中考數(shù)學二輪復習壓軸題培優(yōu)專練專題01 利用三角形全等和相似的性質(zhì)進行求解的問題（原卷版）

專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進行求解的問題在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進行使用，用以幫助解決角度的相等問題或者線段的數(shù)量關系。（1）在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個角相等，再結(jié)合所求進行轉(zhuǎn)化，從而得到我們想要的角度關系。（2）壓軸題中關于證明線段相等關系或者和差關系的證明時，一般通過三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段與所求線段的倍數(shù)關系，進行等量代換或者轉(zhuǎn)化。（3）壓軸題中關于證明或探究線段之間的積關系或者比值關系時，一般利用三角形相似的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，有時也會用到三角形全等的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。 （2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E不與點B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關系與位置關系；(2)如圖2，當SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝SKIPIF1<0，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．（1）證明△BAE≌△DAG，進一步得出結(jié)論；（2）證明BAE∽△DAG，進一步得出結(jié)論；（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）SKIPIF1<0可得DG＝6，從而得出三角形BEG的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△BEG的面積比等于1：4，進而求得結(jié)果．【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG(2)BE＝SKIPIF1<0，BE⊥DG，理由見解析(3)S△MNG＝SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝SKIPIF1<0，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2，∴△BAE∽△DAG，∴SKIPIF1<0，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝SKIPIF1<0，∴設AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（SKIPIF1<0）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝SKIPIF1<0＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：SKIPIF1<0，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，點M是BG的中點，點N是CE的中點，∴DM＝GM＝SKIPIF1<0，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位線，∴MNSKIPIF1<0BE，∴△BEG∽△MNG，∴SKIPIF1<0＝（SKIPIF1<0）2＝SKIPIF1<0，∴S△MNG＝S△MNG＝SKIPIF1<0S△BEG＝SKIPIF1<0．本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是類比的方法．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（點SKIPIF1<0不與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合）時，求SKIPIF1<0的值；(3)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0的值．（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝SKIPIF1<0AB，BC＝2BH，進而得出結(jié)論；（2）證明△ABD∽△CBE，進而得出結(jié)果；（3）當點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進而求得AN，進一步得出結(jié)果；當點D在AC的延長線上時，設AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AB，∴∠BAH＝∠CAH＝SKIPIF1<0∠BAC＝SKIPIF1<0×120°＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝SKIPIF1<0，∴BH＝SKIPIF1<0AB，∴BC＝2BH＝SKIPIF1<0AB；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，同理可得，∠DBE＝30°，SKIPIF1<0，∴∠ABC＝∠DBE，SKIPIF1<0，∴∠ABC?∠DBC＝∠DBE?∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴SKIPIF1<0；（3）如圖2，當點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，SKIPIF1<0，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°?∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝SKIPIF1<0，BF＝3a?sin60°＝SKIPIF1<0，在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵ANSKIPIF1<0DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如圖3，當點D在AC的延長線上時，設AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝SKIPIF1<0，作BR⊥CA，交CA的延長線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是正確分類和較強的計算能力．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上一點．(1)如圖1，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（1）①根據(jù)SKIPIF1<0可證得：SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；②連接SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0是等邊三角形，即可求出SKIPIF1<0；（2）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可證得SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即可證得SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0的長．【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.②如圖，連接SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由菱形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，由菱形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為公共角.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長度，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識點并靈活運用是解題的關鍵.1．（2022·吉林長春·校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】在華師版八年級下冊數(shù)學教材第111頁學習了以下內(nèi)容：菱形的對角線互相垂直．【結(jié)論運用】(1)如圖①，菱形SKIPIF1<0的對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則菱形SKIPIF1<0的面積是；(2)如圖②，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是菱形，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖③，四邊形SKIPIF1<0是菱形，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是菱形，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0度．2．（2022·四川德陽·模擬）已知：四邊形SKIPIF1<0是正方形，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，且SKIPIF1<0．(1)如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有怎樣的關系．寫出你的結(jié)果，并加以證明；(2)如圖SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．（2022·山東日照·校考二模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0延長線上一動點，連接SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當SKIPIF1<0時，①求證：SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)如圖2，當SKIPIF1<0時，請直接寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關系．(3)當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請直接寫出點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為4．（2022·山東濟南·山東師范大學第二附屬中學?？寄M）如圖，在SKIPIF1<0中，點D、E分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0．①如圖2，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的長；②如圖3，當SKIPIF1<0時，直接寫出SKIPIF1<0的長是______．5．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，在□SKIPIF1<0的外部作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接