工程力學(xué)(第X章 平面圖形的幾何性質(zhì))

工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國(guó)高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會(huì)平面圖形的幾何性質(zhì)工程力學(xué)

EngineeringMechanicsX.1靜矩與形心X.2慣性矩與慣性積X.3慣性矩的平行移軸公式A平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.1靜矩Sz,Sy

分別稱(chēng)為圖形對(duì)z軸和y軸的靜矩。定義積分靜矩的值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。量綱：[長(zhǎng)度]3，常用單位：mm3或m3。OzyyCzCCzyA平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.2靜矩與形心的關(guān)系OzyyCzCCzy圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過(guò)形心，圖形對(duì)其形心軸的靜矩必然等于零。Ozyhb(b)平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計(jì)算Sz(2)計(jì)算Sy例計(jì)算矩形對(duì)z軸和y軸的靜矩Sz

和Sy。解

Ozyhyb(a)z平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.3組合圖形的形心坐標(biāo)若某平面圖形由若干個(gè)簡(jiǎn)單的分圖形組合而成，該組合圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)等于各分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和?？傻媒M合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式為平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Iz,Iy分別稱(chēng)為圖形對(duì)z軸和y軸的慣性矩。慣性矩的值恒為正，量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Ip

稱(chēng)為圖形對(duì)原點(diǎn)O

的極慣性矩。極慣性矩的值恒為正，量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計(jì)算Iz(2)計(jì)算Iy例計(jì)算矩形對(duì)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩Iz

和Iy。解

Ozyhyzb計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wz計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wz平面圖形的幾何性質(zhì)(1)Iz=Iy

(對(duì)稱(chēng)性)例計(jì)算圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。解

dz(b)OyD(a)OzDy實(shí)心圓截面空心圓截面計(jì)算彎曲截面系數(shù)Wy=Wz平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩若某平面圖形由若干個(gè)簡(jiǎn)單的分圖形組合而成，該組合圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的慣性矩應(yīng)等于各分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性矩的總和。即平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩dz(b)OyD實(shí)心圓截面空心圓截面平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.3慣性積定義積分Iyz稱(chēng)為圖形對(duì)原點(diǎn)y,z

的慣性積。慣性積的值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。量綱：[長(zhǎng)度]4，常用單位：mm4或m4。y、z

兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)是圖形的對(duì)稱(chēng)軸，則圖形對(duì)y、z軸的慣性積必然等于零。OzyzyAOzyAzy12平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.4主慣性軸和主慣性矩、形心主慣性軸和形心主慣性矩如果圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸y、z的慣性積等于零，則這對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為圖形的主慣性軸。通過(guò)截面形心的主慣性軸，稱(chēng)為形心主慣性軸。任意平面圖形都必然存在形心主慣性軸。顯然，若圖形具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，則以形心為原點(diǎn)并含有對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)的一對(duì)直角坐標(biāo)軸，必然是圖形的形心主慣性軸。若圖形具有一對(duì)相互正交的對(duì)稱(chēng)軸，則這一對(duì)對(duì)稱(chēng)軸是圖形的形心主慣性軸。可以證明，在任意平面圖形中過(guò)任一點(diǎn)，都必然存在一對(duì)主慣性軸。平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.4主慣性軸和主慣性矩、形心主慣性軸和形心主慣性矩如果圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸y、z的慣性積等于零，則這對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為圖形的主慣性軸。通過(guò)截面形心的主慣性軸，稱(chēng)為形心主慣性軸。任意平面圖形都必然存在形心主慣性軸?？梢宰C明，在任意平面圖形中過(guò)任一點(diǎn)，都必然存在一對(duì)主慣性軸。圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩。圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)X.3慣性矩的平行移軸公式X.3.1平行移軸公式同一平面圖形，對(duì)相互平行的兩個(gè)坐標(biāo)軸的慣性矩是不同的。在很多工程問(wèn)題中，常常需要知道某特定截面圖形對(duì)某根軸的慣性矩，一般可通過(guò)查表能獲得該圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩。這時(shí)，需要知道圖形對(duì)某軸以及與其平行的形心軸的慣性矩之間的關(guān)系。平面圖形的幾何性質(zhì)X.3慣性矩的平行移軸公式X.3.1平行移軸公式OzybaCzyAzCyCzCyC120802020yz平面圖形的幾