第六章投影變換

第六章投影變換§6-2旋轉(zhuǎn)法(略)§6-1換面法§6-3綜合問題解題示例一般位置特殊位置實(shí)長(zhǎng)換面法特殊位置一般位置實(shí)形實(shí)角換面法實(shí)角特殊位置一般位置換面法特殊位置一般位置換面法XOABa’b’baX1a’1b’1實(shí)長(zhǎng)一.換面法概念換面法的概念在V/H投影體系中，AB

為一般位置直線。αα增設(shè)新投影面V1，使V1⊥H，且∥直線AB；在V1

/H新投影體系中，AB

為投影面平行線直線。

AB在新投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面的傾角。建立新投影系：這種增設(shè)新投影面，用新投影取代原舊投影求解的方法稱為換面法。二、換面法概念新投影面的設(shè)立條件1.

新投影面必須垂直原V/H投影體系中的某一投影面；如V1

:V1⊥H

，V1

∥AB直線；在V1

/H投影系中，AB的V1

面投影反映實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面的傾角。2.

新投影面必須處于有利于解題的位置。XOABa’b’baX1a’1b’1實(shí)長(zhǎng)ααXOABa’b’baX1αα二、換面法概念有關(guān)名詞術(shù)語新、舊、不變投影間關(guān)系？a’1b’1新投影面所垂直的投影面稱：不變投影面，其上的投影稱：不變投影；不變投影面與新投影面的交線稱：新投影軸；被更換的投影面：舊投影面，其上的投影稱：舊投影；與不變投影面的交線稱：舊投影軸新增加的投影面稱：新投影面，其上的投影稱：新投影二、點(diǎn)的換面1.點(diǎn)的一次換面（V1面替代V

面）新投影a1’

不變投影a舊投影a'V1面---新投影面V面---舊投影面H面---不變投影面提示：

點(diǎn)在V1/H

體系中的投影不變投影新投影舊投影.新投影面不變投影面舊投影面1.按照解題需要確定新軸位置；2.由不變投影引細(xì)實(shí)線垂直新軸并延長(zhǎng)；3.在上述所畫的細(xì)實(shí)線上量取舊投影到舊軸的長(zhǎng)度截取新投影到新軸的長(zhǎng)，確定新投影。特性:1.新投影與不變投影的連線垂直于新軸。

2.新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。二、點(diǎn)的換面點(diǎn)在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..二、點(diǎn)的換面V二、點(diǎn)的換面2.點(diǎn)的二次換面aX1a’aaXAa’1aX2X2X1a2

V、H面交替更換，實(shí)現(xiàn)多次換面以滿足解題需要。即：a’1a2HV1V1H2x1X2aa'aX

HVXV1

/HV1

/H2V3

/H2V/HXO三、換面法解決的基本問題換面法解決有關(guān)直線的兩個(gè)基本問題:1.將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€。2.將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€。換面法解題的關(guān)鍵:新投影面的設(shè)立。換面法解決有關(guān)平面的兩個(gè)基本問題:3.將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵妗?.將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妗?.把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€求β角和實(shí)長(zhǎng)如何定新軸？XOABa’b’baX1b’1實(shí)長(zhǎng)

a’1例1求AB線段的實(shí)長(zhǎng)及α。

作圖要點(diǎn)：aa'HVXbb'a'1b'1α實(shí)長(zhǎng)

X1∥abX1αα都與不變投影面有關(guān)

X1

軸平行不變投影，求得線段對(duì)不變投影面的傾角。1.把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€例2求AB線段的實(shí)長(zhǎng)及β。

作圖要點(diǎn)：HVaa'Xbb'a1b1β實(shí)長(zhǎng)

X1

∥a’b’X1VH1

V面應(yīng)為不變投影面,X1

軸平行不變投影a’b’

，求得線段對(duì)V投影面的傾角β

。

分析：1.把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€OZ

XYVX1a1b1aa'HVXbb'分析：AB為正平線，則設(shè)H1

面⊥AB

。Ba’b’abA2.把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€分析：AB為正平線，則設(shè)H1

面⊥AB

。OZXYVABa’b’abX1H1aa'HVXbb'X1VH1a1(b1)

作圖要點(diǎn)：

X1⊥a’b’a1b12.把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€VXa’b’ABabX2x1

分析：AB一般位置線,需要二次換面。先把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€；再把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€。a’1b’1a2(b2)aa'HVXbb'Xa'b(a)b'2.把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€x2

