matlab和ansys基礎(chǔ)教程資料

第一章matlab軟件應(yīng)用

§1.1MATLAB簡介

當(dāng)你要計算3660x5428時，你可能有兩種選擇，第一用計算器，第二找張草稿

(5+1),51T

紙手算；當(dāng)你要計算矩陣與向量［(S+l)(S+2)‘相乘

0,(S+1.5)S(S+2)

時，你現(xiàn)在可能會以為沒有別的辦法了，只能手算了；而當(dāng)你要計算

「e-0"sin(t+X)dt時，你可能會告訴我說：“這個問題只有編程才能解決”。

6

現(xiàn)在揭曉謎底，MATLAB可以求解上面提出的3個計算式，而做到這一點并不需

要草稿紙，也不需要編程。那么MATLAB是一種什么東西呢？MATLAB實際上是一種

面向未來的科學(xué)計算語言，是MATrixLABratory的簡稱，即矩陣實驗室。這種語

言最初的發(fā)明原意是要專門求解矩陣計算問題，后來隨著推向市場，MATLAB不僅保

持了強大數(shù)值計算功能，而且隨著版本升級，逐漸具有了數(shù)據(jù)圖形功能，符號計算

功能。

§1.1.1MATLAB的發(fā)展簡史

UNPACK和EISPACK是美國科學(xué)界在六，七十年代發(fā)展起來的FORTRAN程

序庫，UNPACK用于解線性方程，EISPACK用于求解特征值問題。七十年代中期

CleveMoler和他的同事在美國國家科學(xué)基金資助下研究開發(fā)了調(diào)用LINPACK,和

EISPACK的FORTRAN子程序庫。這兩個程序庫代表著矩陣計算軟件的最高水平。

七十年代后期CleveMoler成為新墨西哥大學(xué)計算機科學(xué)系主任，他為他的學(xué)

生開設(shè)線性代數(shù)課程時，想讓學(xué)生能夠充分利用LINPACK和EISPACK的程序庫，

但是面臨著學(xué)生必須花時間學(xué)習(xí)FORTRAN編程，而這不是他的教學(xué)目的的兩難困

境。為了解決這一難題，他動手用業(yè)余時間為學(xué)生們編寫出使用方便，不需要

FORTRAN背景的LINPACK,EISPACK接口程序。CleveMoler把這一接口程序命

名為MATLAB,意思就是“矩陣實驗室”。這一接口程序被學(xué)生應(yīng)用后獲得歡迎，取

得了意料之中的成功。CleveMoler隨后幾年把這一程序傳播到其他大學(xué)，大家都逐

漸認(rèn)識到它的價值，并成為應(yīng)用數(shù)學(xué)界的術(shù)語。

1983年早春，身為工程師的JohnLittle在CleveMoler對斯坦福大學(xué)訪問時接

觸到MATLAB,他眼光獨到地認(rèn)識到MATLAB在工程領(lǐng)域有極大的潛在應(yīng)用天地。

因此在這一年，他與Moler>SteveBangert一起合作開發(fā)出第二代專業(yè)版MATLAB.

這一版不再使用FORTRAN語言作為編程核心，而是全部在C語言下重建。這一代

不僅保持了MATLAB以前具有的全部數(shù)值計算能力，而且增加了數(shù)據(jù)圖形功能。

1984年以MATLAB為依托成立了Mathworks公司，大力把此產(chǎn)品推向市場，

并不斷推進(jìn)MATLAB的研究與開發(fā)。1993年，MATLAB有了第一個Windows版本

MATLAB3.5K,同年，又接連推出了在Windows3.X架構(gòu)下的MATLAB4.0版和4.1

版本，這兩個版本與以前版本相比增加了多種廣受歡迎的工具箱，在4.1版本中首

次引入了符號計算工具箱。1997年MATLAB5.0版問世，這一版本以windows95為

平臺，實現(xiàn)了真正的32位運算。在隨后的幾年里隨著個人計算機操作系統(tǒng)的升級換

代，MATLAB也相應(yīng)的進(jìn)行了一系列的版本升級。

在總結(jié)MATLAB計算語言發(fā)展歷程時，最成功的一點是MATLAB把自身建成

了一個解釋系統(tǒng)，對其中的函數(shù)程序執(zhí)行采用一種解釋執(zhí)行方式，這樣MATLAB

就成為一個完全開放的系統(tǒng)，用戶可以方便地看到其函數(shù)的源程序，也可以利用它

開發(fā)自己的程序，甚至可以針對自己的需要創(chuàng)建自己的“庫”，這一點就使MATLAB

可以聚集全球眾多MATLAB應(yīng)用人員的智慧，不斷增加MATLAB工具箱涉及的應(yīng)

