2023-2024學(xué)年福建省南平市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A2.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設(shè)與所成角的大小為，則.故選：A3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，.故選：D.4.已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，從而，解得，所以，則橢圓的長軸長為.故選：C.5.在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（）A.3 B.9 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，是方程兩根，所以，即，在等比?shù)列中，，又，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.6.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知正數(shù)滿足，則，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，也就是說的最小值為.故選：B.7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線左支上一點(diǎn)，若直線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)，，若直線垂直平分線段，則與關(guān)于直線對(duì)稱，則有，且，∴，可得，即，把的坐標(biāo)代入雙曲線方程中得：，∴，∴，∴.故選：B.8.若圓與圓外切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】?jī)蓤A的方程分別為和，故外切條件等價(jià)于和之間的距離為，即.記，，則點(diǎn)在軌跡上，所求的即為的取值范圍.由于，故，且，同時(shí)，上面的上界和下界分別在和時(shí)取到.而是在一個(gè)連續(xù)的圓弧上，故上的值都可以取到，所以取值范圍是.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，直線，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，與之間的距離為1 D.直線過定點(diǎn)【答案】BC【解析】對(duì)于A，時(shí)，，顯然與不垂直，A不正確；對(duì)于B，時(shí)，，因?yàn)椋?，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，且，解得，此時(shí)，與之間的距離為，C正確；對(duì)于D，，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，D不正確.故選：BC.10.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（）A.的周長為4B.的取值范圍是C.的最小值是3D.若點(diǎn)在橢圓上，且線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為【答案】BCD【解析】由題意可知橢圓長軸長，左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，易知，故B正確；若的斜率存在，不妨設(shè)其方程為：，聯(lián)立橢圓方程，則，所以，若的斜率不存在，則其方程為，與橢圓聯(lián)立易得，顯然當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，故C正確；設(shè)，易知，若中點(diǎn)為，則，故D正確.故選：BCD11.如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，底面為等邊三角形，為的重心，故，又，故，A正確；B選項(xiàng)，，故，故，B正確；C選項(xiàng)，，又，設(shè)，即，無解，故與不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，其中，則（）A.函數(shù)的極大值點(diǎn)為2B.若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C.方程共有4個(gè)實(shí)根D.關(guān)于的不等式不可能只有1個(gè)整數(shù)解【答案】ACD【解析】我們有，或，，所以在和上遞減，在上遞增，意味著分別是極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，這說明B錯(cuò)誤；畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示，對(duì)于關(guān)于的方程，令，注意到，觀察圖象可知有兩根，設(shè)為，且規(guī)定，則有，其中是的一個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在我們來研究的根的情況，由以上分析情況可知，此時(shí)有兩個(gè)根，，若，而，觀察圖象可知也有兩個(gè)根，綜上所述，關(guān)于的方程共有4個(gè)實(shí)根，故C正確；由于，故或（否則且，則，這與矛盾），而，故至少有兩個(gè)整數(shù)解，D正確.故選：ACD.第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】已知向量，若，則，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)在處的切線為，則直線的方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，從而，所以函?shù)在處的切線的方程為：，即.故答案為：.15.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)且，則該雙曲線漸近線的斜率為__________.【答案】【解析】由雙曲線定義可知，其中為雙曲線半焦距，根據(jù)余弦定理有，則，所以該雙曲線漸近線方程的斜率為.故答案為：.16.《算學(xué)啟蒙》作者是元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰，這是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.里面涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.某同學(xué)模仿“堆垛”問題，將108根相同的鉛筆剛好全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從上往下，每一層比下一層少1根，則該“等腰梯形垛”最多可以堆放_(tái)____層.【答案】9【解析】設(shè)從上往下該“等腰梯形垛”第層堆放的鉛筆數(shù)為，則是公差為1的等差數(shù)列，其和為108，所以；整理可得，由可得，由于，所以為216的正約數(shù)，且為偶數(shù)；經(jīng)驗(yàn)證可得時(shí)符合題意.故答案為：9四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意得：解得：故.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）知：，所以，.18.已知圓圓心在直線上且圓與軸相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的面積.解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于圓的圓心在直線上且圓與軸相切于點(diǎn)，可得，解得，即圓心坐標(biāo)為，由于圓與軸相切于點(diǎn)，則半徑.所以圓的方程為.（2）依題意，圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓相交于兩點(diǎn)，所以弦長，所以.19.如圖，在四棱錐中，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求線段的長.解：（1）因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，為的中點(diǎn)，得，，，，所以，，所以，，所以.（2）由（1）可得，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以令，得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，取，得因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，整理得，解得或（舍）即線段的長為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，①?dāng)時(shí)可得，即.當(dāng)時(shí)，，②由①-②得，即，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，即，則，故.由，得，即，依題意，不等式恒成立，因?yàn)殡S著增大而減小，所以，即的取值范圍為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）將曲線按向量平移得到曲線（即先將曲線上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，得到曲線；再把曲線上所有的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，得到曲線），求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；（3）證明二次函數(shù)的圖象是拋物線.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，依題意，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線的方程為.