《1.4-1.5.1兩條直線的交點、平面上兩點間的距離》(含答案)學案

高中數學精編資源PAGE2/2§1.4~§1.5.1兩條直線的交點、平面上兩點間的距離目標要求1、理解并掌握求兩條直線的交點坐標的方法．2、理解并掌握過定點的直線．3、理解并掌握兩點間的距離公式及應用．4、理解并掌握坐標法證題的方法．學科素養(yǎng)目標本章內容的呈現，除了注意體現解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學生的認知規(guī)律，通過設計相關的問題情景，降低學習的難度，使學生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現過程中，從學生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內在聯系．數形結合是本章重要的數學思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數形結合的典范，而且在研究幾何圖形的性質時，也充分體現“形”的直觀性、“數”的嚴謹性．重點難點重點：兩點間的距離公式及應用．難點：坐標法證題的方法．教學過程基礎知識點1.兩條直線的交點方程組A1一組無數組無解直線l1,l2的公共點__一個_無數個__零__個直線l1,l2的位置關系相交__重合___平行2.兩點間的距離公式(1)公式:兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1(2)本質:用代數方法求平面內兩點之間的距離.【思考】兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為P1P2=(x提示:能,因為(x2-3.中點坐標公式對于平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點M(x0,y0),則x【課前基礎演練】題1.下列命題正確的是()A.求兩直線的交點就是解由兩直線方程組成的方程組.B.兩直線l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要條件是A1B2-A2B1≠0.C.方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示經過直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的所有直線.D.兩點間的距離公式與兩點的先后順序無關.【答案】ACD【解析】A√.由兩直線方程組成的方程組的解同時滿足兩個方程,在兩條直線上,所以是交點坐標.B√.兩直線l1與l2相交,需A1A2≠B1B2(分母不為零),轉化為整式即為A1B2C×.無論λ取什么實數,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直線l2.D√.兩點間的距離公式包含差的平方,所以與兩點的先后順序無關.題2.直線x=1與直線y=2的交點坐標是()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,1) D.(2,2)【解析】選A.直線x=1與直線y=2是互相垂直的直線,其交點坐標是(1,2).題3.已知M(2,1),N(-1,5),則MN等于()A.5 B.37C.13 D.4【解析】選A.MN=(2+1題4.已知兩條直線l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1與l2相交,則實數a滿足的條件是.

【解析】l1與l2相交,則有:a4≠36,所以答案:a≠2【課堂合作提高】類型一求兩條直線的交點坐標(數學運算)【課堂題組訓練】題5.直線4x+2y-2=0與直線3x+y-2=0的交點坐標是()A.(2,2) B.(2,-2) C.(1,-1) D.(1,1)【解析】選C.解方程組4x+2y題6.(多選題)若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形,則a的取值為()A.a=1 B.a=-1 C.a=-2 D.a=2【解析】選ABC.由題意可得l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.若l1和l3平行,則a1=11,求得若l2和l3平行,則11=a1,求得若l1和l2平行,則a1=1a,求得a當三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一個點時,a=-2;綜上可得,實數a所有可能的值為-1,1,-2.題7.經過兩直線l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交點且過坐標原點的直線l的方程是.