用領(lǐng)域，也就可以不斷增強自身的競爭力，從而使自身成為數(shù)值型軟件市場的霸主。

§1.1.2MATLAB語言的主要特點

1.功能強大

MATLAB語言具有極強的數(shù)值計算功能和數(shù)據(jù)可視化功能，同時還擁有很強

的符號計算功能，可以很方便地解決線性代數(shù)和數(shù)據(jù)分析處理方面所遇到的多種難

題，MATLAB語言所提供的動畫功能和用戶交互界面對多媒體套件的開發(fā)也有不小

的好處。

2.Windows界面簡單易用

當(dāng)前計算機中使用的軟件普遍都采用微軟公司建立的Windows操作界面行業(yè)

標(biāo)準(zhǔn)，MATLAB也不例外，統(tǒng)一的Windows操作界面，使新接觸到MATLAB的人

也不會有很大的應(yīng)用困難，可以做到快速入門。MATLAB自身使用的數(shù)學(xué)符號和表

達(dá)式等，與人們慣常的思維定式相符合，很易掌握。MATLAB還提供強大的用戶幫

助系統(tǒng)，用戶在遇到難題時可以利用它來解決。

3.編程簡單，擴展方便

MATLAB所提供的功能以函數(shù)形式完成，完全不必接觸算法和內(nèi)核，編程語法

自然、簡單，程序設(shè)計簡易、方便。程序代碼開放，用戶可以隨意擴展。

4.專用工具箱眾多

MATLAB經(jīng)過多年發(fā)展形成了一系列各具特色的專用工具箱，涉及到科學(xué)研究

和工程應(yīng)用的諸多領(lǐng)域，有進(jìn)行自動控制研究的，有進(jìn)行仿真實驗的，有進(jìn)行信號

處理的，有進(jìn)行振動分析的，有進(jìn)行工程規(guī)劃的，還有的是進(jìn)行金融管理的，眾多

的專用工具箱把科學(xué)工作者從繁復(fù)的編程工作中解放出來，可以全身心地研究本領(lǐng)

域的未解之謎。

§1.1.3MATLAB的安裝及操作界面簡介

MATLAB的安裝方式與一般的商業(yè)軟件相似，把光盤放入光驅(qū)，系統(tǒng)會自動運

行安裝程序，進(jìn)入安裝界面，按照安裝向?qū)б徊揭徊降倪M(jìn)行，完成軟件認(rèn)證，選擇

安裝方式和安裝路徑，選擇所需安裝的工具箱，經(jīng)過安裝等待，最終完成安裝過程。

MATLAB安裝程序在Windows桌面上創(chuàng)建運行程序的快捷方式，在開始菜單中創(chuàng)

建了程序組。

啟動MATLAB主程序的方法有兩種，第一種方法是用鼠標(biāo)點擊Windows桌面

上創(chuàng)建的MATLAB圖標(biāo)表示的快捷方式，第二種方法是從開始菜單開始，找到程

序組，再找到MATLAB程序組，最后點擊MATLAB圖標(biāo)，從而進(jìn)入MATLAB操

作界面。

圖1-1MATLAB操作界面

圖1-1就是MATLAB主程序啟動后在計算機顯示器上出現(xiàn)的操作界面。

MATLAB操作界面在默認(rèn)設(shè)置下由四部分組成，從上到下分別是菜單欄，工具欄，

工作窗口和狀態(tài)顯示欄。工作窗口又由五個不同的窗口組成，默認(rèn)設(shè)置狀態(tài)下在工

作窗口左側(cè)顯示出上下兩個窗口，右側(cè)有一個窗口。下面分別介紹各部分功能。

1.菜單欄

菜單欄由六個下拉式菜單組成。第一個是文件菜單，可以實現(xiàn)新建、打開工作

文件的功能，還有首選項和打印方面的設(shè)置選項，并設(shè)置了退出主程序的方法。這

里重點介紹“setpath”展開式菜單。當(dāng)我們安裝MATLAB完畢后，由于MATLAB

是一種解釋執(zhí)行的函數(shù)式語言，有大量的工具箱，因此安裝程序自動設(shè)置了程序執(zhí)

