工程力學 課件 第15章 梁的彎曲應力

工程力學

EngineeringMechanics全國高等教育自學考試指導委員會第15章梁的彎曲應力工程力學

EngineeringMechanics15.1梁的橫截面上正應力-1梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力梁的內(nèi)力：剪力Fs彎矩MFsM正應力只與彎矩有關(guān)，切應力只與剪力有關(guān)，可分別進行研究。特殊情況下，在梁的某段或整個長度上，F(xiàn)s=0,M=const.，稱為純彎曲。一般情況下，

，稱為橫力彎曲。梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.1彎曲變形的基本假設(1)垂直于梁軸線的橫線仍為直線，橫線之間有相對轉(zhuǎn)動，仍與變形后的軸線正交。(2)縱向線變形后變?yōu)榛【€，且凹面的縱線長度縮短，凸面的縱線長度伸長。(3)在縱線伸長區(qū)，梁橫截面的寬度減??；在縱線縮短區(qū)，梁橫截面的寬度增大。變形后變形前純彎曲變形現(xiàn)象：梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.1彎曲變形的基本假設變形后變形前純彎曲(1)變形后梁的橫截面仍保持平面且與梁軸線正交。(2)梁中與軸線平行的各縱向纖維之間無相互擠壓。

梁的縱向纖維只發(fā)生縮短或伸長變形。基本假設：平面假設單向受力假設梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.1彎曲變形的基本假設變形后中性軸橫截面中性層x變形時，橫截面即繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動凹側(cè)纖維縮短凸側(cè)纖維伸長梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力研究梁橫截面上的正應力，需要研究：(1)變形幾何關(guān)系(2)應變與應力間的物理關(guān)系(3)力系等效關(guān)系梁的彎曲應力（中性軸）（對稱軸）yzxyaammnnmmnna'a'x15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—變形幾何關(guān)系纖維aa的線應變橫截面上任一點處的線應變與該點到中性軸的距離成正比中性層中性層曲率半徑梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—物理關(guān)系由單向受力假設，和胡克定律有橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—力系等效關(guān)系zyM中性軸對稱軸梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—力系等效關(guān)系zyM中性軸對稱軸z軸過截面的形心中性軸通過截面形心，且與截面對稱軸

y

軸垂直的軸。靜矩中性軸的位置確定梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—力系等效關(guān)系zyM中性軸對稱軸y、z為一對慣性主軸y軸是橫截面的對稱軸，這個條件自然滿足慣性積梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力—力系等效關(guān)系zyM中性軸對稱軸慣性矩中性層的曲率

與橫截面上的彎矩成正比，而與梁截面EIz

（彎曲剛度）成反比。梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式絕對值代入計算拉或壓由變形判斷：凹的一側(cè)受壓凸的一側(cè)受拉梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式適用條件：1.平面假設若有剪力作用→存在切應變→變形后橫截面不再保持為平面，理論上，橫力彎曲情況不合用。但理論分析與實驗研究表明，對工程中常見的橫力彎曲梁，上式完全能夠滿足精度要求。梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式適用條件：2.平面彎曲推導用的是矩形截面梁，但非必要條件。上式對于平面彎曲都成立（全部外力均作用在梁的同一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)）

梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式適用條件：3.胡克定律應力不超過材料的比例極限。這節(jié)課就講到這里。同學們根據(jù)這次課學習到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習題。工程力學

EngineeringMechanics第15章梁的彎曲應力工程力學

EngineeringMechanics15.1梁的橫截面上正應力-215.2梁的橫截面上的切應力15.3梁的彎曲強度計算梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式截面上距中性軸最遠處，正應力達到最大值令稱為彎曲截面系數(shù)截面的幾何性質(zhì)單位：mm3或者m3梁的彎曲應力矩形截面yCyzh/2b/2b/2h/2對z

軸的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：梁的彎曲應力圓形截面對直徑的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：zyCyzD/2D/2梁的彎曲應力空心圓形截面CzDyd對直徑的慣性矩為：彎曲截面系數(shù)為：梁的彎曲應力工程中各種型鋼可通過查表獲得梁的彎曲應力工程中各種型鋼可通過查表獲得梁的彎曲應力工程中各種型鋼可通過查表獲得梁的彎曲應力慣性矩的平行移軸公式寬為b、高為h

的矩形，zC軸為過其形心C

沿寬度方向的對稱軸，為形心慣性主軸設z

軸平行于zC軸，y

軸與yC

軸重合坐標系Oyz

的坐標原點O

在坐標系CyCzC

中的坐標為(a,0)矩形對平行于形心對稱軸的z

軸的慣性矩，等于它對zC

軸的慣性矩加上矩形面積與兩軸間距離平方的乘積。梁的彎曲應力15.1梁的橫截面上正應力15.1.2梁橫截面上的正應力梁橫截面上任意點的正應力公式截面上距中性軸最遠處，正應力達到最大值梁的彎曲應力15.2梁的橫截面上的切應力橫力彎曲情況下， 有剪力存在→切應力切應力的分布規(guī)律要比正應力復雜與橫截面形狀相關(guān)簡單形狀+