【解析】方法一:由方程組3解得x=-2,y=2,因為直線過坐標原點,所以其斜率k=2-2=-1.故直線方程為y=-x,即x+方法二:因為l2不過原點,所以可設l的方程為3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.將原點坐標(0,0)代入上式,得λ=1,所以直線l的方程為5x+5y=0,即x+y=0.答案:x+y=0【解題策略】過兩條直線交點的直線方程求法求過兩條直線交點的直線方程,一般是先解方程組求出交點坐標,再結合其他條件寫出直線方程.也可用過兩條直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根據其他條件求出待定系數,寫出直線方程.過直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線系有兩種:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示過l1,l2交點的所有直線;②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直線l2.題8.兩條直線2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交點在y軸上,那么k的值是()A.-24B.6C.±6D.24【解析】選C.設交點P(0,y),代入2x+3y-k=0,得y=k3,所以P0,k3,代入x-ky+12=0,得0-k題9.若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一點,則k的值為()A.-2 B.-12 C.2 D.【解析】選B.易求直線2x+3y+8=0與x-y-1=0的交點坐標為(-1,-2),代入x+ky=0,得k=-12類型二過定點的直線(數學運算,直觀想象)【典例】題10.求證:不論λ為何實數,直線(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3都恒過一定點.四步內容理解題意條件:直線方程:(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3結論:直線恒過定點思路探求給λ任取兩個特殊值,得兩條直線的方程,聯立得交點;也可整理為關于λ的一次式,令系數與常數項都為零解得交點.書寫表達證明:方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直線l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直線l2:x=-3,故l1與l2的交點為P(-3,3).將點P(-3,3)代入方程左邊,得(λ+2)×(-3)-(λ-1)×3=-6λ-3,所以點(-3,3)在直線(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3上.所以直線(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒過定點(-3,3).方法二:(分離參數法)由(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3,整理得(2x+y+3)+λ(x-y+6)=0.則直線(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3通過直線2x+y+3=0與x-y+6=0的交點.由方程組2x+所以直線(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒過定點(-3,3).題后反思交點一定是二元一次方程組的解.【解題策略】解決過定點問題常用的三種方法(1)特殊值法:給方程中的參數取兩個特殊值,可得關于x,y的兩個方程,從中解出的x,y的值即為所求定點的坐標;(2)點斜式法:將含參數的直線方程寫成點斜式y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(x0,y0);(3)分離參數法:將含參數的直線方程整理為過交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,則該方程表示的直線必過直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點,而此交點就是定點.【跟蹤訓練】題11.求證:不論m取什么實數,直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經過一定點,并求出這個定點坐標.【解析】方法一:對于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程組x-將點(2,-3)代入直線方程,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0.這表明不論m取什么實數,所給直線均經過定點(2,-3).方法二:將已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,有2x+所以不論m取什么實數,所給直線均經過定點(2,-3).類型三兩點間的距離(數學運算,直觀想象)【典例】題12.已知△ABC三頂點坐標A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.【思路導引】計算三角形的各邊長,通過長度獲得關系;或者由斜率獲得關系.【解析】方法一:因為AB=(3+3)2AC=(1+3)2又BC=(1-3所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:因為kAC=7-11-(-3)=32,kAB=-3-13-(-3)又AC=(1+3)2AB=(3+3)2所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.【解題策略】判斷三角形形狀的方法在分析三角形的形狀時,要從兩方面考慮:一是要考慮角的特征,主要考察是否為直角或等角;二是要考慮三角形邊的長度特征,主要考察邊是否相等或滿足勾股定理.【跟蹤訓練】題13.已知點A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5).求證:△ABC是等腰三角形.【證明】因為AB=(-4+2)2AC=(0+2)2BC=(0+4)2所以AC=BC.又因為點A,B,C不共線,所以△ABC是等腰三角形.類型四坐標法證題(直觀想象,邏輯推理)【典例】題14.在△ABC中,D是BC邊上任意一點(D與B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求證:△ABC為等腰三角形.【思路導引】在圖形中建立坐標系,設點,說明AB=AC.【證明】如圖,作AO⊥BC,垂足為O,以BC所在直線為x軸,以OA所在直線為y軸,建立平面直角坐標系xOy.設A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因為AD2+BD·DC=AB2,所以由兩點間距離公式,可得d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,化簡得(c+b)(d-b)=0.又d-b≠0,所以c+b=0,即-b=c,所以OB=OC,所以AB=AC,即△ABC為等腰三角形.【解題策略】坐標法解決幾何問題關鍵坐標法解決幾何問題時,關鍵要結合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:①讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算;②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.【跟蹤訓練】題15.已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,對角線為AC和BD.求證:AC=BD.【證明】如圖所示,建立直角坐標系,設A(0,0),B(a,0),C(b,c),則點D的坐標是(a-b,c).所以AC=(b-0BD=(a-b-a)2+【課堂檢測達標】題16.已知直角坐標平面上連接點(-2,5)和點M的線段的中點是(1,0),那么點M到原點的距離為()A.41B.41C.39D.39【解析】選B.設M(x,y),由題意得1=-2+x2,0=5+y2,解得x題17.若直線ax+by-11=0與3x+4y-2=0平行,并且經過直線2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交點,則a,b的值分別為()A.-3,-4 B.3,4C.4,3 D.-4,-3【解析】選B.由2x+3y-8=0,題18.過直線2x-y+2=0和x