行時所需要進(jìn)行搜索的路徑，以其盡快尋找到程序中使用的函數(shù)文件。我們在使用

MATLAB的過程中，有可能需要創(chuàng)建自己的函數(shù)庫和工具箱，但這些程序可能不會

存入安裝程序預(yù)先指定的搜索路徑，這時我們就要使用“setpath”這一展開式菜單，

選擇添加路徑命令尋找到你存儲文件所在目錄，選擇并確定，你所需目錄就被指定

為搜索路徑，可以方便使用了。

正是基于上述原因，本書建議大家在使用MATLAB前，在硬盤上建立自己的

工作目錄，并將其設(shè)置在搜索路徑中，以利于今后程序的調(diào)用和執(zhí)行。第二個下拉

式菜單是編輯菜單，可以實現(xiàn)剪切、復(fù)制、粘貼、選擇和刪除等文本操作所必須的

功能，還提供清空指令窗口和內(nèi)存變量的命令。第三個下拉式菜單是顯示菜單，可

以改變操作界面的布置形式，可以改變工作目錄中可顯示出的文件類型，可以指定

內(nèi)存變量顯示內(nèi)容。第四個下拉式菜單是網(wǎng)絡(luò)菜單，給出了MATLAB出品廠商的

網(wǎng)址，給出了產(chǎn)品介紹等。第五個菜單是窗口菜單，可以對當(dāng)前打開的各種窗口發(fā)

出顯示和關(guān)閉的命令。第六個菜單是幫助菜單，這是一個對初學(xué)者有很大幫助的菜

單，其中提供了完整的產(chǎn)品系列幫助，MATLAB自身的使用幫助，還為使用者提供

了一個演示程序，可以使初學(xué)者在很短的時間內(nèi)了解MATLAB所具有的強大功能。

2.工具欄

在工具欄中，MATLAB提供了9個常用的工具按鈕和1個縮減的工作目錄窗口，

用來執(zhí)行最常使用的功能。9個工具按鈕又分為四類：第一類對應(yīng)于文件菜單，提

供了創(chuàng)建和打開文件兩個按鈕；第二類對應(yīng)與編輯菜單，提供了剪切、復(fù)制、粘貼，

撤消和重做五個按鈕；第三類是用于啟動Simulink動態(tài)仿真集成環(huán)境一個按鈕；第

四類對應(yīng)于幫助菜單，提供了用于啟動幫助文檔的一個按鈕。

3.工作窗口

在默認(rèn)狀態(tài)下右側(cè)窗口是指令窗口，顯示人機交互指令和命令執(zhí)行結(jié)果，左側(cè)

兩個窗口，上面一個顯示工作目錄，下面一個顯示指令窗口中發(fā)出的各種指令。通

過切換窗口夾，上面窗口可以轉(zhuǎn)為內(nèi)存空間瀏覽窗口，下面窗口可以轉(zhuǎn)為當(dāng)前工作

目錄窗口。

4.狀態(tài)顯示欄

在操作界面最下面，有一個狀態(tài)顯示欄，當(dāng)我們把鼠標(biāo)放在某個窗口夾上忖，

這個顯示欄就會告訴你執(zhí)行結(jié)果。

要退出MATLAB,方法有三種：點擊操作界面右上角的X號，用文件菜單下的

退出命令，或者可以直接在指令窗口中鍵入quit后回車。

操作界面是MATLAB提供給用戶的工作空間，MATLAB所有功能都是通過這

-空間來完成，所以初學(xué)者應(yīng)該熟悉操作界面內(nèi)的各組成單位的操作。

§1.1.4幫助指南

MATLAB提供了強大的幫助功能，可以進(jìn)行在線查詢，這一功能不僅可以使新

接觸到MATLAB的人盡快熟悉此軟件，而且對老用戶開發(fā)某一方面的使用也有很

多的益處。用戶在學(xué)習(xí)MATLAB的過程中，應(yīng)重視查詢系統(tǒng)和其他幫助功能，力

爭做到理解，掌握和熟悉應(yīng)用。

打開MATLAB查詢系統(tǒng)的方法有兩種：

?可以利用工具欄中“幫助”按鈕。

?可以利用“幫助”下拉式菜單中的選項。

MATLAB還提供了在指令窗口中直接輸入命令進(jìn)行查詢的方法。由于打開查詢

系統(tǒng)方式較易掌握，這里就不贅述了。下面介紹幾個可以在指令窗口中使用的幫助

命令的用法。

l.help命令

help命令可以單獨使用，輸入help回車，你可以得到下面內(nèi)容。

HELPtopics:

matlab\generalGeneralpurposecommands.

matlab\opsOperatorsandspecialcharacters.

vr\vrdemos-VirtualRealityToolboxexamples.

