|最小，將x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3)．(3)設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)×1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))即M′(1,0)．又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線的方程為y－0＝eq\f(6－0,2－1)·(x－1)，即6x－y－6＝0.(3)從特殊位置考慮．如圖，因?yàn)辄c(diǎn)A(－2,0)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為A1(2,4)，所以kA1F＝4.又點(diǎn)E(－1,0)關(guān)于直線AC:y＝x＋2的對(duì)稱點(diǎn)為E1(－2，1)，點(diǎn)E1(－2,1)關(guān)于直線BC：x＋y＝2的對(duì)稱點(diǎn)為E2(1,4)，此時(shí)直線E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(1)B(2)6x－y－6＝0(3)(4，＋∞)題型交點(diǎn)及直線系方程典例4(1)求證：動(dòng)直線(2＋λ)x－(1＋λ)·y－2(3＋2λ)＝0(其中λ∈R)恒過定點(diǎn)，并三種常見解法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(方法一：給λ取2個(gè)值，得關(guān)于x，y的方程組.,方法二：整理成x－y－4λ＝－2x－y－6的形式.,方法三：整理成點(diǎn)斜式：y＋2＝\f(2＋λ,1＋λ)x－2λ≠－1.))求出定點(diǎn)坐標(biāo)．(2)求經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－若從切入點(diǎn)1入手，設(shè)所求直線：2x＋3y＋1＋λ(x－3y＋4)＝0，再利用垂直A1A2＋B1B2＝0得λ，即得所求直線．3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋切入點(diǎn)1切入點(diǎn)24y－7＝0的直線方程．若從切入點(diǎn)2入手，設(shè)所求直線：4x－3y＋m＝0，再將交點(diǎn)代入得m.(1)證明：方法一：令λ＝0，則直線方程為2x－y－6＝0①.再令λ＝1，則直線方程為3x－2y－10＝0②.①和②聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,3x－2y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))將點(diǎn)(2，－2)代入動(dòng)直線(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0中，即(2＋λ)×2－(1＋λ)×(－2)－2(3＋2λ)＝0，故點(diǎn)(2，－2)恒滿足動(dòng)直線方程，所以動(dòng)直線(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0恒過定點(diǎn)(2，－2)．方法二：將動(dòng)直線方程按λ降冪排列整理，得(x－y－4)λ＋(2x－y－6)＝0①，不論λ為何實(shí)數(shù)，①式恒為零，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－4＝0，,2x－y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))故動(dòng)直線恒過定點(diǎn)(2，－2)．(2)解：方法一：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9).))∴交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9))).∵所求直線與3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直線的斜率k＝eq\f(4,3).由點(diǎn)斜式，得y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3))).故所求直線的方程為4x－3y＋9＝0.方法二：設(shè)所求直線的方程為4x－3y＋m＝0.同方法一中求得交點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入上式得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))－3×eq\f(7,9)＋m＝0.∴m＝9，代入所設(shè)方程．故所求直線的方程為4x－3y＋9＝0.方法三：設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0.即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0①.又∵直線①與3x＋4y－7＝0垂直．則有3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2.代入①式得所求直線的方程為4x－3y＋9＝0.幾種常用的直線系方程巧用直線系，可減少計(jì)算量，事半功倍．(1)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交