作圖要點(diǎn)：第一次換面

X1∥ab

(或a’b’)。aa'HVXbb'x1V1H2V1Ha2(b2)a’1b’1第二次換面

X2⊥實(shí)長(zhǎng)投影,如a’1b’1。VXa’ab’bAX2x1Ba’1b’1a2(b2)2.把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€3、把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵胬?換面法求△ABC平面對(duì)V面的傾角β。abca’c’b’作圖分析：OXV

ABa’c’abccb’XVH一平面垂直另一平面內(nèi)的一直線，則兩平面垂直。X1Dβa1d1dd’例1換面法求△ABC

平面對(duì)V面的傾角β。abca’c’b’a1d1b1c1作圖要點(diǎn)：1.在△ABC內(nèi)取正平線，如AD；2.作X1⊥a’d’；求新投影。作圖分析：dd’X1XVHH1Vβ新投影與X1夾角即β。OXV

ABa’c’abccb’βa1d1dd’解題完畢X1OD3、把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鎄VOX1鉛垂面實(shí)形ABC實(shí)形.將垂直面變成平行面需要幾次換面？一次換面！4、把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻胬?求平面△ABC的實(shí)形。作圖要點(diǎn)：1.在△ABC內(nèi)取投影面平行線，如正平線，如AD；2.作X1⊥a’d’；求積聚性投影；分析：3.作X2∥a’d’；求得平面實(shí)形。dabca’c’b’d’XVHX1H1VX2H1V2a1d1b1c1a’2c’2b’2求實(shí)形即將平面變換為投影面平行面。需兩次換面?！巍巍巍摹腛4、把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻胬?求點(diǎn)K到直線AB之距。a'b'k'kabXVHX1b1k1k2X2l1ll'X1//abk1l1//X2HV1V1H2a2(b2)(l2)a1X2a1b1四、換面法例題投影分析如何確定新投影軸的位置如何返回原投影面體系A(chǔ)BKLPablk（1）將AB變?yōu)槠叫芯€（2）將AB再變?yōu)榇怪本€例2ABC與

ABD夾角為60°，求a'd',b'd'?？臻g分析當(dāng)兩平面的交線AB垂直于新投影面時(shí)它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队胺从称鋳A角投影分析（1）將AB變?yōu)橥队懊嫫叫芯€新投影軸X1//ab（2）將AB變?yōu)橥队懊娲怪本€新投影X2垂直a1b1acbda'c'b'XVHc1a1b1X1a2

(b2)Hv1d1d'X2v1H2c2d260°四、換面法例題a'b'c'bcaXVH例3過點(diǎn)A作直線與BC相交成60°。X1b1c1a1X2a2b2c2m2n2m1n1mm'nn'HV1V1H2空間分析

在實(shí)形圖上直接反映直線夾角大小，實(shí)質(zhì)是求實(shí)形問題。60°60°返回到原投影面體系四、換面法例題例4

已知∠BAC

為60，求作AC

的正面投影。解：1.換面將三角形△BAC變換為投影面平行面，V1面投影反映該面實(shí)形；3.將c1’返回原體系，得c’,連a’c’。2.在新投影面V1中∠b1’a1’c1’＝

60得c1’四、換面法例題空間分析：解題思路：2.兩相交直線BC、AB確定的平面即為所求1.過直線AB上任一點(diǎn)B作平面DEF的垂線

例5：過線段AB作一平面垂直于平面DEF

四、換面法例題例5過線段AB作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.將b1’c1’返回原體系4.求作bc(//X1軸)2.直線AB隨之變換1.將△DEF

變換為新投影面的垂直面3.過a1’b1’上任一點(diǎn)作d1’e1’f1’的垂線得c1’四、換面法例題例6

已知點(diǎn)K

到平面ABC

的距離為15mm,求作點(diǎn)K

的水平影。有兩解解：1.將△ABC變換成投影面垂直面a1’b1’c1’.2.距面a1’b1’c1’15mm作平行線，按投影變換規(guī)律求出k1’，由此求出水平投影k。四、換面法例題例7

已知直線AB

垂直于平面△EFG，且點(diǎn)A

距平面為30mm，求作△EFG

的正面投影。分析：一次換面使AB//V1投影面，則△DEF必⊥V1面，且距點(diǎn)A為30mm，即a1’b1’⊥△g1’e1’f1’。返回原體系得解。四、換面法例題例8

已知矩形AB