MATLAB6p5\work-(Notableofcontentsfile)

Formorehelpondirectory/topic,type"helptopic”.

Forcommandsyntaxinformation,type"helpsyntax".

它為你提供了整個在線幫助架構(gòu)。

但如果你想具體了解某一函數(shù)類或某一函數(shù)的功能時，單獨使用help命令就不

夠了，可以采用下面形式：

help+函數(shù)類名

例如helpelfun(下面顯示基本函數(shù)類的組成及功能)

Elementarymathfunctions.

Trigonometric.

sin-Sine.

sinh-Hyperbolicsine.

Exponential.

exp-Exponential.

log-Naturallogarithm.

Complex.

abs-Absolutevalue.

angle-Phaseangle.

Roundingandremainder.

fix-Roundtowardszero.

floor-Roundtowardsminusinfinity.

help+函數(shù)名

例如helpbesselj(下面顯示第一類貝塞爾函數(shù)的功能和使用方法)

BESSELJBesselfunctionofthefirstkind.

J=BESSELJ(NU,Z)istheBesselfunctionofthefirstkind,J_nu(Z).

SeealsoBESSELY,BESSELI,BESSELK,BESSELH.

Overloadedmethodshelpsym/besselj.m

2.lookfor命令

當(dāng)我們知道某函數(shù)的函數(shù)名而不知道其用法時，help命令可以幫助你準(zhǔn)確了解

此函數(shù)的用法，但如果我們不知道函數(shù)的確切名字，想找到與之有關(guān)的信息時，help

命令就無能為力了。這時，可以使用lookfor命令來根據(jù)用戶提供的關(guān)鍵字搜索與之

相關(guān)的函數(shù)。

例如lookfordiff(下面顯示與關(guān)鍵字“diff”有關(guān)的函數(shù))

SETDIFFSetdifference.

DIFFDifferenceandapproximatederivative.

POLYDERDifferentiatepolynomial.

DDE23Solvedelaydifferentialequations(DDEs)withconstantdelays.