合理的假設→相應的計算公式。復雜形狀： 借助于彈性理論、實驗比擬方法進行研究。 再經(jīng)過工程實際的檢驗。梁的彎曲應力15.2梁的橫截面上的切應力矩形橫截面切應力分布bh/2h/2yzyy(a)(b)切應力沿寬度均勻分布求對

z軸靜矩所用的陰影部分面積梁的彎曲應力15.2梁的橫截面上的切應力byzBHhy(b)y切應力沿寬度均勻分布求對

z軸靜矩所用的陰影部分面積(a)工字形橫截面切應力分布工程上在精度要求不高時的近似計算公式梁的彎曲應力15.2梁的橫截面上的切應力圓形橫截面切應力分布yzPKK'zyRRtRR(b)(a)梁的彎曲應力15.3梁的彎曲強度計算15.3.1彎曲正應力強度條件梁的截面內(nèi)有正應力和切應力本課程只介紹前者用于強度分析的情況梁的橫力彎曲時，截面內(nèi)正應力也可用下式計算危險截面為彎矩最大的截面，危險點在彎矩最大的截面距離中性軸最遠處，絕對值代入計算拉壓另外判斷梁的彎曲應力15.3梁的彎曲強度計算15.3.1彎曲正應力強度條件梁的截面內(nèi)有正應力和切應力彎曲正應力強度條件本課程只介紹前者用于強度分析的情況對于許用拉應力和許用壓應力相同的材料，強度計算時最大彎曲正應力應取絕對值最大的。對于某些脆性材料（如鑄鐵）的許用壓應力遠高于許用拉應力，強度計算時則應分別校核拉伸強度與壓縮強度。梁的彎曲應力15.3梁的彎曲強度計算15.3.1彎曲正應力強度條件梁的截面內(nèi)有正應力和切應力彎曲正應力強度條件本課程只介紹前者用于強度分析的情況這節(jié)課就講到這里。同學們根據(jù)這次課學習到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習題。工程力學

EngineeringMechanics全國高等教育自學考試指導委員會第15章梁的彎曲應力工程力學

EngineeringMechanics15.5梁的合理截面形狀梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀梁的彎曲強度性能與橫截面的幾何形狀密切相關(guān)。依此設計合理的截面形狀，能夠有效地提高梁的彎曲強度。梁可能承受的最大彎矩Mmax

與彎曲截面系數(shù)Wz

成正比，Wz

越大越有利。梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀梁可能承受的最大彎矩Mmax

與彎曲截面系數(shù)Wz

成正比，Wz

越大越有利。(1)

Wz

的大小與截面的面積、形狀有關(guān)。

比值Wz/A：衡量截面形狀的合理性與經(jīng)濟性。

Wz/A

較大，截面的形狀就較合理、經(jīng)濟。在受彎曲構(gòu)件中，工字鋼或槽鋼好于矩形截面；矩形截面好于圓形截面。梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應力分布來分析。離中性軸遠，正應力大，盡量減小中性軸附近的面積，更多的面積分布在離中性軸較遠的位置。例如工字鋼、槽鋼、箱形截面等。正應力分布梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應力分布來分析。截面合理形狀是主要因素，還須考慮剛度、穩(wěn)定性以及制造、使用等。矩形截面梁，在截面面積相同的條件下，加大截面高度，減小截面寬度，可以提高彎曲截面系數(shù)，但是梁就容易發(fā)生側(cè)向變形（側(cè)向喪失穩(wěn)定）而破壞。梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀(2)梁的截面形狀的合理性，從正應力分布來分析。截面合理形狀是主要因素，還須考慮剛度、穩(wěn)定性以及制造、使用等。將細長的圓桿加工成空心桿，提高加工成本。軸類零件，既要承受彎曲還要承受扭轉(zhuǎn)，不能單純從正應力考慮，還要兼顧切應力方面。梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀對于抗拉和抗壓強度相同的材料（碳鋼），宜采用對中性軸對稱的截面，如圓形、矩形、工字鋼等。(3)研究截面形狀的合理性時，還應考慮材料的特性。使得截面的上下邊緣處的最大拉應力和最大壓應力的數(shù)值相等，同時接近許用應力。梁的彎曲應力15.5梁的合理截面形狀(3)研究截面形狀的合理性時，還應考慮材料的特性。對于抗拉和抗壓強度不等的材料（鑄鐵），中性軸偏于受拉邊的截面形狀，最大拉與壓應力同時接近于各自的許用應力。通過調(diào)整組合截面各部分，使截面形心位置滿足上式條件。梁的彎曲應力例鋼制等截面懸臂梁受均布載荷

q作用。已知材料的許用應力[

]=160MPa，l=2m，

q=10kN/m。設計三種截面：

(1)工字鋼，型號；

(2)高寬比為2的矩形，截面寬度b；

(3)圓形，截面直徑d。解1.作彎矩圖MMmax=20kN·m-qlql2/2bd2bAB2.強度計算梁的彎曲應力查型鋼表z16號工字鋼b2bz取最小值dz取最小值工字鋼最省材料，圓形截面最費材料梁的彎曲應力例如圖所示，外伸梁ABC