（2）曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)槭怯汕€上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到的，所得曲線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.（3）因?yàn)槭菕佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程，其對(duì)應(yīng)的曲線是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線.即函數(shù)的圖象是拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.將的圖象按向量平移可得到的圖象，即的圖象，又因?yàn)槠揭谱儞Q只改變曲線的位置，不改變曲線的形狀，所以的圖象是拋物線.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大?。唬?）若，比較與的大小.解：（1）設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，從而，即；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則即恒成立，所以，，又，所以，因?yàn)?，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，即，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，從?福建省南平市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A2.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設(shè)與所成角的大小為，則.故選：A3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，，.故選：D.4.已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，從而，解得，所以，則橢圓的長軸長為.故選：C.5.在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（）A.3 B.9 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，是方程兩根，所以，即，在等比?shù)列中，，又，所以，因?yàn)椋?，所?故選：B.6.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知正數(shù)滿足，則，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，也就是說的最小值為.故選：B.7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線左支上一點(diǎn)，若直線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】設(shè)，，若直線垂直平分線段，則與關(guān)于直線對(duì)稱，則有，且，∴，可得，即，把的坐標(biāo)代入雙曲線方程中得：，∴，∴，∴.故選：B.8.若圓與圓外切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】?jī)蓤A的方程分別為和，故外切條件等價(jià)于和之間的距離為，即.記，，則點(diǎn)在軌跡上，所求的即為的取值范圍.由于，故，且，同時(shí)，上面的上界和下界分別在和時(shí)取到.而是在一個(gè)連續(xù)的圓弧上，故上的值都可以取到，所以取值范圍是.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，直線，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，與之間的距離為1 D.直線過定點(diǎn)【答案】BC【解析】對(duì)于A，時(shí)，，顯然與不垂直，A不正確；對(duì)于B，時(shí)，，因?yàn)?，所以，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，且，解得，此時(shí)，與之間的距離為，C正確；對(duì)于D，，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，D不正確.故選：BC.10.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（）A.的周長為4B.的取值范圍是C.的最小值是3D.若點(diǎn)在橢圓上，且線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為【答案】BCD【解析】由題意可知橢圓長軸長，左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，易知，故B正確；若的斜率存在，不妨設(shè)其方程為：，聯(lián)立橢圓方程，則，所以，若的斜率不存在，則其方程為，與橢圓聯(lián)立易得，顯然當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，故C正確；設(shè)，易知，若中點(diǎn)為，則，故D正確.故選：BCD11.如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，底面為等邊三角形，為的重心，故，又，故，A正確；B選項(xiàng)，，故，故，B正確；C選項(xiàng)，，又，設(shè)，即，無解，故與不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，其中，則（）A.函數(shù)的極大值點(diǎn)為2B.若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C.方程共有4個(gè)實(shí)根D.關(guān)于的不等式不可能只有1個(gè)整數(shù)解【答案】ACD【解析】我們有，或，，所以在和上遞減，在上遞增，意味著分別是極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，這說明B錯(cuò)誤；畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示，對(duì)于關(guān)于的方程，令，注意到，觀察圖象可知有兩根，設(shè)為，且規(guī)定，則有，其中是的一個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在我們來研究的根的情況，由以上分析情況可知，此時(shí)有兩個(gè)根，，若，而，觀察圖象可知也有兩個(gè)根，綜上所述，關(guān)于的方程共有4個(gè)實(shí)根，故C正確；由于，故或（否則且，則，這與矛盾），而，故至少有兩個(gè)整數(shù)解，D正確.故選：ACD.第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】已知向量，若，則，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)在處的切線為，則直線的方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，從而，所以函?shù)在處的切線的方程為：，即.故答案為：.15.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)且，則該雙曲線漸近線的斜率為__________.【答案】【解析】由雙曲線定義可知，其中為雙曲線半焦距，根據(jù)余弦定理有，則，所以該雙曲線漸近線方程的斜率為.故答案為：.16.《算學(xué)啟蒙》作者是元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰，這是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.里面涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.某同學(xué)模仿“堆垛”問題，將108根相同的鉛筆剛好全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從上往下，每一層比下一層少1根，則該“等腰梯形垛”最多可以堆放_(tái)____層.【答案】9【解析】設(shè)從上往下該“等腰梯形垛”第層堆放的鉛筆數(shù)為，則是公差為1的等差數(shù)列，其和為108，所以；整理可得，由可得，由于，所以為216的正約數(shù)，且為偶數(shù)；經(jīng)驗(yàn)證可得時(shí)符合題意.故答案為：9四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意得：解得：故.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）知：，所以，.18.已知圓圓心在直線上且圓與軸相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的面積.解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于圓的圓心在直線上且圓與軸相切于點(diǎn)，可得，解得，即圓心坐標(biāo)為，由于圓與軸相切于點(diǎn)，則半徑.所以圓的方程為.（2）依題意，圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓相交于兩點(diǎn)，所以弦長，所以.19.如圖，在四棱錐中，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求線段的長.解：（1）因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，為的中點(diǎn)，得，，，，所以，，所以，，所以.（2）由（1）可得，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以令，得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，取，得因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，整理得，解得或（舍）即線段的長為.20.已