從上面的例子，可以看出lookfor命令相當(dāng)于一般軟件中模糊查詢功能。

3.其他幫助命令

MATLAB還為用戶提供了其他一些幫助命令，包括

?exist查詢用戶指定的變量或函數(shù)文件存在與否。

?what列出目錄中的文件名

?who列出工作內(nèi)存的變量名。

?whos列出工作內(nèi)存變量詳細(xì)信息。

?which確定指定名字的文件具體位置。

為方便用戶使用MATLAB,系統(tǒng)還提供了一系列通用命令。表1-1給出了最常

用的幾個通用命令。

表1-1通用命令表

命令功能命令功能

dir顯示目錄文件cd轉(zhuǎn)換工作目錄

clc清除指令窗口內(nèi)容elf清除圖形窗口內(nèi)容

clear釋放工作內(nèi)存quit退出MATLAB

path顯示搜索路徑type顯示文件內(nèi)容

pack收集工作內(nèi)存碎片I調(diào)用DOS命令

§1.1.5從MATLAB“入門演示”開始真正認(rèn)識MATLAB

圖1-2演示界面

在前面的講述中我們已經(jīng)對MATLAB軟件有了初步了解，知道它是一-種科學(xué)計

算語言，知道了它的界面布置，知道了它的一些功能，但我們對MATLAB到底有

多么強大的計算能力，多么方便的操作方法仍然一無所知，好在MATLAB為我們

準(zhǔn)備了強大的“入門演示”，下面就從“入門演示”開始我們真正的MATLAB之旅。

從“幫助”下拉式菜單中找到“Demos”，點擊并打開它，進(jìn)入了如圖1-2所示

的演示界面。依次展開“Matrices"、“Numerics”等項目，就可以對這些項目的功能

有初步了解。這里建議大家打開"basicmatrixoperation”的演示程序，來了解基本

矩陣操作。

§1.2數(shù)值計算功能

MATLAB數(shù)值計算功能極其強大，這是使其在眾多的數(shù)學(xué)軟件中脫穎而出的決

定性因數(shù)。本節(jié)將為大家介紹常用的數(shù)值計算功能。

§1.2.1MATLAB基本輸入輸出方法

MATLAB要求表達(dá)式在使用變量以前要先對其進(jìn)行賦值操作。對變量賦值的操

作程序是，先輸入變量名和等號，然后輸入變量數(shù)值并接回車鍵結(jié)束。

例如要實現(xiàn)p=2.0,a=6.43的式子，必須在MATLAB的指令窗口中進(jìn)行如下信

息交互：

?p=2.0（用戶輸入）

P=

2（系統(tǒng)響應(yīng)）

?a=6.43（用戶輸入）

a=

6.4300（系統(tǒng)響應(yīng)）

在表達(dá)式后加分號“；”，可以省略系統(tǒng)的響應(yīng)信息，加快運算速度。

§1.2.2數(shù)據(jù)、變量名、運算符與表達(dá)式

下面介紹數(shù)據(jù)、變量名、運算符與表達(dá)式的基本語法規(guī)則。

1.數(shù)據(jù)格式

MATLAB使用常規(guī)的十進(jìn)制表示法，可以用加號與減號表示正負(fù)數(shù)，10的塞次

用e后面帶上正負(fù)數(shù)字來表示。虛數(shù)單位是i和j,數(shù)字后面直接寫上i或j系數(shù)就

認(rèn)為該數(shù)為虛數(shù)。以下是一些合法的數(shù)值表示方法：

24-360.12345

96.23454.06e-205.96e99

5+0.6i-5.6i3.6e4i

從上面的例子大家不難想到這些規(guī)則與C語言類似，MATLAB的數(shù)據(jù)輸入格式

完全采用了C語言的風(fēng)格和規(guī)則。

數(shù)據(jù)輸入后，在MATLAB的后臺，數(shù)據(jù)的存儲與運算都是以雙精度進(jìn)行的，但

是在MATLAB指令窗口中的顯示輸出格式卻有不同的表示形式，控制數(shù)據(jù)顯示格

式的命令是format,具體格式類型和運算方法如表1-2所示。

表1-2format命令格式類型

Formatshort五位定點小數(shù)形式

Formatlong十五位定點小數(shù)形式

Formatshorte五位浮點小數(shù)形式

Formatlonge十五位浮點小數(shù)形式

Formatbank銀行單位形式

Formatrat分?jǐn)?shù)近似形式

Format+顯示正負(fù)號

2.變量名

在MATLAB中可以用字母（即變量名）來表示具體的數(shù)據(jù)，也就是對變量進(jìn)

行賦值操作。變量名必須用字母打頭，后面可以跟字母、數(shù)字、下劃線，長度不限，

但系統(tǒng)只對變量名的前31個符號識別。要查看一個變量的內(nèi)容，只需要鍵入其名稱

回車即可。在MATLAB操作界面窗口中有一個工作內(nèi)存空間窗口，變量的名稱，

維數(shù)，所占空間大小及類型都列在其中了。點擊變量名稱就會打開一個矩陣編輯器

窗口，變量的元以表格的形式排列其中，可以方便的查看和修改，也可以用它來輸

入大型矩陣。

在MATLAB中有八個常用的固定變量，它們代表特殊的常用數(shù)值或有特殊的

意義，用戶可以直接調(diào)用。

表1-3常駐變量表

變量符號所代表的數(shù)值或意義

Pi代表圓周率3.14159265358979.......

i或j代表復(fù)數(shù)單位Q

Inf代表無窮大數(shù)I/O

NaN代表不定值（0/0或Inf-Inf）

eps代表2.2204e-016

realmin代表最小浮點數(shù)2.2251e-308

realmax代表最大浮點數(shù)1.7977e+308

3.運算符

MATLAB使用人們所熟悉的運算符，如下面表1-4至表1-6所示。

表1-4算術(shù)運算符

算符使用實例

+（加）26+376

-(減)593-342

*（乘）111*222

/（除）63/92

A（幕）3A41

（）（括號）3*(63-21)

此表運算符適用于標(biāo)量，向量和矩陣操作。

表1-5關(guān)系運算算符

算符使用實例

〈（小于）x<y

<=（小于等于）x<=y

>（大于）x>y

>=（大于等于）x>=y

==（等于）x==y

?=（不等于）x~=y

此表運算符同樣適用于標(biāo)量，向量和矩陣的操作。有下面三點法則:

