（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)03 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式（教師版）

第頁(yè)第03講三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式知識(shí)講解角的定義平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊角的分類(lèi)按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時(shí)針選擇）、負(fù)角（順時(shí)針選擇）和零角（不旋轉(zhuǎn)））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負(fù)半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負(fù)半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標(biāo)軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關(guān)系，扇形的弧長(zhǎng)、周長(zhǎng)及面積公式角度制弧度制弧長(zhǎng)公式面積公式周長(zhǎng)公式是扇形的半徑，是圓心角的度數(shù)是扇形的半徑，是圓心角弧度數(shù)，是弧長(zhǎng)三角函數(shù)的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數(shù)值度弧度00100100101不存在0不存在0兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系互余，，已知，則：兩角互補(bǔ)的三角函數(shù)關(guān)系互補(bǔ)，，，已知，則：，常見(jiàn)三角不等式若，則；若，則..同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：推導(dǎo)公式：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)類(lèi)型或，，或，，或，，誘導(dǎo)方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數(shù)，變函數(shù)名；，若為偶數(shù)，不變函數(shù)名；，，象限指的是原函數(shù)名的象限，再判斷符號(hào)規(guī)定：無(wú)論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導(dǎo)公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，考點(diǎn)一、扇形的弧長(zhǎng)及面積計(jì)算【例1】沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.【變式1】已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：）是．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得.故答案為：【變式2】如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得出圓錐的母線，進(jìn)而根據(jù)圓錐、圓臺(tái)的軸截面，即可得出答案.【詳解】假設(shè)圓錐半徑，母線為，則.設(shè)圓臺(tái)上底面為，母線為，則.由已知可得，，所以.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面則有，所以.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：C.考點(diǎn)二、三角函數(shù)求值問(wèn)題綜合【例2】已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.【變式3】已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，繞原點(diǎn)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的定義求得，根據(jù)題意得到射線為角的終邊，結(jié)合兩角差的正、余弦公式，求得和的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】因?yàn)椋傻?，由三角函?shù)的定義，可得，又由繞原點(diǎn)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得且射線為角的終邊，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.【變式4】在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)特殊值求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由正弦函數(shù)定義即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)?，所以終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為，所以終邊在第四象限，所以.故選：B.考點(diǎn)三、三角函數(shù)值的大小比較【例3】的大小關(guān)系為A．B．C．D．【答案】A【詳解】單位圓中，，，故選A.【變式5】設(shè)則A．B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：利用誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b，又，∴c＞b＞a．故選C．【變式6】已知，，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用時(shí)，判斷的大小，由余弦函數(shù)性質(zhì)判斷大小可得．【詳解】考慮在時(shí)，．所以，即，從而，即；又，即，故選：B考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【例4】設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，即推不出；當(dāng)時(shí)，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B【變式7】已知，且，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【變式8】若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用弦化切可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋獾?，所以?故選：A.考點(diǎn)五、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例5】若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，所以.故答案為：2.【變式9】已知，且，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由得，又，，，故選：A.【變式10】已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系將原式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，則,故選:D．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．如圖，點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)單位圓、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】由單位圓可知，，且為第一象限角，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，所以，所以.故選：D2.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）．A．B．C．D．【答案】C【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)作出終邊，根據(jù)三角函數(shù)定義求出和，把化簡(jiǎn)再求值即可.【詳解】由題意知，，所以，，因?yàn)?故選：C.3.已知，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)，借助于誘導(dǎo)公式，即可求得結(jié)果．【詳解】，的值為，故選：4.如圖，在扇形中，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．其中，長(zhǎng)為．則的長(zhǎng)度約為（提示：時(shí)，）（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，結(jié)合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【詳解】設(shè)圓心角，，，所以，，所以．故選：B.5.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則．【答案】/0.96【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列出求解出，得到，結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦二倍角公式即可計(jì)算得到答案.【詳解】由題意知，，，所以，化簡(jiǎn)得解得或又因?yàn)?，即，所以，所以角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以．故答案為：【能力提升】6.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：B.7.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式、余弦的倍角公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.8.若，則（

）A．0B．C．3D．7【答案】D【分析】由條件結(jié)合平方關(guān)系及二倍角公式可求，根據(jù)商的關(guān)系和二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即又，所以，故選：D.9.（

）A．B．C．D．6【答案】A【分析】利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算計(jì)算可得.【詳解】.故選：A10.若，則的值為．【答案】或【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法求出，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，則，即，解得，所以的值為或.故答案為：或11.由，可求得.【答案】【分析】由題意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．【詳解】，，，，，，或（舍．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1.已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A．B．－C．D．－【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)即可解出．【詳解】由條件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.故選：B．2.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率π.據(jù)此，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到π與n的關(guān)系為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)圓的半徑為，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個(gè)小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面即可得：，解得：.故選：A.3.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運(yùn)算，注意三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷.【詳解】由題意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因?yàn)椋傻?，所?故選：D.4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用誘導(dǎo)公式和恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用任意角三角函數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，所以.故選：B.5.已知，則的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先證明當(dāng)0＜x＜時(shí)，，從而可得，再利用正切函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】先證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則所以所以，即故選：C．隨堂檢測(cè)1.的值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，將所求的角轉(zhuǎn)化為特殊銳角，即可求解.【詳解】.故選：B.2.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式及圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.3.若則在（

）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、四象限【答案】A【分析】先確定每個(gè)函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，進(jìn)一步判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)樵诘谝?、二象限為正，第三、四象限為?fù)；在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù).而，所以在第一、三象限.故選：A.4.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)的體積為（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺(tái)的上下底面圓的半徑，再求出圓臺(tái)的高并結(jié)合圓臺(tái)的體積公式求解作答.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，因此圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積.故選：C5.設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.6.（多選）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】點(diǎn)代入單位圓的方程求出點(diǎn)可得，再由弦化切可得答案.【詳解】角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.7.已知，則（

）A．