在BC

段受均布載荷q=4kN/m的作用，a=1m，梁的橫截面是直徑為d

的圓形，材料的許用應力[σ]=80MPa，試設計該梁的橫截面直徑。解1.作彎矩圖BAC2aad2.強度條件故梁的直徑整取為d=64mm可滿足要求。梁的彎曲應力例鑄鐵外伸梁，受力及截面尺寸如圖所示。若已知鑄鐵抗拉許用應力；抗壓許用應力為。試校核該梁的強度。D

截面B

截面12+-43+-BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088梁的彎曲應力解截面B

上①點受壓②

點受拉BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的彎曲應力截面D

上③點受壓、④

點受拉比截面B

上①點壓應力小，強度滿足要求且

該梁強度不滿足要求、不安全！BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的彎曲應力例長度為l=2m的外伸梁受圖示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁選用No.28a工字鋼，試計算：（1）梁的危險截面上最大彎曲正應力；（2）危險截面對稱軸上腹板（中間的矩形板）與翼緣（上、下的矩形板）的下交界處K

點的彎曲正應力。解1.作彎矩圖確定危險截面2.強度梁內(nèi)最大彎曲正應力CABl/2l/2HtCABK查型鋼表No.28a工字鋼：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3梁的彎曲應力例長度為l=2m的外伸梁受圖示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁選用No.28a工字鋼，試計算：（1）梁的危險截面上最大彎曲正應力；（2）危險截面對稱軸上腹板（中間的矩形板）與翼緣（上、下的矩形板）的下交界處K

點的彎曲正應力。3.K

點處彎曲正應力CABl/2l/2HtCABK查型鋼表No.28a工字鋼：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3K點的正應力為壓應力工程力學

EngineeringMechanics全國高等教育自學考試指導委員會工程力學

EngineeringMechanics平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.2慣性矩與慣性積X.3慣性矩的平行移軸公式A平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.1靜矩Sz,Sy

分別稱為圖形對z軸和y軸的靜矩。定義積分靜矩的值可能為正，可能為負，也可能等于零。量綱：[長度]3，常用單位：mm3或m3。OzyyCzCCzyA平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.2靜矩與形心的關(guān)系OzyyCzCCzy圖形對某軸的靜矩為零，則該軸過形心，圖形對其形心軸的靜矩必然等于零。Ozyhb(b)平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計算Sz(2)計算Sy例計算矩形對z軸和y軸的靜矩Sz

和Sy。解

Ozyhyb(a)z平面圖形的幾何性質(zhì)X.1靜矩與形心X.1.3組合圖形的形心坐標若某平面圖形由若干個簡單的分圖形組合而成，該組合圖形對某坐標軸的靜矩應等于各分圖形對同一坐標軸的靜矩的代數(shù)和?？傻媒M合圖形形心坐標的計算公式為平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Iz,Iy分別稱為圖形對z軸和y軸的慣性矩。慣性矩的值恒為正，量綱：[長度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.1慣性矩和極慣性矩OzyzyA定義積分Ip

稱為圖形對原點O

的極慣性矩。極慣性矩的值恒為正，量綱：[長度]4，常用單位：mm4或m4。平面圖形的幾何性質(zhì)(1)計算Iz(2)計算Iy例計算矩形對兩個對稱軸的慣性矩Iz

和Iy。解

Ozyhyzb計算彎曲截面系數(shù)Wz計算彎曲截面系數(shù)Wz平面圖形的幾何性質(zhì)(1)Iz=Iy

(對稱性)例計算圓形截面對其形心軸的慣性矩。解

dz(b)OyD(a)OzDy實心圓截面空心圓截面計算彎曲截面系數(shù)Wy=Wz平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩若某平面圖形由若干個簡單的分圖形組合而成，該組合圖形對某坐標軸的慣性矩應等于各分圖形對同一坐標軸的慣性矩的總和。即平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.2組合圖形的慣性矩dz(b)OyD實心圓截面空心圓截面平面圖形的幾何性質(zhì)X.2慣性矩與慣性積X.2.3慣性積定義積分Iyz稱為圖形對原點y,z

的慣性積。慣性積的值可能為正，可能為負，也可能等于零。量綱：[長度]4，常用單位：mm4或m4。y、z

兩個坐標軸中只要有一個是圖形的對稱軸，則圖形對y、z軸的慣性積必然等于零。OzyzyAOzyAzy12平面圖形的幾何性