（1）當(dāng)標(biāo)量進(jìn)行比較時、如果關(guān)系成立，則關(guān)系運算結(jié)果為“1”，如果關(guān)系

不成立，則關(guān)系運算結(jié)果為“0”。

（2）當(dāng)參與比較的是兩個具有相同維數(shù)的數(shù)組時，則對兩數(shù)組相同位置的元素

按數(shù)值大小進(jìn)行比較，并按關(guān)系成立與否給出“1”或“0”，最終的運算結(jié)果是一個

和比較數(shù)組維數(shù)相同的數(shù)組。

（3）當(dāng)一個標(biāo)量與數(shù)組進(jìn)行比較時，則把標(biāo)量與數(shù)組每一個元素進(jìn)行數(shù)值大小

比較，得到“1”或“0”的結(jié)果，最終形成與數(shù)組維數(shù)相同的數(shù)組。

表1-6邏輯運算符

算符使用實例

&（與）A&B

1（或）A|B

~（非）?A

邏輯運算符對標(biāo)量與標(biāo)量，標(biāo)量與數(shù)組，數(shù)組與數(shù)組之間的運算規(guī)則采用與關(guān)

系運算符相類似的形式。

在算術(shù)、關(guān)系和邏輯運算三種運算組合中，算術(shù)運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)

先級最低。

4.表達(dá)式

用運算符把數(shù)字、變量和函數(shù)組合在一起，就建立了一個表達(dá)式。由于MATLAB

是以矩陣為基本運算目標(biāo)的，因而數(shù)學(xué)表達(dá)式可以對整個矩陣進(jìn)行運算。表達(dá)式中

的運算是自左向右進(jìn)行，指數(shù)運算優(yōu)先，其次乘除，最后是加減操作，遇到括號則

改變運算順序。

§1.2.3向量的生成與運算

MATLAB作為--門語言，它的運算指令和語法是基于一系列基本的矩陣運算以

及它們的擴展運算。因而，為了利用好MATLAB語言，首先要了解向量和矩陣的

生成和運算規(guī)則。這節(jié)先介紹向量的生成與運算。向量運算是矢量運算的基礎(chǔ)，向

量也是組成矩陣的基本元素之一，因而先了解向量的有關(guān)操作可以使大家更好地了

解矩陣的操作。

1.向量的生成

生成向量的最直接的方法就是在指令窗口中建立。向量元素需要用“[]”括起

來，MATLAB的規(guī)則是元素之間用空格、逗號分隔開表示并列的一行元素，用分號

分隔開表示不同行的元素，因而向量生成時注意：用空格或逗號分隔可以生成行向

量，用分號分割開生成的是列向量。

如果元素之間有一定的遞增遞減規(guī)律性，那么可以利用冒號表達(dá)式生成向量，

基本形式為：

x=x0:step:xn

x0、step、xn分別表示向量的第一個元素數(shù)值，元素數(shù)值增量步長，向量最后

一個元素數(shù)值。大家可以利用Fortran語言編程中的循環(huán)控制語句表達(dá)式對照理解本

文表達(dá)式。

在MATLAB中還提供了線性等分功能函數(shù)linspace來生成線性等分向量，和對

數(shù)等分功能函數(shù)logspace來生成對數(shù)等分向量，關(guān)于兩種函數(shù)的具體用法，大家可

以使用help指令來了解。

2.向量的運算

向量的加減法要求參與運算的向量具有相同的維數(shù)，而向量與數(shù)的加減法則要

求向量的每一個元素與數(shù)字相加減。

向量與數(shù)值乘法運算要求向量每一個元素和該數(shù)值相乘。

例如：

a=[l2345]

a-1

ans=

01234

a*2

ans=

246810

向量與向量的乘積運算有三種形式：點積、叉積和混合積。

向量的點積由函數(shù)dot來實現(xiàn)：

C=dot(A.B)A、B為兩向量，要求維數(shù)相同，dot是向量點積函數(shù)，點積

運算規(guī)則遵從高等數(shù)學(xué)有關(guān)規(guī)定。

向量的叉枳由函數(shù)cross來實現(xiàn)：

C=cross(A,B)A、B為兩向量，cross為向量叉積函數(shù)，運算規(guī)則也服從高

等數(shù)學(xué)有關(guān)規(guī)定。

向量的混合積山以上兩個函數(shù)的嵌套來實現(xiàn)。

例如：a=[l23];

b=[456];

dot(a,b)

ans=

32

c=cross(a,b)

c=

-36-3

d=[l11]；

dot(a,cross(b,d))

ans=

0

§1.2.4矩陣的生成及運算

MATLAB提供了強大的矩陣運算功能，本節(jié)將從矩陣的創(chuàng)建，矩陣運算及函數(shù)

應(yīng)用等幾方面進(jìn)行闡述。

1.矩陣的創(chuàng)建

對于簡單的矩陣，創(chuàng)建的最快捷方法是從鍵盤直接輸入到指令窗口中。在直接

創(chuàng)建矩陣時，也應(yīng)采取與向量建立時同樣的規(guī)則，即要注意矩陣元素前后以方括號

“口”包圍，元素之間的逗號，空格與分號的區(qū)別。

例如：創(chuàng)建一個三維數(shù)值矩陣

a=[l23;456;789]

a=

123

456

789

對于矩陣內(nèi)部元素包含運算表達(dá)式的情況，MATLAB也認(rèn)可，并以運算結(jié)果作

為矩陣元素內(nèi)容。

例如：創(chuàng)建一帶有運算表達(dá)式的矩陣。

a=[sin(pi/4),6A3;log(2),sqrt(3)]

a=

0.7071216.0000

0.69311.7321

對于大規(guī)模的矩陣，在指令窗口中直接輸入費事費力，風(fēng)險高，不可控。這時

可以利用MATLAB提供的文本編輯功能，新建一個M文件。這里M文件是一種可

以在MATLAB指令窗口下運行的文本文件，只要在指令窗U下鍵入M文件的文件

名，即可以運行此文件，我們下面要利用其命令式文件的形式，它還可以有函數(shù)式

文件的形式，我們在后面將看到其強大的功能。

在文件菜單下找到新建子菜單，點擊M-文件，就打開了M文件編輯窗口，輸

入想要建立的矩陣，將此文件以m為擴展名保存，然后在指令窗口下輸入M文件

名，所要建立的大型矩陣就輸入到了內(nèi)存中。

例如：用M文件創(chuàng)建大矩陣，文件名為example.m

exm=[456468873257955

2165754488813

6545678898215

45668458965452]

在MATLAB指令窗口中輸入：

example;

size(exm)

ans=

46

實際上本例并不算大型矩陣，這里只是給大家?個直觀的感受，?般來說，這

種方法大多應(yīng)用于對其他語言程序所得結(jié)果的利用上。

2.矩陣的基本數(shù)學(xué)運算

矩陣的基本數(shù)學(xué)運算包括矩陣的四則運算，矩陣與常數(shù)的運算，矩陣的逆運算，

矩陣的行列式求值，矩陣的幕運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算等。下面逐一加以介紹：

(1)矩陣的四則運算

矩陣的加減法運算格式與數(shù)值及向量的運算格式相似，使用“+”和運算符，

但要求進(jìn)行運算的兩矩陣必須是同維的。

例如：a=[l23;456;789]

b=[l11;222;333]

c=a+b

c=

234

678

101112

矩陣的乘法使用"”作為運算符，采用與線性代數(shù)中矩陣乘法運算相同的運

算規(guī)則，對相乘矩陣維數(shù)的要求是要有相鄰公共維。

例如：x=[l234;5678]

y=[l1;22;33;44]

z=x*y

z=

3030

7070

矩陣的除法包括兩種運算形式：左除（\）和右除（/）o一般情況下，x=a\b是

方程a*x=b的解，而*=1）用則是方程x*a=b的解。通常右除的計算速度要快一點，

而左除則可以避免被除矩陣的奇異所帶來的麻煩。

x+2y+3z=4

例如：已知方程組＜4x+2y+6z=l，求解x,y,z。

7x+4y+9z=2

求解這個方程組，我們可以設(shè)

a=[l23;426;749]

b=[4;l;2]

x=a\b

-1.5000

2.0000

0.5000

?a=[l47;224;369]

a=

147

224

369

?b=[412]

b=

412

?x=b/a

x=

-1.50002.00000.5000

?

這樣方程組的解就可以得到了。

(2)矩陣與常數(shù)的運算

一個常數(shù)與矩陣的運算也就是常數(shù)和矩陣中各個元素之間的進(jìn)行運算。但這里

注意一點，當(dāng)進(jìn)行矩陣與常數(shù)的除法運算時，常數(shù)只能做除數(shù)。

(3)矩陣的逆運算

對一個矩陣求逆是線性代數(shù)和數(shù)值分析中的重要內(nèi)容，MATLAB為其提供了一

個強有力的命令:inv。

-2,2,3'

例如：求解矩陣A=4,5,6的逆陣。

_7,8,9_

解：A=[223;456;789];

B=inv(A)

B=

1.0000-2.00001.0000

-2.00001.00000

1.00000.6667-0.6667

(4)矩陣的行列式求值

矩陣的行列式求值在MATLAB中是由det函數(shù)來完成的。

例如：求解上例中矩陣A和矩陣B的行列式的值。

AA=det(A)

AA=

BB=det(B)

BB=

?0.3333

(5)矩陣的褰指數(shù)運算和對數(shù)運算

有矩陣A,對其進(jìn)行嘉運算，求A的3次嘉，則運算表達(dá)式可以寫為A八3,從這

一點可以看出矩陣的塞運算與數(shù)字基運算形式相同。

矩陣的指數(shù)運算一般采用函數(shù)expm,和其同類的函數(shù)還有expml,expm2和

expm3。expml,expm2和expm3的主要區(qū)別在于算法不同，具體情況可參看幫助文

件。

矩陣的對數(shù)運算采用函數(shù)logm進(jìn)行。

(6)矩陣的開方運算

矩陣的開方運算山函數(shù)sqrtm完成。

這里強調(diào)一點，上述幾種函數(shù)都是針對矩陣的，是視矩陣為一個操作數(shù)整體來

進(jìn)行運算的，和下面要講到的數(shù)組運算中針對矩陣中每一個元素進(jìn)行運算的方式不

同。

例如:A=[l,2;3,4]

B=AA2

B=

710

1522

C=sqrtm(B)

C=

1.56671.7408

2.61124.1779(不等于A)

D=CA2

D=

710

1522

3.矩陣的基本函數(shù)運算

矩陣的基本函數(shù)運算是與線性代數(shù)和數(shù)值分析兩門課程的有關(guān)應(yīng)用有密切聯(lián)系

的。例如與線性代數(shù)相對應(yīng)的，有特征值運算，矩陣求秩，矩陣求跡等運算；與數(shù)

值分析相對應(yīng)的，有奇異值函數(shù)，條件數(shù)運算，范數(shù)運算等。

(1)特征值函數(shù)

一個矩陣可以利用函數(shù)eig和eigs計算出其特征值。

3-1,0

例如：計算矩陣人=-1,2-1的特征值和特征向量。

0,-1,3

A=[3-10;-12-l;0-13];

[X,Y]=eig(A)

X=

0.4082-0.7071-0.5774

0.8165-0.00000.5774

0.40820.7071-0.5774

1.000000

03.00000

004.0000

其中X為特陣向量矩陣，Y為特征值矩陣。

(2)秩函數(shù)

對一個矩陣的秩的求解可以利用函數(shù)rank來計算。

例如：e=[l234

1123

2246];

rank(e)

ans=

2

(3)跡函數(shù)

矩陣對角線上元素求和，可以利用trace函數(shù)來計算。

-1,2,3'

例如：求A=4,5,6的跡。

_7,8,9_

trace(A)

ans=

15

(4)奇異值函數(shù)

矩陣的奇異值函數(shù)有兩種——svd和svds.

例如：A=magic⑸；(魔方陣最小3階)

S=svd(A),

S=

65.000022.547121.687413.403611.9008

(5)條件數(shù)函數(shù)

在MATLAB中可以利用cond函數(shù)來計算反映矩陣“病態(tài)”程度的條件數(shù)值。

(6)范數(shù)函數(shù)

矩陣范數(shù)運算是對矩陣的一種度量，在MATLAB中分為1范數(shù)，2范數(shù)，無窮

范數(shù)和F-范數(shù)。norm(A,l)為求A陣的1—范數(shù),norm(A)為求A陣的2—范數(shù)，

norm(A,inf)為求A陣的無窮范數(shù),norm(A,'fro')為求A陣的F-范數(shù)。

4.與數(shù)值分析有關(guān)的一些特殊函數(shù)

MATLAB為數(shù)值分析的應(yīng)用準(zhǔn)備了除前面介紹的普通函數(shù)外的一些特殊函數(shù)，

應(yīng)用這些函數(shù)，可以很大程度上降低數(shù)值分析方法的理解難度。

(1)LU分解

LU分解在數(shù)值分析的矩陣分解內(nèi)容中是一種比較重要的方法，對直接求解線

性方程有重要的作用。在MATLAB中